15. 플라즈마 진단¶

학습 목표¶

밀도, 온도, 플라즈마 전위 측정을 위한 랭뮤어 프로브의 원리 이해
비교란 밀도 및 온도 진단을 위한 톰슨 산란(비간섭성 및 간섭성) 설명
선적분 및 국소 밀도 측정을 위한 간섭계와 반사계 적용
온도, 밀도, 유동 속도, 자기장 측정을 위한 분광학 사용
전류, 저장 에너지, 내부 자기장 측정을 위한 자기 진단 이해
산업용 응용을 위한 저온 플라즈마 진단 설명

1. 왜 플라즈마 진단인가?¶

1.1 플라즈마 측정의 도전 과제¶

플라즈마는 독특한 측정 도전 과제를 제시합니다:

극한 환경: 높은 온도(10⁶–10⁸ K), 낮은 밀도(10¹⁴–10²¹ m⁻³), 강한 자기장(1–10 T)
교란에 대한 민감성: 프로브를 삽입하면 플라즈마를 냉각시키거나 불순물을 유입하거나 평형을 교란할 수 있습니다
직접 접근 불가: 핵융합 장치에서 플라즈마는 자기장으로 구속되고 진공 용기로 둘러싸여 있습니다
다중 스케일: mm(난류)부터 미터(평형)까지 현상을 측정해야 합니다
시간 변화: 플라즈마는 나노초(파동)부터 초(방전 지속 시간)까지 시간 스케일로 진화합니다

해결책: 플라즈마 진단은 다음의 조합을 사용합니다: - 비교란 기법(광산란, 분광학, 간섭계) - 최소 교란 기법(작은 프로브, 가장자리 측정) - 수동 진단(자연 방출 관측) - 능동 진단(입자/파동 주입 및 반응 관측)

1.2 진단 목표¶

서로 다른 물리 질문은 서로 다른 진단을 요구합니다:

물리량	중요한 이유	진단
$n_e$	플라즈마 밀도, 구속	간섭계, 톰슨 산란, 랭뮤어 프로브
$T_e$, $T_i$	에너지 함량, 구속	톰슨 산란, 분광학, CXRS
$\mathbf{B}$	평형, 안정성	자기 코일, MSE, 제만 분리
$I_p$	플라즈마 전류, 안정성	로고스키 코일
$Z_{eff}$	불순물 함량, 복사	제동복사, 분광학
$\mathbf{v}$	유동, 회전, 수송	도플러 분광학, CXRS
요동	난류, 불안정성	프로브, 반사계, BES

현대 핵융합 장치는 플라즈마의 완전한 그림을 구축하기 위해 수십 개의 진단을 동시에 사용합니다.

2. 랭뮤어 프로브¶

2.1 원리¶

랭뮤어 프로브(어빙 랭뮤어 이름, 1920년대)는 플라즈마에 삽입된 간단한 금속 전극입니다. 프로브 전압 $V$를 스윕하고 전류 $I$를 측정하여 $n_e$, $T_e$, 플라즈마 전위 $V_p$를 추론할 수 있습니다.

장점: - 간단하고 저렴 - 직접적인 국소 측정 - 빠른 시간 응답(μs)

단점: - 교란적(국소적으로 플라즈마 가열/냉각) - 가장자리 플라즈마에서만 작동(중심부에서는 녹음) - 주의 깊은 해석 필요(차폐 이론)

2.2 차폐 형성¶

프로브가 플라즈마에 삽입되면 차폐(디바이 차폐)가 주위에 형성됩니다. 전자는 이온보다 이동성이 높아 초기에 프로브로 흐르며 음전하를 띠게 합니다. 이것은 추가 전자를 밀어내고 이온을 끌어당겨 얇은 비중성 차폐를 가진 준중성 플라즈마를 만듭니다.

차폐 두께는 ~ 몇 디바이 길이입니다: $$\lambda_D = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k_B T_e}{n_e e^2}}$$

일반적으로 $\lambda_D \sim 10$–$100$ μm입니다.

2.3 I-V 특성¶

전류-전압 특성은 세 가지 영역을 가집니다:

           I
           ^
           |     전자 포화
         Ie|  ___________________
           | /
           |/
           |   전자 지연
           |       /|
     ------|------/-|----------> V
           |     /  |V_f  V_p
           |    /   |
           |   /    |
           |  /     이온 포화
     -Ii   | /
           |/______________

1. 이온 포화 영역 ($V \ll V_p$):

프로브가 플라즈마에 대해 음으로 바이어스됩니다. 전자는 밀려나고 이온만 프로브에 도달합니다. 이온 전류는:

$$I_{\text{sat},i} = -e n_i u_B A_p$$

여기서 $A_p$는 프로브 면적이고 $u_B$는 봄 속도입니다:

$$u_B = \sqrt{\frac{k_B T_e}{m_i}}$$

봄 기준은 안정적인 차폐를 위해 이온이 적어도 이 속도로 차폐에 진입해야 한다고 명시합니다.

2. 전자 지연 영역 ($V_f < V < V_p$):

전압이 증가함에 따라 일부 전자가 전위 장벽을 극복할 수 있습니다. 전자 전류는 볼츠만 분포를 따릅니다:

$$I_e = I_{e,\text{sat}} \exp\left( \frac{e(V - V_p)}{k_B T_e} \right)$$

총 전류는: $$I = I_e + I_i \approx I_{e,\text{sat}} \exp\left( \frac{e(V - V_p)}{k_B T_e} \right) - I_{\text{sat},i}$$

부유 전위 $V_f$에서 총 전류는 0입니다: $I = 0$.

3. 전자 포화 영역 ($V > V_p$):

프로브는 도달하는 모든 전자를 수집합니다. 작은 프로브(전자 평균 자유 행로보다 훨씬 작은)의 경우, 전류는 다음에서 포화됩니다:

$$I_{e,\text{sat}} = \frac{1}{4} e n_e \bar{v}_e A_p$$

여기서 $\bar{v}_e = \sqrt{8 k_B T_e / (\pi m_e)}$는 평균 전자 속도입니다.

2.4 플라즈마 매개변수 추출¶

I-V 곡선으로부터:

전자 온도 $T_e$:

전자 지연 영역에서 $\ln(I_e)$ 대 $V$를 플롯합니다. 기울기는:

$$\frac{d \ln I_e}{dV} = \frac{e}{k_B T_e}$$

따라서: $$T_e = \frac{e}{k_B} \left( \frac{d \ln I_e}{dV} \right)^{-1}$$

플라즈마 전위 $V_p$:

I-V 곡선의 "무릎"(기울기가 지수에서 평평하게 변하는 곳)이 플라즈마 전위입니다. 더 정확하게는, $V_p$는 이차 도함수 $d^2I/dV^2$가 최대값을 갖는 곳입니다.

이온 밀도 $n_i$:

이온 포화 전류로부터: $$n_i = \frac{I_{\text{sat},i}}{e u_B A_p} = \frac{I_{\text{sat},i}}{e A_p} \sqrt{\frac{m_i}{k_B T_e}}$$

전자 밀도 $n_e$:

준중성으로부터 $n_e \approx n_i$.

2.5 복잡성¶

실제 랭뮤어 프로브는 여러 복잡성에 직면합니다:

자기장: 자화된 플라즈마에서 차폐는 $\mathbf{B}$를 따라 늘어납니다. 수집 면적은 방향에 따라 $A_\parallel \sim \pi r^2$ (교차장) 또는 $A_\perp \sim 2\pi r L$ (장을 따라)입니다.
흐르는 플라즈마: 플라즈마가 프로브에 대해 흐르면 I-V 곡선이 왜곡됩니다. 마하 프로브(반대 방향을 향한 두 프로브)를 사용하여 유동을 측정합니다.
이차 전자 방출: 에너지가 높은 이온이 프로브에서 전자를 튕겨낼 수 있어 허위 전류를 추가합니다.
차폐 내 충돌: 차폐가 평균 자유 행로에 비해 두꺼우면 이온-중성 충돌이 발생하여 이온 전류가 감소합니다.
RF 진동: RF 가열 플라즈마에서 프로브 전위가 RF 주파수로 진동하여 해석이 복잡해집니다.

2.6 변형: 이중 및 삼중 프로브¶

이중 프로브: 벽에 대해서가 아니라 서로에 대해 바이어스된 두 개의 부유 프로브. 전원 공급 장치에서 큰 전류를 끌어내는 필요를 피합니다. 흐르는 플라즈마에 사용됩니다.

삼중 프로브: 서로 다른 바이어스의 세 프로브를 동시에 측정. 단일 시간 순간에서 $T_e$와 $n_e$를 측정할 수 있습니다(스윕 없음), 빠른 요동에 유용합니다.

3. 톰슨 산란¶

3.1 원리¶

톰슨 산란은 자유 전자에 의한 전자기파의 산란입니다. 고출력 레이저가 플라즈마를 통과하고 산란된 빛이 수집되고 분석됩니다.

장점: - 비교란(광자가 플라즈마를 가열하지 않음) - $n_e$와 $T_e$를 동시에 측정 - 높은 공간 분해능(mm) - 절대 보정(참조 플라즈마 불필요)

단점: - 비용이 비쌈(고출력 레이저와 민감한 검출기 필요) - 복잡한 분석 - 제한된 시간 분해능(레이저 반복률)

3.2 산란 영역¶

산란은 매개변수에 따라 달라집니다:

$$\alpha = \frac{1}{k \lambda_D}$$

여기서 $k = |\mathbf{k}_s - \mathbf{k}_i|$는 산란 파동 벡터(산란광자와 입사광자 운동량의 차이)입니다.

1. 비간섭성 산란 ($\alpha \ll 1$, 또는 $k \lambda_D \gg 1$):

개별 전자로부터의 산란. 전자 밀도 요동은 상관되지 않습니다. 산란 스펙트럼은 전자 속도 분포를 반영합니다.

2. 간섭성 산란 ($\alpha \gg 1$, 또는 $k \lambda_D \ll 1$):

집단 플라즈마 진동(이온 음향파, 전자 플라즈마파)으로부터의 산란. 전자가 간섭적으로 산란하여 신호가 증폭됩니다.

3.3 비간섭성 톰슨 산란¶

맥스웰 전자 분포의 경우, 산란 스펙트럼은:

$$S(\omega) \propto \exp\left( -\frac{(\omega - \omega_0)^2}{2 k^2 v_{te}^2} \right)$$

여기서 $\omega_0$는 레이저 주파수이고 $v_{te} = \sqrt{k_B T_e / m_e}$는 전자 열속도입니다.

스펙트럼은 전자 운동에 의해 도플러 확장됩니다:

$$\Delta \omega = k v_{te} = k \sqrt{\frac{k_B T_e}{m_e}}$$

$T_e$ 측정:

산란 스펙트럼을 가우스에 피팅합니다. 폭이 $T_e$를 제공합니다:

$$T_e = \frac{m_e (\Delta \omega)^2}{k^2 k_B}$$

$n_e$ 측정:

총 산란 전력은:

$$P_s = P_i \sigma_T n_e \Delta V \Delta \Omega$$

여기서: - $P_i$: 입사 레이저 전력 - $\sigma_T = 6.65 \times 10^{-29}$ m²: 톰슨 단면적 - $n_e$: 전자 밀도 - $\Delta V$: 산란 부피 - $\Delta \Omega$: 수집 광학계의 입체각

$P_s$를 측정하고 $P_i$, $\Delta V$, $\Delta \Omega$를 알면 $n_e$를 추론할 수 있습니다.

3.4 간섭성 톰슨 산란(집단 산란)¶

$k \lambda_D < 1$일 때, 산란은 집단 요동으로부터입니다. 산란 스펙트럼은 이온 음향파 주파수에서 피크를 갖습니다:

$$\omega_{ia} \approx k c_s = k \sqrt{\frac{k_B (T_e + T_i)}{m_i}}$$

스펙트럼은 다음을 보여줍니다: - 중심 피크: 전자 플라즈마파(랭뮤어 진동) - 옆 피크: 이온 음향파(청색 및 적색 편이)

옆 피크 위치에서 $c_s$ → $(T_e + T_i)$를 얻습니다. 피크 폭에서 란다우 감쇠 → $T_i$를 얻습니다.

이를 통해 비간섭성 산란에서 얻기 어려운 이온 온도 $T_i$의 측정이 가능합니다.

3.5 핵융합 장치에서의 톰슨 산란¶

ITER 톰슨 산란 시스템: - 레이저: Nd:YAG (1064 nm), 6 J/펄스, 20 Hz - 빔을 따라 ~100개의 공간 지점 - 시간 분해능: 50 ms (50 ms당 한 샷) - $n_e$ (10¹⁸–10²¹ m⁻³) 및 $T_e$ (0.1–50 keV) 측정

톰슨 산란은 토카막에서 중심부 $n_e$ 및 $T_e$ 프로파일의 골드 스탠다드입니다.

4. 간섭계와 반사계¶

4.1 마이크로파 간섭계¶

마이크로파 또는 레이저 빔이 플라즈마를 통과합니다. 위상 편이는 선적분 밀도에 비례합니다:

$$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \int n_e \, dl$$

(약한 파장 의존성을 무시)

더 정확하게는: $$\Delta \phi = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 m_e \omega c} \int n_e \, dl$$

여기서 $\omega$는 빔 주파수입니다.

$\bar{n}_e L$ 측정:

위상 편이에서 선적분 밀도를 얻습니다:

$$\int n_e \, dl = \frac{2 \epsilon_0 m_e \omega c}{e^2} \Delta \phi$$

밀도 프로파일 $n_e(r)$을 얻기 위해 서로 다른 충격 매개변수에서 다중 코드가 필요합니다. 그런 다음 아벨 역변환(원통 대칭 가정) 또는 단층촬영 역변환(2D)을 사용합니다.

아벨 역변환:

원통 대칭 플라즈마의 경우:

$$\int n_e \, dl = 2 \int_r^a n_e(r') \frac{r' \, dr'}{\sqrt{r'^2 - r^2}}$$

여기서 $r$은 충격 매개변수입니다. 역변환:

$$n_e(r) = -\frac{1}{\pi} \int_r^a \frac{d}{dr'} \left( \int n_e \, dl \right) \frac{dr'}{\sqrt{r'^2 - r^2}}$$

4.2 반사계¶

플라즈마를 통과하는 대신, 플라즈마 차단층에서 반사되는 마이크로파를 보냅니다:

$$\omega^2 = \omega_{pe}^2 = \frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e}$$

차단 밀도는: $$n_c = \frac{\epsilon_0 m_e \omega^2}{e^2} \approx 1.24 \times 10^{10} \, f^2 \quad (\text{m}^{-3}, \, f \text{ in GHz})$$

주파수를 스윕하여 서로 다른 밀도 층을 탐사합니다. 시간 지연은 차단층의 위치를 제공합니다.

장점: - 국소 측정(특정 밀도에서 반사) - 빠름(요동, 난류 측정 가능)

단점: - 복잡한 해석(위상 점프, 다중 반사) - 가장자리/경사 영역으로 제한

밀도 요동 측정:

반사계는 난류 측정에 탁월합니다. 산란 신호는 밀도 요동으로 인해 변동합니다:

$$\frac{\delta n_e}{n_e} \sim \text{몇 퍼센트}$$

이것은 토카막의 가장자리 난류를 연구하는 데 사용됩니다.

4.3 패러데이 회전¶

자화된 플라즈마에서 선형 편광된 빛의 편광면이 회전합니다:

$$\theta = \frac{e^3}{2 \epsilon_0 m_e^2 \omega^2 c} \int n_e B_\parallel \, dl$$

이것은 $\int n_e B_\parallel \, dl$를 측정하여 자기장에 대한 정보를 제공합니다(간섭계에서 $n_e$를 알 경우).

5. 분광학¶

5.1 선 방출¶

원자와 이온은 전자가 에너지 준위 사이를 전이할 때 특징적인 스펙트럼선을 방출합니다. 이러한 선을 관측하여 다음을 할 수 있습니다:

종 식별: 각 원소는 고유한 선을 가집니다 (예: H$_\alpha$ 656.3 nm, He II 468.6 nm)
온도 측정: 선 강도 비율, 도플러 확장
밀도 측정: 슈타르크 확장, 선 비율
유동 속도 측정: 도플러 편이
자기장 측정: 제만 분리

5.2 도플러 확장 → 온도¶

열운동은 도플러 확장을 야기합니다:

$$\Delta \lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{2 k_B T}{m c^2}}$$

여기서 $m$은 이온 질량입니다.

$T_i$ 측정:

스펙트럼선을 가우스에 피팅:

$$I(\lambda) = I_0 \exp\left[ -\frac{(\lambda - \lambda_0)^2}{2 (\Delta \lambda)^2} \right]$$

$\Delta \lambda$에서 $T_i$를 추론:

$$T_i = \frac{m c^2}{2 k_B} \left( \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} \right)^2$$

예: $T_i = 1$ keV, $\lambda_0 = 529$ nm에서 C⁶⁺ (완전히 벗겨진 탄소)의 경우:

$$\Delta \lambda = 529 \times 10^{-9} \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-16}}{12 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2}} \approx 0.01 \text{ nm}$$

이를 위해서는 고분해능 분광기($R = \lambda / \Delta \lambda \sim 50{,}000$)가 필요합니다.

5.3 슈타르크 확장 → 밀도¶

슈타르크 확장은 인근 이온과 전자의 전기장이 에너지 준위를 이동시킬 때 발생합니다. 선 폭은 $n_e^{2/3}$에 비례합니다:

$$\Delta \lambda_{Stark} \propto n_e^{2/3}$$

수소 발머선(H$_\alpha$, H$_\beta$)의 경우 경험적 공식이 존재합니다:

$$\Delta \lambda_{H\alpha} (\text{nm}) \approx 4 \times 10^{-16} n_e^{2/3}$$

$n_e$ 측정:

H$_\alpha$ 선 폭을 관측합니다(도플러 및 기기 확장을 뺀 후):

$$n_e = \left( \frac{\Delta \lambda_{H\alpha}}{4 \times 10^{-16}} \right)^{3/2}$$

이것은 가장자리 플라즈마와 저온 플라즈마에서 일반적으로 사용됩니다.

5.4 도플러 편이 → 유동 속도¶

움직이는 플라즈마는 스펙트럼선을 편이시킵니다:

$$\Delta \lambda = \lambda_0 \frac{v_{\parallel}}{c}$$

여기서 $v_\parallel$는 시선 방향을 따른 속도 성분입니다.

$v$ 측정:

$$v_{\parallel} = c \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}$$

예: 토카막의 토로이달 회전의 경우, C⁶⁺ 방출을 관측합니다. $\lambda_0 = 529$ nm에서 $\Delta \lambda = 0.05$ nm이면:

$$v_{\parallel} = 3 \times 10^8 \times \frac{0.05 \times 10^{-9}}{529 \times 10^{-9}} \approx 28 \text{ km/s}$$

일반적인 토카막 회전 속도는 10–100 km/s입니다.

5.5 전하 교환 재결합 분광학(CXRS)¶

중심부 플라즈마에서 이온 온도와 유동 속도를 측정하는 뛰어난 기법:

중성 원자 빔(보통 중수소)을 플라즈마에 주입합니다.
플라즈마의 빠른 이온이 중성 입자와 전하 교환을 합니다: $$\text{D}^+ + \text{D}^0 \to \text{D}^0 + \text{D}^+$$ 또는 불순물(예: 탄소)의 경우: $$\text{C}^{6+} + \text{D}^0 \to \text{C}^{5+} + \text{D}^+$$
새로 형성된 $\text{C}^{5+}$는 들뜬 상태에 있고 빛을 방출합니다(예: 529 nm).
이 빛은 벌크 이온의 도플러 편이와 확장을 가지며 $T_i$와 $v_i$를 제공합니다.

장점: - 중심부 $T_i$와 $v_i$ 측정(가장자리 분광학으로는 불가능) - 높은 공간 분해능(빔 경로를 따라)

단점: - 중성 빔 주입 필요(플라즈마 교란) - 복잡한 보정

CXRS는 토카막의 회전 측정에 필수적이며, 이는 MHD 안정성과 난류에 영향을 미칩니다.

5.6 제만 분리 → 자기장¶

자기장에서 스펙트럼선은 제만 효과로 인해 여러 성분으로 분리됩니다:

$$\Delta E = \mu_B g_J m_J B$$

여기서 $\mu_B$는 보어 자기자, $g_J$는 란데 g-인자, $m_J$는 자기 양자수입니다.

파장 분리는:

$$\Delta \lambda = \lambda_0^2 \frac{e B}{4\pi m_e c^2}$$

예: $B = 1$ T에서 H$_\alpha$ ($\lambda_0 = 656.3$ nm)의 경우:

$$\Delta \lambda \approx (656.3 \times 10^{-9})^2 \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1}{4\pi \times 9.11 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2} \approx 0.014 \text{ nm}$$

이것은 고분해능 분광학으로 검출할 수 있습니다.

운동 슈타르크 효과(MSE):

토카막에서 중성 빔 원자는 로렌츠 변환된 전기장을 봅니다:

$$\mathbf{E}' = -\mathbf{v}_{beam} \times \mathbf{B}$$

이것은 슈타르크 분리를 야기하며, 그 편광은 $\mathbf{B}$의 방향에 따라 달라집니다. 편광각을 측정하여 자기장의 피치각을 얻습니다:

$$\tan \theta = \frac{B_\theta}{B_\phi}$$

이것은 암페어 법칙을 통해 전류 밀도 프로파일을 제공합니다:

$$J_\phi = \frac{1}{\mu_0} \frac{\partial B_\theta}{\partial r}$$

MSE는 안전 인자 프로파일 $q(r)$ 측정에 중요합니다.

6. 자기 진단¶

6.1 로고스키 코일¶

로고스키 코일은 플라즈마 주위에 감긴 토로이달 코일입니다. 암페어 법칙으로부터:

$$\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{enclosed}$$

코일은 플라즈마 전류의 시간 도함수를 측정합니다:

$$V_{coil} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 A N \frac{dI_p}{dt}$$

여기서 $N$은 권선 수, $A$는 단면적입니다.

시간에 대해 적분:

$$I_p(t) = -\frac{1}{\mu_0 A N} \int V_{coil} \, dt$$

정확도: 로고스키 코일은 총 플라즈마 전류를 제공하며, 평형 재구성과 방전 제어에 필수적입니다.

6.2 자기 픽업 코일¶

작은 코일(플럭스 루프)은 국소 자기장을 측정합니다:

$$V_{coil} = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$$

서로 다른 위치에 많은 코일을 배치하여 2D 폴로이달 자기장 $B_\theta(r, \theta)$를 재구성합니다.

그라드-샤프라노프 평형 재구성:

자기 측정과 압력(톰슨 산란에서)을 결합하여 그라드-샤프라노프 방정식을 풉니다:

$$\Delta^* \psi = -\mu_0 r^2 \frac{dp}{d\psi} - F \frac{dF}{d\psi}$$

이것은 자기 플럭스 표면과 $q(r)$을 제공합니다.

6.3 반자성 루프¶

폴로이달 루프는 반자성 플럭스를 측정합니다:

$$\Phi_{dia} = \int \mathbf{B}_\theta \cdot d\mathbf{A}$$

반자성 효과는 플라즈마 압력이 존재할 때 $B_\theta$를 감소시킵니다:

$$B_\theta^{vac} - B_\theta^{plasma} \propto p$$

저장 에너지는:

$$W = \frac{3}{2} \int p \, dV \propto \Phi_{dia}$$

이것은 저장 에너지의 빠르고 간단한 측정을 제공하며, 핵융합 성능에 중요합니다($Q = P_{fusion} / P_{input} \propto W$).

6.4 운동 슈타르크 효과(MSE)¶

섹션 5.6에서 논의한 바와 같이, MSE는 중성 빔 방출의 슈타르크 분리로부터 내부 자기장을 측정합니다. 이것은 플라즈마 내부의 $B(r)$을 측정하는 몇 안 되는 방법 중 하나입니다.

7. 저온 및 산업용 플라즈마¶

7.1 글로우 방전¶

글로우 방전은 특징적인 빛(가시광선 방출)을 내는 저압 가스 방전입니다. 다음에 사용됩니다: - 플라즈마 처리(식각, 증착) - 조명(네온 사인, 형광등) - 디스플레이(플라즈마 TV, 현재 사용하지 않음)

파셴의 법칙: 파괴 전압 $V_b$(방전을 유지하는 최소 전압)는 곱 $p d$(압력 × 간격 거리)에 따라 달라집니다:

$$V_b = \frac{B p d}{\ln(A p d) - \ln(\ln(1 + 1/\gamma))}$$

여기서 $A$와 $B$는 가스 의존 상수이고, $\gamma$는 이차 방출 계수입니다.

특정 $p d$에서 최소 파괴 전압이 있습니다(파셴 최소값).

예: 공기의 경우 $p d \approx 0.5$ Torr·cm에서 $V_b \approx 300$ V입니다.

7.2 RF 플라즈마¶

용량 결합 플라즈마(CCP):

RF(일반적으로 13.56 MHz)로 구동되는 두 개의 평행 전극. 이온은 시간 평균 전위에 반응하고 전자는 RF 주파수로 진동합니다.

유도 결합 플라즈마(ICP):

외부 코일의 RF 전류가 시간 변화 자기장을 유도하고, 이것이 방위각 전기장을 유도 → 플라즈마 전류를 구동 → 전자를 가열합니다.

ICP는 CCP보다 높은 밀도($10^{17}$–$10^{18}$ m⁻³)를 달성합니다.

7.3 플라즈마 처리 진단¶

광학 방출 분광학(OES):

방출선을 모니터링하여 다음을 추적: - 식각 종점: 기판이 식각되면 하부 층의 방출이 나타남 - 가스 조성: 불순물 검출, 전구체 분해 모니터링

랭뮤어 프로브:

챔버에서 $n_e$, $T_e$ 측정. 스퍼터링을 피하기 위해 부유 전위에 있어야 합니다.

사중극자 질량 분석기(QMS):

중성 및 이온 종을 샘플링하고 화학 반응을 식별합니다.

레이저 유도 형광(LIF):

조정 가능한 레이저로 중성 종을 여기하고 형광을 측정 → 특정 종의 밀도와 속도를 얻습니다.

7.4 응용¶

반도체 제조: 플라즈마 식각(이방성, 선택적), PECVD(플라즈마 강화 화학 기상 증착)
표면 처리: 세정, 활성화, 코팅
살균: 저온 플라즈마가 열 없이 박테리아를 죽임
조명: 에너지 효율적(형광등, LED 플라즈마)
재료 처리: 질화, 침탄, 경화

8. Python 코드 예제¶

8.1 랭뮤어 프로브 I-V 곡선 피팅¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

# Generate synthetic I-V data
def langmuir_current(V, n_e, T_e, V_p, V_f, A_p):
    """
    Langmuir probe current model.
    """
    e = 1.6e-19
    k_B = 1.38e-23
    m_e = 9.11e-31
    m_i = 1.67e-27  # proton

    # Bohm velocity
    u_B = np.sqrt(k_B * T_e / m_i)

    # Ion saturation current
    I_sat_i = e * n_e * u_B * A_p

    # Electron current (Boltzmann)
    v_bar_e = np.sqrt(8 * k_B * T_e / (np.pi * m_e))
    I_sat_e = 0.25 * e * n_e * v_bar_e * A_p

    # Total current
    I = np.where(V < V_p,
                 I_sat_e * np.exp(e * (V - V_p) / (k_B * T_e)) - I_sat_i,
                 I_sat_e - I_sat_i)

    return I

# True parameters
n_e_true = 1e16  # m^-3
T_e_true = 3.0   # eV
V_p_true = 10.0  # V
V_f_true = 5.0   # V (not used directly, but implicit)
A_p = 1e-4       # m^2 (1 cm^2)

# Generate data
V = np.linspace(-20, 20, 100)
I_true = langmuir_current(V, n_e_true, T_e_true * 1.6e-19, V_p_true, V_f_true, A_p)
I_noisy = I_true + np.random.normal(0, 0.1e-6, len(V))

# Fit in electron retardation region
mask = (V > 0) & (V < V_p_true)
V_fit = V[mask]
I_fit = I_noisy[mask]

# Take log of electron current (approximate, ignoring ion current)
I_e_approx = I_fit + 1e-6  # shift to avoid log(negative)
ln_I = np.log(np.abs(I_e_approx))

# Linear fit: ln(I) = (e/k_B T_e) * V + const
p = np.polyfit(V_fit, ln_I, 1)
slope = p[0]

e = 1.6e-19
k_B = 1.38e-23
T_e_fit = e / (k_B * slope)

print("Langmuir Probe Analysis:")
print(f"  True T_e = {T_e_true:.2f} eV")
print(f"  Fitted T_e = {T_e_fit:.2f} eV")
print()

# Find V_p (knee of curve)
dI_dV = np.gradient(I_noisy, V)
d2I_dV2 = np.gradient(dI_dV, V)
idx_Vp = np.argmax(d2I_dV2)
V_p_fit = V[idx_Vp]

print(f"  True V_p = {V_p_true:.2f} V")
print(f"  Fitted V_p = {V_p_fit:.2f} V")
print()

# Plot
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(13, 5))

# I-V curve
axes[0].plot(V, I_true * 1e6, 'b-', linewidth=2, label='True')
axes[0].plot(V, I_noisy * 1e6, 'r.', markersize=4, label='Noisy data')
axes[0].axhline(0, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[0].axvline(V_p_true, color='g', linestyle='--', linewidth=2, label=f'V_p = {V_p_true} V')
axes[0].set_xlabel('Probe voltage V (V)', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('Current I (μA)', fontsize=12)
axes[0].set_title('Langmuir Probe I-V Characteristic', fontsize=13)
axes[0].legend(fontsize=11)
axes[0].grid(alpha=0.3)

# ln(I) vs V (electron retardation region)
axes[1].plot(V_fit, ln_I, 'bo', markersize=5, label='Data')
axes[1].plot(V_fit, np.polyval(p, V_fit), 'r-', linewidth=2,
             label=f'Fit: slope = {slope:.2f} V⁻¹\nT_e = {T_e_fit:.2f} eV')
axes[1].set_xlabel('Probe voltage V (V)', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('ln(I)', fontsize=12)
axes[1].set_title('Electron Retardation Region (Temperature Fit)', fontsize=13)
axes[1].legend(fontsize=11)
axes[1].grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('langmuir_probe.png', dpi=150)
plt.show()

8.2 간섭계: 위상 편이로부터 밀도 프로파일¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import cumtrapz

def abel_inversion(r_impact, line_integral):
    """
    Abel inversion to get radial profile from line-integrated data.

    Assumes cylindrical symmetry: n(r).
    Given: ∫ n(r) dl for different impact parameters r.
    """
    # Sort by impact parameter
    idx = np.argsort(r_impact)
    r = r_impact[idx]
    L = line_integral[idx]

    # Compute derivative dL/dr
    dL_dr = np.gradient(L, r)

    # Abel inversion: n(r) = -(1/π) ∫_r^a (dL/dr') / sqrt(r'^2 - r^2) dr'
    n_r = np.zeros_like(r)

    for i in range(len(r)):
        ri = r[i]
        # Integrate from ri to r_max
        integrand = dL_dr[i:] / np.sqrt(r[i:]**2 - ri**2 + 1e-10)  # avoid division by zero
        n_r[i] = -1/np.pi * np.trapz(integrand, r[i:])

    return r, n_r

# Synthetic density profile (parabolic)
a = 0.5  # plasma radius (m)
n_0 = 1e20  # peak density (m^-3)

r_true = np.linspace(0, a, 100)
n_true = n_0 * (1 - (r_true / a)**2)**2

# Compute line-integrated density for different chords
N_chords = 20
r_impact = np.linspace(0, 0.9*a, N_chords)
line_integral = np.zeros(N_chords)

for i, r_imp in enumerate(r_impact):
    # Integrate along the chord
    # For cylindrical symmetry: ∫ n dl = 2 ∫_r_imp^a n(r) r dr / sqrt(r^2 - r_imp^2)
    r_chord = np.linspace(r_imp + 1e-6, a, 200)
    integrand = n_0 * (1 - (r_chord/a)**2)**2 * r_chord / np.sqrt(r_chord**2 - r_imp**2)
    line_integral[i] = 2 * np.trapz(integrand, r_chord)

# Add noise
line_integral_noisy = line_integral + np.random.normal(0, 0.02 * n_0 * a, N_chords)

# Abel inversion
r_inverted, n_inverted = abel_inversion(r_impact, line_integral_noisy)

# Plot
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(13, 5))

# Line-integrated density
axes[0].plot(r_impact * 100, line_integral / (n_0 * a), 'bo', markersize=7, label='True')
axes[0].plot(r_impact * 100, line_integral_noisy / (n_0 * a), 'rx', markersize=7, label='Noisy')
axes[0].set_xlabel('Impact parameter r (cm)', fontsize=12)
axes[0].set_ylabel('Line-integrated density / (n₀ a)', fontsize=12)
axes[0].set_title('Interferometry Measurements', fontsize=13)
axes[0].legend(fontsize=11)
axes[0].grid(alpha=0.3)

# Density profile
axes[1].plot(r_true * 100, n_true / n_0, 'b-', linewidth=2, label='True profile')
axes[1].plot(r_inverted * 100, np.abs(n_inverted) / n_0, 'r--', linewidth=2, label='Abel inverted')
axes[1].set_xlabel('Radius r (cm)', fontsize=12)
axes[1].set_ylabel('Density n / n₀', fontsize=12)
axes[1].set_title('Reconstructed Density Profile', fontsize=13)
axes[1].legend(fontsize=11)
axes[1].grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('interferometry_inversion.png', dpi=150)
plt.show()

print("Interferometry and Abel Inversion:")
print(f"  Number of chords: {N_chords}")
print(f"  Peak density (true): {n_0:.2e} m⁻³")
print(f"  Peak density (inverted): {np.max(np.abs(n_inverted)):.2e} m⁻³")
print(f"  Relative error: {100 * (np.max(np.abs(n_inverted)) - n_0) / n_0:.1f}%")

8.3 도플러 확장: 스펙트럼선 피팅 → 온도¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def gaussian(x, A, mu, sigma):
    """Gaussian function."""
    return A * np.exp(-(x - mu)**2 / (2 * sigma**2))

def doppler_width(T, m, lambda_0):
    """
    Doppler width (FWHM) of spectral line.

    T: temperature (eV)
    m: ion mass (kg)
    lambda_0: rest wavelength (m)
    """
    k_B = 1.38e-23
    c = 3e8
    e = 1.6e-19

    T_J = T * e
    sigma_v = np.sqrt(k_B * T_J / m)  # velocity dispersion
    sigma_lambda = lambda_0 * sigma_v / c  # wavelength dispersion

    return sigma_lambda

# Simulate spectral line (C^6+ at 529 nm)
lambda_0 = 529e-9  # m
m_C = 12 * 1.67e-27  # kg
T_true = 1000  # eV (1 keV)

sigma_true = doppler_width(T_true, m_C, lambda_0)

# Wavelength grid
lambda_grid = np.linspace(lambda_0 - 3*sigma_true, lambda_0 + 3*sigma_true, 200)

# True spectrum
I_true = gaussian(lambda_grid, 1.0, lambda_0, sigma_true)

# Add noise
I_noisy = I_true + np.random.normal(0, 0.02, len(lambda_grid))

# Fit Gaussian
p0 = [1.0, lambda_0, sigma_true * 1.2]  # initial guess
popt, pcov = curve_fit(gaussian, lambda_grid, I_noisy, p0=p0)

A_fit, mu_fit, sigma_fit = popt

# Infer temperature
T_fit = (m_C * c**2 / k_B) * (sigma_fit / lambda_0)**2 / 1.6e-19  # eV

print("Doppler Broadening Analysis:")
print(f"  True temperature: {T_true} eV")
print(f"  Fitted temperature: {T_fit:.1f} eV")
print(f"  True sigma: {sigma_true * 1e12:.3f} pm")
print(f"  Fitted sigma: {sigma_fit * 1e12:.3f} pm")
print()

# Plot
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(lambda_grid * 1e9, I_true, 'b-', linewidth=2, label='True (T = 1000 eV)')
plt.plot(lambda_grid * 1e9, I_noisy, 'r.', markersize=5, label='Noisy data')
plt.plot(lambda_grid * 1e9, gaussian(lambda_grid, *popt), 'g--', linewidth=2,
         label=f'Gaussian fit (T = {T_fit:.0f} eV)')

plt.xlabel('Wavelength λ (nm)', fontsize=12)
plt.ylabel('Intensity (normalized)', fontsize=12)
plt.title('Doppler Broadening of C⁶⁺ Line (529 nm)', fontsize=13)
plt.legend(fontsize=11)
plt.grid(alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('doppler_broadening.png', dpi=150)
plt.show()

요약¶

이 레슨에서 주요 플라즈마 진단 기법을 조사했습니다:

랭뮤어 프로브: I-V 특성을 통한 $n_e$, $T_e$, $V_p$의 간단한 국소 측정. 가장자리 플라즈마에 유용하지만 교란적입니다.
톰슨 산란: 중심부 $n_e$ 및 $T_e$의 골드 스탠다드. 비간섭성 산란은 전자 분포를 제공하고, 간섭성 산란은 집단 모드를 통해 이온 온도를 제공합니다.
간섭계와 반사계: 밀도를 위한 마이크로파 진단. 간섭계는 선적분 밀도를 제공하고, 반사계는 국소 밀도와 요동을 제공합니다.
분광학: 선 방출로부터 풍부한 정보. 도플러 확장 → 온도, 슈타르크 확장 → 밀도, 도플러 편이 → 유동, 제만 분리 → 자기장.
CXRS: 전하 교환 재결합 분광학은 중성 빔의 불순물 방출을 관측하여 중심부 $T_i$와 회전을 측정합니다.
자기 진단: 로고스키 코일(총 전류), 픽업 코일(폴로이달 자기장), 반자성 루프(저장 에너지), MSE(내부 자기장).
저온 플라즈마: 산업용 플라즈마 처리(식각, 증착, 살균)를 위한 랭뮤어 프로브, OES, 질량 분석법.

현대 핵융합 실험은 통합 진단을 사용합니다: 여러 기법을 결합하여 플라즈마 상태의 완전한 그림을 구축합니다. 데이터 융합과 베이지안 추론은 서로 다른 측정을 결합하는 새로운 도구입니다.

연습 문제¶

문제 1: 가장자리 플라즈마의 랭뮤어 프로브¶

토카막 가장자리의 랭뮤어 프로브가 다음을 측정합니다: - 이온 포화 전류: $I_{sat,i} = -5$ mA - 프로브 면적: $A_p = 2$ mm² - 전자 온도(기울기에서): $T_e = 20$ eV

계산하세요: (a) 봄 속도 $u_B$. (b) 이온 밀도 $n_i$. (c) 부유 전위 $V_f$ ($T_e = T_i$ 및 단일 전하 이온 가정).

문제 2: 톰슨 산란 스펙트럼¶

톰슨 산란 시스템이 90° 산란각에서 Nd:YAG 레이저($\lambda = 1064$ nm)를 사용합니다. 산란 스펙트럼은 $\Delta \lambda = 2$ nm의 가우스 폭을 보입니다.

(a) 전자 온도 $T_e$를 계산하세요. (b) 산란 전력이 입사 전력 $P_i = 1$ J/펄스, 산란 부피 $\Delta V = 1$ mm³, 수집 입체각 $\Delta \Omega = 0.01$ sr에 대해 $P_s = 10^{-9}$ W이면, 전자 밀도 $n_e$를 추정하세요.

문제 3: 간섭계 아벨 역변환¶

간섭계가 원통형 플라즈마(반지름 $a = 10$ cm)를 통과하는 5개 코드를 따라 선적분 밀도를 측정합니다:

충격 매개변수 $r$ (cm)	선 적분 $\int n_e \, dl$ (10¹⁸ m⁻²)
0	10.0
3	9.5
5	8.0
7	5.0
9	2.0

(a) 포물선 프로파일 $n_e(r) = n_0 (1 - r^2/a^2)^\alpha$를 가정하고, 데이터에 피팅하여 $n_0$와 $\alpha$를 추정하세요. (b) 아벨 역변환(수치적 또는 해석적)을 사용하여 $r = 0, 5, 10$ cm에서 $n_e(r)$을 재구성하세요.

문제 4: 도플러 분광학¶

토카막 플라즈마에서 $\lambda_0 = 529.0$ nm의 C⁶⁺ 선이 관측됩니다. 측정된 스펙트럼은: - 피크 파장: $\lambda_{peak} = 529.05$ nm - FWHM: $\Delta \lambda_{FWHM} = 0.02$ nm

(a) 토로이달 회전 속도를 계산하세요(시선이 토로이달 방향에 수직이라고 가정). (b) 도플러 확장으로부터 이온 온도 $T_i$를 계산하세요(탄소 질량 $m = 12$ amu 가정). (c) $\Delta \lambda_{Stark} = 0.005$ nm의 슈타르크 확장도 있다면, 본질적인 도플러 폭은 얼마입니까?

문제 5: 자기 진단¶

토카막에 플라즈마 전류를 측정하는 로고스키 코일이 있습니다. 코일은 $N = 1000$ 권선, 단면적 $A = 1$ cm²를 가지며, 램프업 단계(1 s 지속) 동안 유도 전압은 $V_{coil} = -50$ mV입니다.

(a) 플라즈마 전류의 변화율 $dI_p / dt$를 계산하세요. (b) 전류가 0에서 시작한다면, 1 s 후 최종 플라즈마 전류 $I_p$는 얼마입니까($dI_p/dt$가 일정하다고 가정)? (c) 반자성 루프가 저장 에너지 $W = 10$ MJ를 측정합니다. 플라즈마 부피 $V = 100$ m³에 대해 평균 압력 $\langle p \rangle$을 추정하세요.

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