14. From Kinetic to MHD¶

학습 목표¶

6차원 운동 이론에서 3차원 단일 유체 MHD로의 체계적 축소 이해하기
이유체 이론에서 종을 결합하여 단일 유체 MHD 방정식 유도하기
MHD 근사의 유효 조건과 한계 식별하기
무충돌 플라즈마에 대한 CGL (Chew-Goldberger-Low) 이중 단열 모델 설명하기
중간 축소로서 drift-kinetic과 gyrokinetic 이론 이해하기
다양한 플라즈마 모델 비교하고 각각을 언제 적용할지 알기

1. 플라즈마 모델의 계층¶

1.1 개요: 완전 운동 이론에서 MHD까지¶

플라즈마 물리학은 다양한 근사 수준과 계산 비용을 가진 풍부한 모델 계층을 가지고 있습니다:

완전 운동 이론 (Vlasov-Maxwell)
    ↓  [회전에 대한 평균]
Drift-Kinetic (5D)
    ↓  [바운스 운동에 대한 평균 / 섭동 전개]
Gyrokinetic (5D, with FLR)
    ↓  [모멘트 취하기]
이유체 (3D × 2 종)
    ↓  [종 결합]
확장 MHD (Hall, FLR, 등)
    ↓  [작은 항 제거]
단일 유체 MHD (3D)
    ↓  [평형, 선형화]
MHD 파동, 불안정성

계층의 각 단계 아래로: - 차원성 또는 변수 수를 감소시킴 - 방정식을 간소화함 - 일부 물리를 손실함 - 계산 효율성을 증가시킴

플라즈마 물리학의 기술은 당면 문제에 적합한 모델을 선택하는 것입니다.

1.2 각 모델이 포착하는 것은?¶

모델	차원	포착	놓침
Vlasov-Maxwell	6D (r,v,t)	모든 것: 파동-입자, 비등방성, 운동학적 불안정성	계산적으로 금지적
Drift-Kinetic	5D (R,v∥,μ,t)	평행 역학, 포획 입자, 무충돌 감쇠	사이클로트론 공명, gyrophase
Gyrokinetic	5D (R,v∥,μ,t)	FLR, 난류, 미세 불안정성	빠른 자기음파, 압축성
이유체	3D × 2 종	Hall 효과, 전자 압력, 별도 종	운동학적 효과 (감쇠, 불안정성)
Hall MHD	3D	Whistler, 빠른 재결합, 분산 파동	운동학적 감쇠, 압력 비등방성
저항 MHD	3D	재결합, 저항 불안정성	작은 스케일에서 빠른 과정
이상적 MHD	3D	Alfvén/자기음파 파동, 총체적 평형	재결합, 운동학적 물리, 작은 스케일

1.3 어떤 모델을 언제 사용할까?¶

이상적 MHD 사용 시: - 대규모 평형과 안정성 (토카막, 항성 대기) - 저주파 파동 ($\omega \ll \omega_{ci}$) - 등방 압력을 가진 충돌 플라즈마 - 자기 Reynolds 수 $R_m \gg 1$

저항 MHD 사용 시: - 자기 재결합 (태양 플레어, 서브스톰) - 저항 불안정성 (찢어짐 모드) - 전류 구동 역학

Hall MHD 사용 시: - $d_i$에 접근하는 스케일 (자기권계면, 재결합) - whistler 유출을 가진 빠른 재결합 - 자기장 생성 (다이나모)

이유체 사용 시: - 별도 전자와 이온 역학이 중요 - 각 종 내의 압력 비등방성 - 운동학적 효과가 부차적

Gyrokinetic 사용 시: - 토카막 난류 (이온-온도-경사 모드, 포획-전자 모드) - FLR 효과를 가진 미세 불안정성 - 약한 섭동을 가진 무충돌 플라즈마

완전 운동 이론 사용 시: - 파동-입자 공명이 중요 (Landau 감쇠, 사이클로트론 가열) - 강하게 비-Maxwell 분포 (빔-플라즈마, 폭주 전자) - 속도-공간 불안정성 (이류, bump-on-tail)

2. 이유체에서 단일 유체 MHD로¶

2.1 단일 유체 변수 정의¶

종 $s$ (전자 $e$, 이온 $i$)에 대한 이유체 방정식을 상기:

연속: $$\frac{\partial n_s}{\partial t} + \nabla \cdot (n_s \mathbf{u}_s) = 0$$

운동량: $$m_s n_s \frac{d \mathbf{u}_s}{dt} = q_s n_s (\mathbf{E} + \mathbf{u}_s \times \mathbf{B}) - \nabla p_s + \mathbf{R}_s$$

에너지 (단열 닫힘): $$\frac{d}{dt}\left( \frac{p_s}{n_s^\gamma} \right) = 0$$

단일 유체 MHD를 유도하기 위해, 질량 중심(유체) 변수를 정의합니다:

질량 밀도: $$\rho = m_i n_i + m_e n_e \approx m_i n$$

(준중성 $n_i \approx n_e \equiv n$과 $m_i \gg m_e$ 사용)

유체 속도 (질량 중심 속도): $$\mathbf{v} = \frac{m_i n_i \mathbf{u}_i + m_e n_e \mathbf{u}_e}{\rho} \approx \mathbf{u}_i$$

총 압력: $$p = p_i + p_e$$

전류 밀도: $$\mathbf{J} = e(n_i \mathbf{u}_i - n_e \mathbf{u}_e) \approx en(\mathbf{u}_i - \mathbf{u}_e)$$

전하 밀도 (준중성): $$\rho_c = e(n_i - n_e) \approx 0$$

2.2 연속 방정식 결합¶

전자와 이온 연속 방정식을 더합니다:

$$\frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_e \mathbf{u}_e) = 0$$ $$\frac{\partial n_i}{\partial t} + \nabla \cdot (n_i \mathbf{u}_i) = 0$$

전자 방정식에 $m_e$를 곱하고 이온 방정식에 $m_i$를 곱한 후 더합니다:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (m_e n_e \mathbf{u}_e + m_i n_i \mathbf{u}_i) = 0$$

$\rho \mathbf{v} = m_i n_i \mathbf{u}_i + m_e n_e \mathbf{u}_e \approx m_i n \mathbf{u}_i$ 사용:

$$\boxed{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0}$$

이것이 단일 유체 MHD에 대한 질량 연속 방정식입니다.

2.3 운동량 방정식 결합¶

전자와 이온 운동량 방정식을 더합니다:

$$m_e n_e \frac{d \mathbf{u}_e}{dt} = -e n_e (\mathbf{E} + \mathbf{u}_e \times \mathbf{B}) - \nabla p_e + \mathbf{R}_e$$ $$m_i n_i \frac{d \mathbf{u}_i}{dt} = +e n_i (\mathbf{E} + \mathbf{u}_i \times \mathbf{B}) - \nabla p_i + \mathbf{R}_i$$

충돌 항은 상쇄됩니다: $\mathbf{R}_e + \mathbf{R}_i = 0$ (운동량 보존).

전기장 항은 상쇄됩니다(준중성 사용): $$-e n_e \mathbf{E} + e n_i \mathbf{E} = e(n_i - n_e) \mathbf{E} \approx 0$$

Lorentz 힘 항은 다음을 제공합니다: $$-e n_e \mathbf{u}_e \times \mathbf{B} + e n_i \mathbf{u}_i \times \mathbf{B} = e n (\mathbf{u}_i - \mathbf{u}_e) \times \mathbf{B} = \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$

관성 항: $$m_e n_e \frac{d \mathbf{u}_e}{dt} + m_i n_i \frac{d \mathbf{u}_i}{dt} \approx m_i n \frac{d \mathbf{u}_i}{dt} = \rho \frac{d \mathbf{v}}{dt}$$

(전자 관성 항 $m_e n_e d\mathbf{u}_e/dt \ll m_i n_i d\mathbf{u}_i/dt$ 무시).

모두 합치면:

$$\boxed{\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p}$$

이것이 단일 유체 MHD에 대한 운동량 방정식입니다.

2.4 이상적 Ohm의 법칙¶

이상적 MHD의 핵심 단계는 Ohm의 법칙을 유도하는 것입니다. Lesson 13에서 일반화된 Ohm의 법칙을 유도했습니다:

$$\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \eta \mathbf{J} + \frac{1}{en} \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \frac{1}{en} \nabla p_e + \frac{m_e}{e^2 n^2} \frac{d \mathbf{J}}{dt}$$

이상적 MHD에서, 다음 근사를 합니다:

높은 전도도 ($\eta \to 0$): 저항 항 무시
큰 스케일 ($L \gg d_i$): Hall 항 무시
느린 역학: 전자 관성 무시
무시할 수 있는 전자 압력 경사 (또는 등방 전자 압력): 압력 항 무시

이것이 이상적 Ohm의 법칙을 제공합니다:

$$\boxed{\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = 0}$$

이것이 동결 조건입니다: 자기장은 유체에 동결되어 함께 움직입니다.

2.5 Faraday의 법칙과 유도 방정식¶

Maxwell 방정식에서: $$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

이상적 Ohm의 법칙 $\mathbf{E} = -\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ 대입:

$$\nabla \times (-\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

벡터 항등식 $\nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}$ 사용:

$$\nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = \mathbf{v}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{B}$$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$이므로:

$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{v} - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{v}) - (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{B}$$

재배열:

$$\boxed{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B})}$$

또는 동등하게:

$$\boxed{\frac{d \mathbf{B}}{dt} = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{v} - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{v})}$$

여기서 $d/dt = \partial/\partial t + \mathbf{v} \cdot \nabla$는 대류 도함수입니다.

이것이 유도 방정식 (또는 자기 진화 방정식)입니다. 플라즈마가 흐를 때 자기장이 어떻게 진화하는지 기술합니다.

2.6 요약: 이상적 MHD 방정식¶

이상적 MHD 방정식은:

질량 연속: $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$$

운동량: $$\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p$$

유도: $$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$$

에너지 (단열): $$\frac{d}{dt}\left( \frac{p}{\rho^\gamma} \right) = 0$$

Ampère의 법칙 (변위 전류 무시): $$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$$

자기 단극 없음: $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$

이들은 8개 미지수에 대한 8개 방정식입니다: $\rho$, $\mathbf{v}$ (3 성분), $p$, $\mathbf{B}$ (3 성분), 제약 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 주어짐.

(전기장 $\mathbf{E}$는 Ohm의 법칙에 의해 결정됩니다: $\mathbf{E} = -\mathbf{v} \times \mathbf{B}$.)

3. MHD의 유효 조건¶

3.1 저주파: $\omega \ll \omega_{ci}$¶

MHD는 저주파 근사입니다. 현상의 시간 스케일은 이온 사이클로트론 주기보다 훨씬 길어야 합니다:

$$\omega \ll \omega_{ci} = \frac{eB}{m_i}$$

이는 이온이 개별 입자 거동을 나타내기보다는 유체와 같은 방식으로 장에 회전하고 반응할 시간이 있도록 보장합니다.

예: $B = 1$ T의 경우, $\omega_{ci} \approx 10^8$ rad/s ($f \approx 16$ MHz). MHD는 ~10 MHz보다 느린 현상에 유효합니다.

3.2 큰 스케일: $L \gg \rho_i$¶

공간 스케일은 이온 gyroradius보다 훨씬 커야 합니다:

$$L \gg \rho_i = \frac{v_{th,i}}{\omega_{ci}}$$

$\lesssim \rho_i$ 스케일에서, 유한 Larmor 반경 (FLR) 효과가 중요해지고, MHD가 붕괴됩니다.

예: $T_i = 10$ keV와 $B = 1$ T의 경우, $\rho_i \approx 0.5$ cm. MHD는 $\gg 1$ cm 스케일에 유효합니다.

3.3 충돌적: $\lambda_{mfp} \ll L$¶

등방 압력(이상적 MHD에서 가정)을 위해, 충돌이 분포함수를 등방화할 만큼 충분히 빈번해야 합니다:

$$\lambda_{mfp} = v_{th} \tau \ll L$$

여기서 $\tau$는 충돌 시간입니다.

무충돌 플라즈마에서, 압력 텐서는 비등방적입니다 ($p_\parallel \neq p_\perp$), 더 일반적인 닫힘이 필요합니다 (예: 아래에서 논의할 CGL).

예: 태양풍에서, $\lambda_{mfp} \sim 1$ AU $\gg L$ 어떤 합리적인 구조에 대해. 표준 MHD는 유효하지 않습니다—CGL 또는 운동학적 모델이 필요합니다.

3.4 비상대론적: $v \ll c$¶

플라즈마 흐름과 열속도는 비상대론적이어야 합니다:

$$v, v_{th} \ll c$$

이는 Ampère의 법칙에서 변위 전류를 무시하고 비상대론적 운동량 방정식을 사용할 수 있게 합니다.

예: $T = 10$ keV의 경우, $v_{th,e} \approx 0.04c$ (상대론적 보정 ~몇 퍼센트). 더 높은 온도의 경우, 상대론적 MHD가 필요합니다.

3.5 준중성: $n_e \approx n_i$¶

플라즈마는 관심 스케일에서 준중성이어야 합니다:

$$L \gg \lambda_D = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k_B T}{n e^2}}$$

이는 전하 분리를 무시하고 변위 전류를 제거할 수 있게 합니다.

예: $n = 10^{19}$ m$^{-3}$와 $T = 10$ eV의 경우, $\lambda_D \approx 10$ μm. MHD는 $L \gg 10$ μm에 유효합니다.

3.6 높은 자기 Reynolds 수: $R_m \gg 1$¶

이상적 MHD (동결)의 경우, 자기 Reynolds 수가 커야 합니다:

$$R_m = \frac{\mu_0 V L}{\eta} \gg 1$$

여기서 $V$는 특성 유동 속도, $L$은 길이 스케일, $\eta$는 저항률입니다.

$R_m \sim 1$일 때, 저항률이 중요해집니다 → 저항 MHD.

예: 토카막에서, $V \sim 100$ m/s, $L \sim 1$ m, $\eta \sim 10^{-8}$ Ω·m → $R_m \sim 10^{10}$. 이상적 MHD가 뛰어납니다.

3.7 유효 영역 요약¶

이상적 MHD는 다음 모두가 성립할 때 유효합니다:

1. ω << ω_ci           (저주파)
2. L >> ρ_i            (큰 스케일)
3. λ_mfp << L          (충돌적, 등방 p의 경우)
4. v << c              (비상대론적)
5. L >> λ_D            (준중성)
6. R_m >> 1            (동결)

위반 → 확장 MHD 또는 운동학적 모델 필요.

4. CGL (이중 단열) 모델¶

4.1 동기: 무충돌 자화 플라즈마¶

많은 천체물리학적 플라즈마(태양풍, 자기권, 은하단)에서, 충돌 평균 자유 경로가 거대합니다:

$$\lambda_{mfp} \gg L$$

이러한 플라즈마에서, 입자는 충돌 없이 긴 거리를 이동할 수 있습니다. 압력 텐서는 비등방적이 됩니다:

$$\overleftrightarrow{P} = p_\perp \overleftrightarrow{I} + (p_\parallel - p_\perp) \hat{\mathbf{b}} \hat{\mathbf{b}}$$

여기서 $\hat{\mathbf{b}} = \mathbf{B}/B$이고: - $p_\parallel$: $\mathbf{B}$에 평행한 압력 - $p_\perp$: $\mathbf{B}$에 수직한 압력

표준 MHD는 $p_\parallel = p_\perp = p$ (등방)를 가정하며, 무충돌 플라즈마에서 무효입니다.

4.2 Chew-Goldberger-Low (1956) 모델¶

Chew, Goldberger, Low (CGL)는 단열 불변량의 보존을 가정하여 무충돌, 강하게 자화된 플라즈마에 대한 닫힘을 유도했습니다:

제1 단열 불변량 (자기 모멘트): $$\mu = \frac{m v_\perp^2}{2B} = \text{const}$$

이는 다음을 의미합니다: $$\frac{d}{dt}\left( \frac{p_\perp}{n B} \right) = 0$$

제2 단열 불변량 (종방향 작용): $$J = \oint v_\parallel ds = \text{const}$$

지역 유체 요소(거울 사이에서 바운스하지 않음)의 경우, 이것은 다음과 같이 됩니다: $$\frac{d}{dt}\left( \frac{p_\parallel B^2}{n^3} \right) = 0$$

이들이 CGL 방정식 (또한 이중 단열 방정식이라고도 함)입니다.

4.3 CGL 닫힘 관계¶

CGL 방정식은:

$$\boxed{\frac{d}{dt}\left( \frac{p_\perp}{nB} \right) = 0}$$

$$\boxed{\frac{d}{dt}\left( \frac{p_\parallel B^2}{n^3} \right) = 0}$$

이들은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

$$\frac{1}{p_\perp} \frac{dp_\perp}{dt} = \frac{1}{n} \frac{dn}{dt} + \frac{1}{B} \frac{dB}{dt}$$

$$\frac{1}{p_\parallel} \frac{dp_\parallel}{dt} = 3 \frac{1}{n} \frac{dn}{dt} - 2 \frac{1}{B} \frac{dB}{dt}$$

물리적 해석:

장이 증가할 때($dB/dt > 0$), $p_\perp$가 증가하고(베타트론 가열), $p_\parallel$은 감소합니다(자기 거울 효과).
압축($dn/dt > 0$)은 $p_\perp$와 $p_\parallel$ 모두 증가시킵니다.

4.4 CGL 압력 텐서¶

CGL 압력 텐서를 가진 운동량 방정식은 다음과 같이 됩니다:

$$\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla \cdot \overleftrightarrow{P}$$

여기서: $$\nabla \cdot \overleftrightarrow{P} = \nabla p_\perp + (p_\parallel - p_\perp) \left[ \frac{\nabla \cdot \mathbf{B}}{B} \hat{\mathbf{b}} + \frac{(\mathbf{B} \cdot \nabla) \mathbf{B}}{B^2} \right]$$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$과 $(\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{B} = B^2 \boldsymbol{\kappa}$ (여기서 $\boldsymbol{\kappa}$는 곡률) 사용:

$$\nabla \cdot \overleftrightarrow{P} = \nabla p_\perp + (p_\parallel - p_\perp) \boldsymbol{\kappa}$$

따라서 운동량 방정식은:

$$\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p_\perp - (p_\parallel - p_\perp) \boldsymbol{\kappa}$$

비등방성은 장 곡률을 따라 추가 힘 $-(p_\parallel - p_\perp) \boldsymbol{\kappa}$를 만듭니다.

4.5 CGL 불안정성¶

CGL 모델은 다음의 경우 압력-비등방성-구동 불안정성을 예측합니다:

거울 불안정성: $p_\perp / p_\parallel$이 너무 크면 $$\frac{p_\perp}{p_\parallel} > 1 + \frac{1}{\beta_\perp}$$ 여기서 $\beta_\perp = 2\mu_0 p_\perp / B^2$.

플라즈마는 $p_\perp$를 줄이기 위해 지역 자기 거울 (강화된 $B$ 영역)을 만듭니다.

Firehose 불안정성: $p_\parallel / p_\perp$이 너무 크면 $$\frac{p_\parallel}{p_\perp} > 1 + \frac{2}{\beta_\parallel}$$ 여기서 $\beta_\parallel = 2\mu_0 p_\parallel / B^2$.

자기장선이 압력 하에서 소방호스처럼 "꼬입니다".

이러한 불안정성은 태양풍과 지구 자기권계면에서 관찰됩니다.

4.6 CGL의 한계¶

열유속 없음: CGL은 평행 열전도가 없다고 가정합니다. 실제로, 열유속은 긴 평행 스케일에서 중요합니다.
충돌 없음: CGL은 무충돌 플라즈마를 위한 것입니다. 약한 충돌을 추가하는 것도 진화를 수정합니다.
지역 근사: CGL은 제2 단열 불변량이 지역적으로 유지된다고 가정하며, 긴 스케일에서 바운스하는 포획 입자에 대해 붕괴됩니다.
느린 역학: CGL은 gyro-주기와 바운스 주기에 비해 느린 진화를 가정합니다.

이러한 한계에도 불구하고, CGL은 무충돌 플라즈마에서 비등방 압력의 본질적 물리를 포착하며 우주 물리학에서 널리 사용됩니다.

5. MHD를 넘어서: Drift-Kinetic과 Gyrokinetic 이론¶

5.1 Drift-Kinetic 이론¶

Drift-kinetic 이론은 gyrophase에 대한 평균을 통해 차원성을 6D에서 5D로 줄입니다.

아이디어: 자화 플라즈마에서, 입자는 장선 주위를 빠르게 회전합니다. 느린 역학($\omega \ll \omega_c$)에만 관심이 있다면, 빠른 회전에 대해 평균할 수 있습니다.

변수: - $\mathbf{R}$: 안내 중심 위치 (3D) - $v_\parallel$: 평행 속도 (1D) - $\mu$: 자기 모멘트 (단열 불변량, 매개변수) - 시간 $t$

분포함수: $F(\mathbf{R}, v_\parallel, \mu, t)$ (6D 대신 5D)

Drift-kinetic 방정식 (간소화): $$\frac{\partial F}{\partial t} + \mathbf{v}_d \cdot \nabla_\mathbf{R} F + \frac{d v_\parallel}{dt} \frac{\partial F}{\partial v_\parallel} = C[F]$$

여기서 $\mathbf{v}_d$는 평행 운동과 수직 표류를 포함합니다: $$\mathbf{v}_d = v_\parallel \hat{\mathbf{b}} + \mathbf{v}_E + \mathbf{v}_{\nabla B} + \mathbf{v}_\kappa + \cdots$$

포착하는 것: - 평행 운동과 바운스 역학 (포획 입자) - 모든 안내-중심 표류 - 무충돌 (Landau) 감쇠

놓치는 것: - 사이클로트론 공명 (gyrophase로 평균됨) - 유한 Larmor 반경 (FLR) 효과

응용: - 신고전 수송 (토카막 충돌 확산) - 바운스-평균 운동 이론 (포획-입자 불안정성) - 복사 벨트 역학 (drift-loss-cone)

5.2 Gyrokinetic 이론¶

Gyrokinetic 이론은 가장 정교한 축소 모델로, gyrophase에 대한 평균을 하면서 유한 Larmor 반경 (FLR) 효과를 포착합니다.

핵심 혁신: 작은 매개변수로 전개: $$\delta = \frac{\rho_i}{L} \sim \frac{\omega}{\omega_{ci}} \sim \frac{\delta f}{f_0} \ll 1$$

이것이 gyrokinetic 순서입니다: 느리고, 소진폭, 긴 파장 요동.

변수 (drift-kinetic과 동일): - $\mathbf{R}$: gyrocenter 위치 - $v_\parallel$: 평행 속도 - $\mu$: 자기 모멘트

Gyrokinetic 분포: $g(\mathbf{R}, v_\parallel, \mu, t)$ (섭동 부분)

Gyrokinetic 방정식 (개략): $$\frac{\partial g}{\partial t} + \mathbf{v}_d \cdot \nabla g + \frac{dv_\parallel}{dt} \frac{\partial g}{\partial v_\parallel} = \text{(FLR을 가진 소스 항)}$$

drift-kinetic과의 핵심 차이: FLR 효과가 다음을 통해 유지됩니다: - Gyro평균 전기장: $\langle \phi \rangle_\alpha$ (gyro-궤도에 대한 평균) - Gyro평균 자기 섭동

포착하는 것: - FLR 효과 (이온 Landau 감쇠, FLR을 가진 파동-입자 공명) - 미세 불안정성: ITG (이온 온도 경사), TEM (포획 전자 모드), ETG (전자 온도 경사) - FLR을 가진 난류 캐스케이드

놓치는 것: - 압축 가능한 Alfvén 파동 (빠른 자기음파) - 저주파 근사: $\omega \ll \omega_{ci}$

응용: - 토카막 난류: gyrokinetic 시뮬레이션 (GENE, GS2, GYRO)이 난류 수송을 예측하여 제한된 밀폐를 설명 - 미세 불안정성 분석: ITG, TEM, ETG 모드의 성장률 결정 - Zonal flows: 난류를 규제하는 자체 생성 전단 흐름

Gyrokinetic 시뮬레이션은 토카막 물리학의 최첨단이며 세계 최대 슈퍼컴퓨터에서 실행됩니다.

5.3 비교: Drift-Kinetic vs. Gyrokinetic¶

특징	Drift-Kinetic	Gyrokinetic
차원	5D	5D
FLR 효과	아니오	예
Gyrophase-평균	예	예
순서	없음 (정확한 gyroaverage)	$\delta \ll 1$ (섭동적)
해결하는 것	바운스 운동, 표류	난류, 미세 불안정성
일반적 응용	신고전, 복사 벨트	토카막 난류, ITG/TEM
계산 비용	중간	매우 높음

6. 확장 MHD 모델¶

6.1 Hall MHD¶

Hall MHD는 Ohm의 법칙에 Hall 항을 포함합니다:

$$\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \frac{1}{en} \mathbf{J} \times \mathbf{B}$$

이는 이온과 전자가 $\sim d_i$ (이온 skin depth) 스케일에서 분리될 수 있게 합니다.

핵심 특징: - 높은 $k$에서 Whistler 파동 - 빠른 자기 재결합 (Petschek 속도) - 분산적 Alfvén 파동

응용: - 자기 재결합 (자기권계면, 자기권꼬리, 태양 코로나) - 다이나모 이론 (자기장 생성) - 우주 플라즈마 난류

6.2 이온도 MHD¶

별도 전자와 이온 온도:

$$\frac{d p_e}{dt} + \gamma p_e \nabla \cdot \mathbf{v} = Q_{ei} + Q_e$$ $$\frac{d p_i}{dt} + \gamma p_i \nabla \cdot \mathbf{v} = -Q_{ei} + Q_i$$

여기서 $Q_{ei}$는 전자-이온 에너지 교환이고, $Q_{e,i}$는 외부 가열입니다.

응용: - 가열과 에너지 분할 (예: 충격파가 처음에 전자보다 이온을 더 가열) - 복사 냉각 (전자가 더 효율적으로 복사)

6.3 FLR-MHD¶

압력 텐서에 유한 Larmor 반경 보정 포함:

$$\overleftrightarrow{P} = p \overleftrightarrow{I} + \overleftrightarrow{\Pi}^{\text{FLR}}$$

여기서 $\overleftrightarrow{\Pi}^{\text{FLR}}$은 gyroviscosity와 기타 FLR 효과를 포함합니다.

응용: - Kinetic Alfvén 파동 - MHD 불안정성의 FLR 안정화

6.4 관성 MHD (전자 MHD)¶

매우 작은 스케일($d_e$)에서, 전자 관성이 중요해집니다:

$$\mathbf{E} + \mathbf{v}_e \times \mathbf{B} = \frac{m_e}{e^2 n} \frac{d \mathbf{J}}{dt}$$

이것이 전자 MHD (EMHD)로, 이온이 정지하고 전자만 움직입니다.

분산 관계 (EMHD의 whistler): $$\omega = k^2 V_A d_e$$

응용: - 자기 재결합 확산 영역 - 전자-스케일 난류

7. Python 코드 예제¶

7.1 유효 영역 다이어그램¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter space: length scale vs. frequency
L = np.logspace(-4, 6, 200)  # 0.1 mm to 1000 km
omega = np.logspace(2, 10, 200)  # 100 rad/s to 10 GHz

L_grid, omega_grid = np.meshgrid(L, omega)

# Plasma parameters (typical tokamak)
n = 1e20  # m^-3
B = 2.0   # T
T = 5e3   # eV (5 keV)

e = 1.6e-19
m_i = 1.67e-27
m_e = 9.11e-31
k_B = 1.38e-23

# Characteristic scales and frequencies
omega_ci = e * B / m_i
omega_ce = e * B / m_e
omega_pi = np.sqrt(n * e**2 / (m_i * 8.85e-12))
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (m_e * 8.85e-12))

v_th_i = np.sqrt(2 * k_B * T * e / m_i)
v_th_e = np.sqrt(2 * k_B * T * e / m_e)

rho_i = v_th_i / omega_ci
rho_e = v_th_e / omega_ce
d_i = 3e8 / omega_pi
d_e = 3e8 / omega_pe
lambda_D = np.sqrt(8.85e-12 * k_B * T * e / (n * e**2))

print("Characteristic scales and frequencies:")
print(f"  Ion gyrofrequency ω_ci = {omega_ci:.2e} rad/s ({omega_ci/(2*np.pi):.2e} Hz)")
print(f"  Ion gyroradius ρ_i = {rho_i*100:.2f} cm")
print(f"  Ion skin depth d_i = {d_i:.2f} m")
print(f"  Electron skin depth d_e = {d_e*100:.2f} cm")
print(f"  Debye length λ_D = {lambda_D*1e6:.2f} μm")
print()

# Define validity regions
# 1. MHD: ω << ω_ci, L >> ρ_i
MHD = (omega_grid < 0.1 * omega_ci) & (L_grid > 10 * rho_i)

# 2. Hall MHD: ω << ω_ci, L ~ d_i
Hall_MHD = (omega_grid < 0.1 * omega_ci) & (L_grid > 10 * rho_i) & (L_grid < 100 * d_i)

# 3. Two-fluid: ω << ω_ce, L > d_e
Two_Fluid = (omega_grid < 0.1 * omega_ce) & (L_grid > 10 * d_e)

# 4. Gyrokinetic: ω ~ ω_ci, L ~ ρ_i
Gyrokinetic = (omega_grid > 0.01 * omega_ci) & (omega_grid < omega_ci) & \
              (L_grid > rho_i) & (L_grid < 100 * rho_i)

# 5. Full kinetic: always valid (but expensive)
Full_Kinetic = np.ones_like(L_grid, dtype=bool)

# Plot
fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 8))

# Color regions
ax.contourf(L_grid, omega_grid, MHD.astype(int), levels=[0.5, 1.5],
            colors=['lightblue'], alpha=0.6)
ax.contourf(L_grid, omega_grid, Hall_MHD.astype(int), levels=[0.5, 1.5],
            colors=['lightcoral'], alpha=0.6)
ax.contourf(L_grid, omega_grid, Gyrokinetic.astype(int), levels=[0.5, 1.5],
            colors=['lightgreen'], alpha=0.6)

# Boundary lines
ax.axhline(omega_ci, color='r', linestyle='--', linewidth=2, label=f'$\omega_{{ci}}$ = {omega_ci:.2e} rad/s')
ax.axhline(omega_ce, color='m', linestyle='--', linewidth=1.5, label=f'$\omega_{{ce}}$ = {omega_ce:.2e} rad/s')

ax.axvline(rho_i, color='b', linestyle='--', linewidth=2, label=f'$\\rho_i$ = {rho_i*100:.1f} cm')
ax.axvline(d_i, color='g', linestyle='--', linewidth=2, label=f'$d_i$ = {d_i:.1f} m')
ax.axvline(d_e, color='orange', linestyle='--', linewidth=1.5, label=f'$d_e$ = {d_e*100:.1f} cm')

# Labels for regions
ax.text(1e0, 1e3, 'MHD', fontsize=16, weight='bold', color='blue')
ax.text(1e-1, 1e4, 'Hall MHD', fontsize=14, weight='bold', color='red')
ax.text(1e-2, 1e7, 'Gyrokinetic', fontsize=14, weight='bold', color='green')
ax.text(1e-3, 1e9, 'Full Kinetic', fontsize=14, weight='bold', color='black')

ax.set_xscale('log')
ax.set_yscale('log')
ax.set_xlabel('Length scale L (m)', fontsize=13)
ax.set_ylabel('Frequency ω (rad/s)', fontsize=13)
ax.set_title('Plasma Model Validity Regimes (n=$10^{20}$ m$^{-3}$, B=2 T, T=5 keV)', fontsize=14)
ax.legend(fontsize=10, loc='upper left')
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_xlim(1e-4, 1e6)
ax.set_ylim(1e2, 1e10)

plt.tight_layout()
plt.savefig('validity_regimes.png', dpi=150)
plt.show()

7.2 CGL vs. 등방 MHD: 거울 불안정성¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mirror_instability_threshold(beta_perp):
    """
    Mirror instability threshold: p_perp/p_parallel > 1 + 1/beta_perp
    """
    return 1 + 1/beta_perp

# Beta range
beta_perp = np.logspace(-2, 2, 200)

# Threshold
threshold = mirror_instability_threshold(beta_perp)

# Plot
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(13, 5))

# Threshold curve
ax1.plot(beta_perp, threshold, 'r-', linewidth=3, label='Mirror instability threshold')
ax1.fill_between(beta_perp, 1, threshold, alpha=0.3, color='red', label='Unstable')
ax1.fill_between(beta_perp, threshold, 10, alpha=0.3, color='green', label='Stable')

ax1.set_xscale('log')
ax1.set_xlabel(r'$\beta_\perp = 2\mu_0 p_\perp / B^2$', fontsize=12)
ax1.set_ylabel(r'$p_\perp / p_\parallel$', fontsize=12)
ax1.set_title('Mirror Instability Threshold', fontsize=13)
ax1.set_ylim(1, 10)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(alpha=0.3)

# Growth rate (simplified)
# γ/Ω_i ~ sqrt(β_perp) * (p_perp/p_parallel - 1 - 1/β_perp) for unstable
beta_example = 1.0
anisotropy = np.linspace(1, 5, 100)
threshold_value = mirror_instability_threshold(beta_example)

gamma_normalized = np.where(anisotropy > threshold_value,
                             np.sqrt(beta_example) * (anisotropy - threshold_value),
                             0)

ax2.plot(anisotropy, gamma_normalized, 'b-', linewidth=3)
ax2.axvline(threshold_value, color='r', linestyle='--', linewidth=2,
            label=f'Threshold at $\\beta_\\perp$ = {beta_example}')
ax2.fill_between(anisotropy, 0, gamma_normalized, alpha=0.3, color='blue')

ax2.set_xlabel(r'$p_\perp / p_\parallel$', fontsize=12)
ax2.set_ylabel(r'Growth rate $\gamma / \Omega_i$', fontsize=12)
ax2.set_title(f'Mirror Instability Growth Rate ($\\beta_\\perp$ = {beta_example})', fontsize=13)
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('mirror_instability.png', dpi=150)
plt.show()

print(f"Mirror instability:")
print(f"  At β_perp = 0.1: threshold p_perp/p_parallel > {mirror_instability_threshold(0.1):.2f}")
print(f"  At β_perp = 1.0: threshold p_perp/p_parallel > {mirror_instability_threshold(1.0):.2f}")
print(f"  At β_perp = 10:  threshold p_perp/p_parallel > {mirror_instability_threshold(10):.2f}")
print()
print("Physical interpretation:")
print("  High β_perp (strong pressure): easier to go unstable (lower threshold)")
print("  Low β_perp (weak pressure): harder to go unstable (higher threshold)")

7.3 분산 비교: MHD vs. Hall MHD vs. Kinetic¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Plasma parameters
n = 1e19
B = 0.1
T_e = 10  # eV
T_i = 10

e = 1.6e-19
m_i = 1.67e-27
m_e = 9.11e-31
mu_0 = 4e-7 * np.pi
k_B = 1.38e-23

# Derived quantities
omega_ci = e * B / m_i
omega_ce = e * B / m_e
omega_pi = np.sqrt(n * e**2 / (m_i * 8.85e-12))

v_A = B / np.sqrt(mu_0 * n * m_i)
c_s = np.sqrt(k_B * (T_e + T_i) * e / m_i)
d_i = 3e8 / omega_pi

v_th_e = np.sqrt(2 * k_B * T_e * e / m_e)
v_th_i = np.sqrt(2 * k_B * T_i * e / m_i)

print("Plasma parameters:")
print(f"  V_A = {v_A:.2e} m/s")
print(f"  c_s = {c_s:.2e} m/s")
print(f"  d_i = {d_i:.2e} m")
print(f"  ω_ci = {omega_ci:.2e} rad/s")
print()

# Wavenumber range
k = np.logspace(-3, 3, 500) / d_i  # normalized to d_i

# 1. MHD Alfvén wave
omega_MHD = k * v_A / omega_ci * (k * d_i)  # normalized to omega_ci

# 2. Hall MHD (whistler)
omega_Hall = k * v_A / omega_ci * (k * d_i) * np.sqrt(1 + (k * d_i)**2)

# 3. Kinetic Alfvén wave (warm plasma, with electron Landau damping)
# Approximate dispersion (electrostatic limit)
k_perp = k / 2  # assume oblique
rho_s = c_s / omega_ci
omega_KAW = k * v_A / omega_ci * (k * d_i) * np.sqrt(1 + (k_perp * d_i * rho_s / d_i)**2)

# 4. Ion acoustic wave
omega_ion_acoustic = k * c_s / omega_ci * (k * d_i)

# Plot
fig, ax = plt.subplots(figsize=(11, 7))

ax.loglog(k * d_i, omega_MHD, 'b-', linewidth=3, label='MHD Alfvén: $\omega = k_\parallel V_A$')
ax.loglog(k * d_i, omega_Hall, 'r--', linewidth=3, label='Hall MHD (whistler): $\omega = k_\parallel V_A \sqrt{1+(kd_i)^2}$')
ax.loglog(k * d_i, omega_KAW, 'g-.', linewidth=3, label='Kinetic Alfvén (warm)')
ax.loglog(k * d_i, omega_ion_acoustic, 'm:', linewidth=3, label='Ion acoustic: $\omega = k c_s$')

# Reference lines
ax.axvline(1, color='k', linestyle=':', alpha=0.5, linewidth=2, label='$k d_i = 1$')
ax.axhline(1, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5, linewidth=2, label='$\omega = \omega_{ci}$')

# Asymptotic slopes
k_ref = np.logspace(-2, 0, 50)
ax.loglog(k_ref * d_i, (k_ref * d_i)**1 * 0.01, 'k--', alpha=0.4, label='slope = 1')
ax.loglog(k_ref * d_i * 10, (k_ref * d_i * 10)**2 * 0.001, 'k-.', alpha=0.4, label='slope = 2')

ax.set_xlabel(r'$k d_i$ (normalized wavenumber)', fontsize=13)
ax.set_ylabel(r'$\omega / \omega_{ci}$ (normalized frequency)', fontsize=13)
ax.set_title('Dispersion Relations: MHD vs. Hall MHD vs. Kinetic', fontsize=14)
ax.legend(fontsize=10, loc='upper left')
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax.set_xlim(1e-3, 1e3)
ax.set_ylim(1e-4, 1e2)

plt.tight_layout()
plt.savefig('dispersion_comparison.png', dpi=150)
plt.show()

print("Dispersion relations:")
print("  MHD: ω ∝ k (linear, non-dispersive)")
print("  Hall MHD: ω ∝ k² at k d_i >> 1 (whistler, dispersive)")
print("  Kinetic: includes Landau damping (not shown, requires complex ω)")

요약¶

이 수업에서 우리는 운동 이론에서 MHD로의 체계적 축소를 추적했습니다:

이유체에서 단일 유체로: 전자와 이온 방정식을 결합함으로써, MHD 운동량과 연속 방정식을 얻습니다. 핵심 단계는 일반화된 Ohm의 법칙에서 저항, Hall, 압력, 관성 항을 제거하여 이상적 Ohm의 법칙 $\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = 0$을 유도하는 것입니다.
유효 조건: MHD는 저주파($\omega \ll \omega_{ci}$), 큰 스케일($L \gg \rho_i$), 충돌적($\lambda_{mfp} \ll L$), 비상대론적($v \ll c$), 준중성($L \gg \lambda_D$), 높은-$R_m$ 플라즈마에 유효합니다. 위반은 확장 MHD 또는 운동학적 모델이 필요합니다.
CGL 모델: 무충돌 플라즈마의 경우, 압력은 비등방적입니다($p_\parallel \neq p_\perp$). CGL (이중 단열) 닫힘은 단열 불변량의 보존을 사용합니다: $p_\perp/(nB) = \text{const}$와 $p_\parallel B^2 / n^3 = \text{const}$. 이는 거울과 firehose 불안정성을 예측합니다.
Drift-kinetic과 gyrokinetic: 이 5D 모델들은 gyrophase에 대한 평균을 하면서 운동학적 효과를 유지합니다. Drift-kinetic은 바운스 역학을 포착하고; gyrokinetic은 FLR 효과를 포함하며 토카막 난류 시뮬레이션에 사용됩니다.
확장 MHD: Hall MHD, 이온도 MHD, FLR-MHD, 전자 MHD는 복잡성이 증가하는 대가로 추가 물리를 포착하기 위해 표준 MHD를 확장합니다.
모델 비교: 각 모델은 유효 영역을 가집니다. 선택은 스케일, 주파수, 관심 물리에 의존합니다. MHD는 간단하고 대규모 역학을 포착하고; 운동 이론은 포괄적이지만 계산적으로 비용이 많이 듭니다.

플라즈마 모델의 계층을 이해하는 것은 주어진 문제에 적절한 설명 수준을 선택하는 데 필수적입니다.

연습 문제¶

문제 1: 일반화된 Ohm의 법칙에서 이상적 MHD¶

일반화된 Ohm의 법칙에서 시작: $$\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \eta \mathbf{J} + \frac{1}{en} \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \frac{1}{en} \nabla p_e + \frac{m_e}{e^2 n^2} \frac{d \mathbf{J}}{dt}$$ $n = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T_e = 10$ keV, $B = 5$ T, $L = 1$ m, $V = 100$ m/s인 토카막 플라즈마의 경우: (a) 특성 시간 스케일 $\tau = L/V$를 계산하십시오. (b) 좌변에 대한 우변의 각 항의 크기를 추정하십시오. (c) 이상적 MHD를 얻기 위해 어떤 항을 무시할 수 있습니까? 답을 정당화하십시오.

문제 2: CGL 압력 진화¶

무충돌 플라즈마가 밀도를 일정하게 유지하면서($n = n_0$) 자기장을 $B_0$에서 $2B_0$로 증가시켜 단열적으로 압축됩니다. (a) CGL 방정식을 사용하여, 초기 값으로 $p_\perp$와 $p_\parallel$의 최종 값을 찾으십시오. (b) 처음에 $p_{\perp 0} = p_{\parallel 0} = p_0$이면, 압축 후 비등방성 비율 $p_\perp / p_\parallel$은 무엇입니까? (c) $\beta_{\perp 0} = 0.5$의 경우, 압축된 플라즈마가 거울 불안정성 임계값을 초과합니까?

문제 3: 동결 자속¶

이상적 MHD에서, 유체와 함께 움직이는 임의의 닫힌 루프를 통과하는 자기 자속이 보존됩니다: $$\frac{d\Phi}{dt} = 0, \quad \text{여기서 } \Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$$ (a) 이상적 Ohm의 법칙과 유도 방정식을 사용하여 이 동결 정리를 증명하십시오. (b) 초기 반경 $r_0 = 10$ cm의 원형 자속관이 자기장 $B_0 = 0.1$ T를 가집니다. 플라즈마가 반경 방향으로 $r = 5$ cm로 압축됩니다. 최종 자기장은 무엇입니까(비압축 흐름 가정)? (c) "동결"의 물리적 의미는 무엇입니까? 이상적 MHD에서 장선이 재결합할 수 있습니까?

문제 4: Gyrokinetic 순서¶

Gyrokinetic 이론에서, 순서는: $$\frac{\rho_i}{L} \sim \frac{\omega}{\omega_{ci}} \sim \frac{\delta f}{f_0} \sim \delta \ll 1$$ (a) $L = 1$ m, $\rho_i = 5$ mm인 토카막의 경우, $\delta$는 무엇입니까? (b) $\omega_{ci} = 10^8$ rad/s이면, gyrokinetics에 의해 해결되는 최대 주파수는 무엇입니까? (c) 빠른 자기음파가 상한 주파수 제한 없이 $\omega \sim k V_A$를 가집니다. 왜 gyrokinetics가 이 파동을 포착할 수 없습니까?

문제 5: Hall MHD 재결합¶

저항 MHD에서, Sweet-Parker 재결합 속도는: $$V_{in} \sim \frac{\eta}{L} \sim \frac{V_A}{S^{1/2}}$$ 여기서 $S = L V_A / \eta$는 Lundquist 수입니다.

Hall MHD에서, 재결합 속도는 (Petschek): $$V_{in} \sim 0.1 V_A$$ 저항률과 무관합니다!

(a) $B = 0.01$ T, $n = 10^{16}$ m$^{-3}$, $L = 10^4$ km, $T_e = 10^6$ K인 태양 플레어의 경우, Alfvén 속도와 이온 skin depth를 계산하십시오. (b) Sweet-Parker 재결합 시간 $\tau_{SP} \sim L / V_{in}$을 추정하십시오 (Spitzer 저항률 사용). (c) Hall MHD 재결합 시간 $\tau_{Hall}$을 추정하십시오. (d) 태양 플레어는 몇 분의 시간 스케일에서 에너지를 방출합니다. 어떤 모델이 관찰과 일치합니까?

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