12. 파동 가열과 불안정성
12. 파동 가열과 불안정성¶
학습 목표¶
- 핵융합 플라즈마에서 파동 가열의 물리적 메커니즘 이해
- 속도 공간 불안정성 (빔-플라즈마, bump-on-tail, Weibel) 이론 마스터
- 자화 플라즈마에서 압력 구동 불안정성 (firehose, mirror) 분석
- 레이저-플라즈마 상호작용에서 파라메트릭 불안정성 조건 학습
- 핵융합 및 천체물리학의 실용적 문제에 불안정성 이론 적용
- 다양한 불안정성 메커니즘에 대한 성장률과 안정성 경계 계산
소개¶
플라즈마에서 파동은 두 가지 중요한 역할을 합니다: 1. 가열 및 전류 구동: 외부 파동이 플라즈마 입자에 에너지를 전달 2. 불안정성: 파동이 자발적으로 성장하여 플라즈마로부터 자유 에너지를 추출
이 레슨은 두 측면을 모두 다루며, 다음에 초점을 맞춥니다: - 파동 가열: RF 파동이 핵융합 플라즈마에 에너지를 침착시키는 방법 - 속도 공간 불안정성: 비Maxwell 분포로부터 발생 - 압력 구동 불안정성: 온도 비등방성으로부터 발생 - 파라메트릭 불안정성: 고출력 레이저 시스템에서 파동-파동 결합
이러한 현상은 다음에 중요합니다: - 핵융합 반응로 설계 (가열 시스템, 전류 구동) - 천체물리학적 플라즈마 (태양풍, 펄서 자기권, GRB afterglows) - 레이저-플라즈마 상호작용 (관성 가둠 핵융합) - 우주 기상 (복사 벨트, 자기권 역학)
1. 핵융합 플라즈마에서의 파동 가열¶
1.1 가열 방법 개요¶
핵융합 플라즈마는 $T \sim 10-20$ keV ($\sim 100-200$ 백만 K)의 온도가 필요합니다. 세 가지 주요 가열 방법:
Ohmic 가열: - $P = I^2 R$ 여기서 $R \propto T_e^{-3/2}$ (고전 저항률) - 낮은 $T$에서 효과적, 높은 $T$에서 비효과적 - 토카막에서 $\sim 1-2$ keV로 제한
중성 빔 주입 (NBI): - 빠른 중성입자 (50-1000 keV) 주입, 이온화, 충돌을 통해 에너지 전달 - 파동 방법이 아니지만 비교를 위해 중요 - ITER에서 빔라인당 10-50 MW 출력
고주파 (RF) 가열: - 안테나 또는 도파관에서 발사된 전자기파 - 세 가지 주파수 범위: ECRH, ICRH, LHCD - 장점: 국소화된 침착, 전류 구동 능력, 입자 소스 없음
1.2 전자 사이클로트론 공명 가열 (ECRH)¶
주파수: $\omega \approx n\omega_{ce}$ 여기서 일반적으로 $n = 1, 2$
공명 조건: $\omega = n\omega_{ce}(r)$인 공간 위치에서, 파동 위상이 전자 회전과 일치합니다.
흡수 메커니즘: - 파동과 공명하는 전자 ($\omega - k_\parallel v_\parallel = n\omega_{ce}$) - $\mathbf{B}$에 수직인 파동 전기장이 회전하는 전자에 일을 함 - 출력 흡수: $P \propto \int d^3v \, \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}$
분산: 밀도에 따라 X-모드 또는 O-모드 사용 - O-모드: $n_c = \epsilon_0 m_e \omega^2/e^2$에서 차단 - X-모드: 더 높은 차단, 과밀 플라즈마에 더 좋음
일반 파라미터 (ITER): - 주파수: 170 GHz ($n=2$에서 $B \sim 5.3$ T의 경우) - 출력: 총 20 MW (자이로트론) - 빔 폭: $\sim 5$ cm (고도로 국소화)
장점: - 우수한 국소화 ($\Delta r \sim$ cm) - 전류 구동 능력 (ECCD) - 침착 위치의 실시간 제어
과제: - 고주파 자이로트론 필요 (비싼) - 도파관에서 전송 손실 - 거울 정렬이 중요
1.3 이온 사이클로트론 공명 가열 (ICRH)¶
주파수: $\omega \approx n\omega_{ci}$ 여기서 $\omega_{ci} = ZeB/m_i$
공명 조건: 이온은 토카막에서 $\omega_{ci} \sim 2\pi \times (30-100)$ MHz로 회전합니다.
가열 방식:
기본 다수 가열: 주요 이온 종에 대해 $\omega = \omega_{ci}$ - 직접 공명, 하지만 약한 단일 통과 흡수 - 여러 통과가 필요
2차 고조파: $\omega = 2\omega_{ci}$ - 기본보다 강한 흡수 - 저자장 장치에서 사용
소수 가열: $\omega = \omega_{ci,\text{minority}}$ - 소수 종 도입 (예: D 플라즈마에서 5-10% $^3$He) - $\omega_{ci}(^3\text{He})$에서 공명, 벌크 중수소는 비공명 - 소수 이온이 고에너지로 가열되어 충돌을 통해 벌크로 전달
모드 변환: 빠른 파동이 ion Bernstein 파동 또는 ion cyclotron 파동으로 변환 - 하이브리드 공명 층 근처에서 발생 - 전자를 효율적으로 가열 가능
일반 파라미터: - 주파수: 40-80 MHz - 출력: 20 MW (ITER) - 안테나: 용기 벽의 대형 코일
장점: - 잘 확립된 기술 - 이온과 전자 모두 가열 가능 - 중심 가열 가능
과제: - 안테나-플라즈마 상호작용 (불순물, 열점) - 기생 손실 - ECRH보다 덜 국소화
1.4 하부 하이브리드 전류 구동 (LHCD)¶
주파수: $\omega_{ci} \ll \omega \ll \omega_{ce}$ (일반적으로 1-8 GHz)
목적: 주로 전류 구동용, 가열이 아님 - 비유도 전류 생성 - 토카막에서 정상 상태 작동
메커니즘: - 하부 하이브리드파가 높은 $n_\parallel = k_\parallel c/\omega$로 전파 - 꼬리 전자에 강한 Landau 감쇠 ($v_\parallel \sim \omega/k_\parallel$) - 비대칭 감쇠가 순 전류 생성
전류 구동 효율: $$\eta_{CD} = \frac{n_{20} I_A R}{P_{\text{MW}}}$$
여기서 $n_{20}$은 $10^{20}$ m$^{-3}$ 단위의 밀도, $I_A$는 MA 단위의 전류, $R$은 m 단위의 주반경, $P$는 MW 단위의 출력입니다.
일반적: LHCD에 대해 $\eta_{CD} \sim 0.2-0.5$.
접근성: 하부 하이브리드파가 원하는 위치로 침투해야 함 - 밀도 제한: 파동 차단이 발생하는 $n < n_{\text{access}}$ - 고밀도 코어에서는 침투하지 못할 수 있음
일반 파라미터: - 주파수: 3.7-5 GHz - 출력: 20 MW (ITER) - 발사기: 도파관 배열 (그릴)
장점: - 높은 전류 구동 효율 - 축외 전류 프로파일 제어
과제: - 접근성을 위한 밀도 제한 - 스펙트럼 갭 (출력 결합 어려움) - 고출력에서 비선형 효과
1.5 가열 방법 비교¶
| 방법 | 주파수 | 주요 대상 | 국소화 | 전류 구동 | 출력 (ITER) |
|---|---|---|---|---|---|
| ECRH | 140-170 GHz | 전자 | 우수 | 예 (ECCD) | 20 MW |
| ICRH | 40-80 MHz | 이온 | 보통 | 약함 | 20 MW |
| LHCD | 3-8 GHz | 전자 | 좋음 | 우수 | 20 MW |
| NBI | N/A | 이온 | 나쁨 | 예 | 33 MW |
시너지: 방법 결합이 종종 최적 - NBI + ICRH: NBI가 빠른 이온 꼬리 생성, ICRH가 꼬리를 더 가열 - ECRH + LHCD: MHD 제어를 위한 ECRH, 전류 프로파일을 위한 LHCD
2. 속도 공간 불안정성¶
2.1 빔-플라즈마 불안정성 (Two-Stream)¶
밀도 $n_b$와 속도 $v_0$를 가진 냉각 전자 빔이 밀도 $n_0$를 가진 배경 플라즈마를 통해 흐르는 것을 고려합니다.
설정: - 빔: $f_b(\mathbf{v}) = n_b \delta(v_x - v_0)\delta(v_y)\delta(v_z)$ - 배경: $f_0(\mathbf{v}) = n_0 \delta(v_x)\delta(v_y)\delta(v_z)$ - 둘 다 냉각 ($T = 0$)
분산 관계: 선형화 Vlasov + Poisson으로부터:
$$1 = \frac{\omega_{p0}^2}{\omega^2} + \frac{\omega_{pb}^2}{(\omega - kv_0)^2}$$
여기서 $\omega_{p0}^2 = n_0 e^2/(\epsilon_0 m_e)$이고 $\omega_{pb}^2 = n_b e^2/(\epsilon_0 m_e)$입니다.
분석: $\omega = \omega_r + i\gamma$를 가정하고 불안정한 해를 찾습니다 ($\gamma > 0$).
$n_b \ll n_0$의 경우, Langmuir 파동 $\omega \approx \omega_{p0} + \delta\omega$ 주위로 전개:
$$\delta\omega \approx -\frac{\omega_{pb}^2}{2\omega_{p0}} \frac{1}{1 - kv_0/\omega_{p0}}$$
분모가 작을 때, $\delta\omega$가 커집니다. $kv_0 \approx \omega_{p0}$의 경우, 보정이 허수가 됩니다.
성장률 ($n_b/n_0 \ll 1$의 경우):
$$\boxed{\gamma \approx \omega_{p0} \left(\frac{n_b}{n_0}\right)^{1/3}}$$
불안정성은 다음일 때 가장 강합니다: $$kv_0 \approx \omega_{p0}$$
물리적 그림:
빔 전자: ──→ ──→ ──→ ──→
배경: · · · ·
섭동이 뭉침을 생성:
──→ ──→ ──→ ──→ (밀도파)
뭉침이 전기장 강화 → 피드백 → 성장
응용: - 플라즈마의 전자 빔 (가속기, 우주) - 전리층 불안정성 - 입자 가속기에서 초기 문제 야기
2.2 Bump-on-Tail 불안정성¶
더 현실적인 시나리오: Maxwell 배경에 소수의 빠른 전자.
분포: $$f(v) = f_M(v) + f_{\text{bump}}(v)$$
여기서 $f_{\text{bump}}$는 $v \sim v_{\text{bump}} > v_{th}$에서 작은 집단입니다.
불안정성 기준: 분포는 공명 속도에서 속도 공간에서 양의 기울기를 가져야 합니다:
$$\frac{\partial f}{\partial v}\bigg|_{v = \omega/k} > 0$$
이것은 역 Landau 감쇠입니다: $v = v_\phi$에서 입자가 파동으로부터 에너지를 받는 대신 파동에 에너지를 전달합니다.
성장률: 밀도 $n_b$와 폭 $\Delta v$를 가진 작은 bump의 경우:
$$\gamma \sim \omega_{pe} \left(\frac{n_b}{n_0}\right)^{1/3} \frac{v_{\text{bump}}}{v_{th}}$$
준선형 이완: 파동이 성장함에 따라, 다음을 통해 속도 공간에서 입자를 확산시킵니다:
$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial v}\left(D \frac{\partial f}{\partial v}\right)$$
여기서 $D \propto |E_k|^2$는 확산 계수입니다.
결과: bump가 평평해져 고원으로:
초기: 포화 후:
f(v) f(v)
|\ |----\
| \ | \
| \___ | \___
| \ | \
+-------v +----------v
v_bump plateau
이 준선형 고원 형성은 기본적인 비선형 포화 메커니즘입니다.
응용: - 토카막의 도주 전자 - 태양풍 전자 빔 - 레이저-플라즈마 상호작용
2.3 Weibel 불안정성¶
Weibel 불안정성은 온도 비등방성으로부터 성장합니다: $T_\perp > T_\parallel$ (또는 그 반대).
물리적 메커니즘: - 비등방성 분포가 전류 요동을 생성 - 전류가 자기장 생성 - 자기장이 비등방성 강화 → 양의 피드백
설정: 분포를 고려: $$f(v_\parallel, v_\perp) = n_0 \left(\frac{m}{2\pi k_B T_\parallel}\right)^{1/2}\left(\frac{m}{2\pi k_B T_\perp}\right) \exp\left(-\frac{mv_\parallel^2}{2k_BT_\parallel} - \frac{mv_\perp^2}{2k_BT_\perp}\right)$$
분산 ($T_\perp > T_\parallel$의 경우): 순수하게 성장하는 모드 (실수 주파수 없음):
$$\omega = i\gamma$$
성장률:
$$\boxed{\gamma_{\text{max}} \approx \omega_{pe} \sqrt{\frac{T_\perp - T_\parallel}{T_\parallel}}}$$
파수의 경우: $$k_{\text{max}} \approx \frac{\omega_{pe}}{c}\sqrt{\frac{T_\perp}{T_\parallel} - 1}$$
생성된 자기장: 불안정성이 강도가 다음인 소규모 자기장을 생성합니다:
$$\frac{B^2}{8\pi} \sim n k_B (T_\perp - T_\parallel)$$
응용: - 무충돌 충격: 천체물리학적 충격 (예: 초신성 잔해, GRB afterglows)에서, Weibel 불안정성이 충격을 매개하는 자기장을 생성 - 레이저-플라즈마 상호작용: 강한 레이저가 비등방성 전자 분포 생성 → Weibel 불안정성 → 자기장 생성 - 자기권 플라즈마: 복사 벨트의 비등방성 분포 - 자기장 생성: Weibel은 우주론에서 씨앗 장에 대한 메커니즘
이 불안정성은 Weibel (1959)에 의해 이론적으로 예측되었고 레이저-플라즈마 실험 (2000년대)에서 실험적으로 확인되었습니다.
3. 압력 구동 불안정성¶
3.1 Firehose 불안정성¶
$p_\parallel > p_\perp$ (평행 압력이 수직 압력을 초과)를 가진 자화 플라즈마에서, firehose 불안정성이 발생할 수 있습니다.
비유: 압력이 너무 높을 때 꿈틀거리는 가압 정원 호스처럼.
물리적 메커니즘: - 자기장 선이 구부러짐 - 평행 압력이 구부러진 장을 따라 플라즈마를 밀어냄 - 곡률 증가 → 양의 피드백
안정성 기준: 비등방성 압력을 가진 MHD로부터:
$$\boxed{p_\parallel - p_\perp < \frac{B^2}{\mu_0}}$$
또는 동등하게:
$$\beta_\parallel - \beta_\perp < 1$$
여기서 $\beta_\parallel = 2\mu_0 p_\parallel/B^2$이고 $\beta_\perp = 2\mu_0 p_\perp/B^2$입니다.
성장률 (불안정한 경우):
$$\gamma^2 \approx k^2 v_A^2 \left(\frac{p_\parallel - p_\perp}{p_\parallel + p_\perp/2} - \frac{1}{\beta_\parallel}\right)$$
여기서 $v_A = B/\sqrt{\mu_0 \rho}$는 Alfvén 속도입니다.
최대 성장: $$k \sim \frac{1}{L}$$
여기서 $L$은 시스템 크기입니다 (저$k$ 불안정성).
관측: - 태양풍: 종종 firehose에 대해 한계 안정/불안정 - Magnetosheath: 압축된 플라즈마가 안정성 조건을 위반할 수 있음 - 토카막 가장자리: 빠른 이온 집단이 firehose를 구동할 수 있음
포화: 피치각 산란이 비등방성을 이완시켜 불안정성을 억제합니다.
3.2 Mirror 불안정성¶
반대 비등방성, $p_\perp > p_\parallel$은 mirror 불안정성을 구동할 수 있습니다.
물리적 메커니즘: - 자기장 강도가 요동: $B = B_0 + B_1$ - 높은 $\mu = mv_\perp^2/(2B)$를 가진 입자가 저$B$ 영역에 갇힘 (자기 거울) - 저$B$ 영역에서 강화된 $p_\perp$ → $B$가 더 감소 → 피드백
안정성 기준:
$$\boxed{\frac{p_\perp}{p_\parallel} < 1 + \frac{1}{\beta_\perp}}$$
또는:
$$\beta_\perp\left(\frac{p_\perp}{p_\parallel} - 1\right) < 1$$
성장률: $p_\perp/p_\parallel - 1 = A$ (비등방성)의 경우:
$$\gamma \approx k_\parallel v_A \sqrt{A \beta_\perp}$$
$k_\parallel L \sim 1$의 경우, 여기서 $L$은 스케일 길이입니다.
특성: - 비전파: $\omega_r = 0$ (순수하게 성장) - 압축성: $\delta B_\parallel$과 $\delta n$을 생성 - 비등방성 구조: $\mathbf{B}$를 따라 길쭉함
관측: - 태양풍: Mirror 모드 구조 (반상관 $B$와 $n$을 가진 느린 모드 구조) - Magnetosheath: 매우 일반적, 준정상 구조 - 행성 자기권: 목성, 토성
포화: 입자를 가두는 준정적 자기 병을 생성하여 비등방성을 감소시킵니다.
3.3 비교: Firehose vs Mirror¶
| 속성 | Firehose | Mirror |
|---|---|---|
| 비등방성 | $p_\parallel > p_\perp$ | $p_\perp > p_\parallel$ |
| 기준 | $\beta_\parallel - \beta_\perp < 1$ | $\beta_\perp(p_\perp/p_\parallel - 1) < 1$ |
| $\omega_r$ | 유한 (전파) | 0 (비전파) |
| $\delta B$ | 횡방향 | 압축성 |
| 포화 | 피치각 산란 | 자기 포획 |
두 불안정성 모두 압력이 비등방성으로 남을 수 있는 무충돌 플라즈마에서 편재합니다 (충돌 시간 $\gg$ 역학 시간).
4. 파라메트릭 불안정성¶
4.1 삼파 결합¶
파라메트릭 불안정성은 세 파동의 결합을 포함합니다: $$\omega_0 = \omega_1 + \omega_2$$ $$\mathbf{k}_0 = \mathbf{k}_1 + \mathbf{k}_2$$
여기서 파동 0 (펌프)이 파동 1과 2 (딸 파동)로 붕괴합니다.
메커니즘: - 펌프 파동이 밀도/속도 진동 생성 - 진동이 플라즈마 응답을 변조 - 변조된 플라즈마가 일치 조건이 만족되면 딸 파동을 증폭할 수 있음
성장률: 펌프 진폭에 비례: $$\gamma \propto \sqrt{\frac{I}{I_c}}$$
여기서 $I$는 펌프 강도이고 $I_c$는 임계값입니다.
4.2 Stimulated Raman Scattering (SRS)¶
과정: 전자기파 (펌프) $\to$ EM파 (산란) + Langmuir 파동
일치 조건: $$\omega_0 = \omega_s + \omega_L$$ $$\mathbf{k}_0 = \mathbf{k}_s + \mathbf{k}_L$$
여기서 $\omega_L \approx \omega_{pe}$ (Langmuir 파동)이고 $\omega_s < \omega_0$ (산란 EM파)입니다.
분산 제약: - 펌프: $\omega_0^2 = \omega_{pe}^2 + k_0^2 c^2$ - 산란: $\omega_s^2 = \omega_{pe}^2 + k_s^2 c^2$ - Langmuir: $\omega_L^2 \approx \omega_{pe}^2 + 3k_L^2 v_{th}^2$
성장률:
$$\gamma_{SRS} = \frac{k_L v_{osc}}{4} \left(\frac{\omega_0}{\omega_s}\right)^{1/2}$$
여기서 $v_{osc} = eE_0/(m_e\omega_0)$는 펌프 파동에서 진동 속도입니다.
임계값: $\gamma > \nu_L$을 요구, 여기서 $\nu_L$은 Landau 감쇠율입니다.
관련성: 레이저 핵융합 (ICF) - 고출력 레이저 ($I \sim 10^{15}$ W/cm$^2$)가 SRS를 구동할 수 있음 - 산란된 빛 손실 → 결합 효율 감소 - Langmuir 파동 가열로부터 열전자 → 타겟 예열 (압축에 나쁨)
완화: - 대역폭: 광대역 레이저가 일관성 감소 - 빔 평활화: 국소 강도 스파이크 감소 - 파장: 더 짧은 파장 (UV)이 더 높은 임계값을 가짐
4.3 Stimulated Brillouin Scattering (SBS)¶
과정: EM파 $\to$ EM파 + 이온 음향파
일치: $$\omega_0 = \omega_s + \omega_{ia}$$ $$\mathbf{k}_0 = \mathbf{k}_s + \mathbf{k}_{ia}$$
여기서 $\omega_{ia} = k_{ia} c_s$ (이온 음향파)입니다.
성장률:
$$\gamma_{SBS} = \frac{k_{ia} v_{osc}}{4\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\omega_0}{\omega_{ia}}}$$
특성: - SRS보다 낮은 임계값 (이온 음향 감쇠가 Landau 감쇠보다 약함) - 후방산란: $\mathbf{k}_s \approx -\mathbf{k}_0$에 대해 가장 강함 - 레이저 에너지의 상당 부분을 반사할 수 있음
관련성: SBS는 종종 레이저 핵융합에서 지배적인 파라메트릭 불안정성입니다.
완화: SRS와 유사, 추가로: - 가스 충전 hohlraum이 SBS 감소 - 다중 이온 종 (이온 음향 감쇠 증가)
4.4 관성 가둠 핵융합 (ICF)에 미치는 영향¶
National Ignition Facility (NIF) 및 기타 ICF 실험에서: - 레이저 출력: $\sim 500$ TW - 강도: hohlraum에서 $10^{14}-10^{15}$ W/cm$^2$ - SRS와 SBS가 레이저 에너지의 10-50%를 반사할 수 있음
결과: - 타겟에 대한 결합 감소 → 낮은 압축 - SRS로부터 열전자가 연료 예열 → 이득 감소 - 구동에서 비대칭
최근 진전 (2022-2023): NIF가 다음을 통해 점화 ($Q > 1$)를 달성: - 개선된 hohlraum 설계 - 더 나은 빔 평활화 - 더 높은 레이저 에너지 (2.05 MJ) - 파장 디튜닝을 통한 SRS/SBS 완화
5. 불안정성 분류¶
5.1 자유 에너지 소스¶
불안정성은 다음으로부터 자유 에너지를 추출합니다:
- 속도 공간: 비Maxwell 분포
- 빔-플라즈마: 상대적 드리프트
- Bump-on-tail: 양의 $\partial f/\partial v$
-
Weibel: 온도 비등방성
-
구성 공간: 밀도, 온도, 자기장의 기울기
- 드리프트파 (여기서 다루지 않음)
- 교환 모드
-
Tearing 모드
-
전류: 평행 또는 수직 전류
- 전류 구동 불안정성
-
Kink 모드
-
외부 구동: 외부 파동에 의해 펌핑
- 파라메트릭 불안정성 (SRS, SBS)
5.2 불안정성 요약 표¶
| 불안정성 | 자유 에너지 | 조건 | 성장률 | 응용 |
|---|---|---|---|---|
| 빔-플라즈마 | 빔 드리프트 $v_0$ | $kv_0 \sim \omega_{pe}$ | $\omega_{pe}(n_b/n_0)^{1/3}$ | 가속기, 우주 |
| Bump-on-tail | $\partial f/\partial v > 0$ | 공명 입자 | $\omega_{pe}(n_b/n_0)^{1/3}$ | 도주, 태양풍 |
| Weibel | $T_\perp > T_\parallel$ | 비등방성 | $\omega_{pe}\sqrt{(T_\perp-T_\parallel)/T_\parallel}$ | 충격, 레이저 |
| Firehose | $p_\parallel > p_\perp$ | $\beta_\parallel - \beta_\perp > 1$ | $k v_A \sqrt{\Delta p/p}$ | 태양풍 |
| Mirror | $p_\perp > p_\parallel$ | $\beta_\perp(p_\perp/p_\parallel-1) > 1$ | $k_\parallel v_A \sqrt{A\beta_\perp}$ | Magnetosheath |
| SRS | 펌프 레이저 | $I > I_c$ | $(k_L v_{osc}/4)\sqrt{\omega_0/\omega_s}$ | 레이저 핵융합 |
| SBS | 펌프 레이저 | $I > I_c$ | $(k_{ia}v_{osc}/4\sqrt{2})\sqrt{\omega_0/\omega_{ia}}$ | 레이저 핵융합 |
6. Python 구현¶
6.1 Two-Stream 불안정성 분산¶
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve
def two_stream_dispersion(k, omega_p0, omega_pb, v0):
"""
Solve two-stream dispersion: 1 = ω_p0²/ω² + ω_pb²/(ω-kv0)²
Returns complex frequency ω(k).
"""
def dispersion_eq(omega_complex):
omega = omega_complex[0] + 1j * omega_complex[1]
eps = 1 - omega_p0**2/omega**2 - omega_pb**2/(omega - k*v0)**2
return [np.real(eps), np.imag(eps)]
# Initial guess
omega_guess = [omega_p0, 0.1 * omega_p0]
sol = fsolve(dispersion_eq, omega_guess)
return sol[0] + 1j * sol[1]
# Parameters
n0 = 1e19 # m^-3
nb_frac = 0.01 # nb/n0 = 1%
m_e = 9.109e-31 # kg
e = 1.602e-19 # C
epsilon_0 = 8.854e-12 # F/m
omega_p0 = np.sqrt(n0 * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
omega_pb = np.sqrt(nb_frac * n0 * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
# Beam velocity
v0 = 2 * omega_p0 * (1e8 / omega_p0) # Choose v0 ~ ω_p0/k_typical
print(f"Background plasma frequency: ω_p0 = {omega_p0:.2e} rad/s")
print(f"Beam plasma frequency: ω_pb = {omega_pb:.2e} rad/s")
print(f"Beam velocity: v0 = {v0:.2e} m/s")
# Wavenumber scan
k_array = np.linspace(0.5, 3, 100) * omega_p0 / v0
omega_real = []
omega_imag = []
for k in k_array:
omega = two_stream_dispersion(k, omega_p0, omega_pb, v0)
omega_real.append(np.real(omega))
omega_imag.append(np.imag(omega))
omega_real = np.array(omega_real)
omega_imag = np.array(omega_imag)
# Analytical approximation for small nb/n0
gamma_approx = omega_p0 * (nb_frac)**(1/3) * np.ones_like(k_array)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
# Real frequency
ax1.plot(k_array * v0 / omega_p0, omega_real / omega_p0, 'b-',
linewidth=2, label='Numerical')
ax1.axhline(1, color='r', linestyle='--', label='$\\omega_{p0}$')
ax1.plot(k_array * v0 / omega_p0, k_array * v0 / omega_p0, 'g--',
label='$kv_0$')
ax1.set_xlabel('$kv_0 / \\omega_{p0}$', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('$\\omega_r / \\omega_{p0}$', fontsize=13)
ax1.set_title('Two-Stream: Real Frequency', fontsize=14)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# Growth rate
ax2.plot(k_array * v0 / omega_p0, omega_imag / omega_p0, 'b-',
linewidth=2, label='Numerical')
ax2.plot(k_array * v0 / omega_p0, gamma_approx / omega_p0, 'r--',
linewidth=1.5, label=f'Approx: $(n_b/n_0)^{{1/3}} = {nb_frac**(1/3):.3f}$')
ax2.set_xlabel('$kv_0 / \\omega_{p0}$', fontsize=13)
ax2.set_ylabel('$\\gamma / \\omega_{p0}$', fontsize=13)
ax2.set_title(f'Two-Stream: Growth Rate ($n_b/n_0 = {nb_frac}$)', fontsize=14)
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_ylim([0, 0.5])
plt.tight_layout()
plt.savefig('two_stream_instability.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
6.2 Weibel 불안정성 성장률¶
def weibel_growth_rate(T_perp, T_parallel, n, B0=0):
"""
Weibel instability growth rate.
γ_max ≈ ω_pe √[(T_⊥ - T_∥)/T_∥]
"""
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
anisotropy = (T_perp - T_parallel) / T_parallel
if anisotropy > 0:
gamma_max = omega_pe * np.sqrt(anisotropy)
else:
gamma_max = 0
return gamma_max, omega_pe
# Parameters
n = 1e20 # m^-3
T_parallel = 1e3 # eV
T_perp_array = np.linspace(1e3, 10e3, 100) # eV
gamma_array = []
for T_perp in T_perp_array:
gamma, omega_pe = weibel_growth_rate(T_perp, T_parallel, n)
gamma_array.append(gamma)
gamma_array = np.array(gamma_array)
anisotropy_array = (T_perp_array - T_parallel) / T_parallel
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
# Growth rate vs anisotropy
ax1.plot(anisotropy_array, gamma_array / omega_pe, 'b-', linewidth=2)
ax1.set_xlabel('Anisotropy $(T_\\perp - T_\\parallel)/T_\\parallel$', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('$\\gamma / \\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax1.set_title('Weibel Instability Growth Rate', fontsize=14)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# Growth rate vs T_perp
ax2.plot(T_perp_array / 1e3, gamma_array / omega_pe, 'r-', linewidth=2)
ax2.axvline(T_parallel / 1e3, color='k', linestyle='--',
label=f'$T_\\parallel = {T_parallel/1e3:.0f}$ keV')
ax2.set_xlabel('$T_\\perp$ (keV)', fontsize=13)
ax2.set_ylabel('$\\gamma / \\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax2.set_title(f'Growth Rate vs Perpendicular Temperature', fontsize=14)
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('weibel_instability.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print(f"\nWeibel instability at T_⊥ = {T_perp_array[-1]/1e3:.0f} keV, T_∥ = {T_parallel/1e3:.0f} keV:")
print(f" Anisotropy: {anisotropy_array[-1]:.1f}")
print(f" γ/ω_pe: {gamma_array[-1]/omega_pe:.2f}")
6.3 Firehose와 Mirror 안정성 경계¶
def firehose_criterion(beta_parallel, beta_perp):
"""
Firehose stability: β_∥ - β_⊥ < 1
Returns True if stable.
"""
return (beta_parallel - beta_perp) < 1
def mirror_criterion(beta_perp, p_perp, p_parallel):
"""
Mirror stability: β_⊥(p_⊥/p_∥ - 1) < 1
Returns True if stable.
"""
return beta_perp * (p_perp / p_parallel - 1) < 1
# Generate stability diagram
beta_perp_range = np.linspace(0, 5, 200)
beta_parallel_range = np.linspace(0, 5, 200)
Beta_perp, Beta_parallel = np.meshgrid(beta_perp_range, beta_parallel_range)
# Firehose boundary: β_∥ - β_⊥ = 1
firehose_stable = Beta_parallel - Beta_perp < 1
# Mirror boundary: β_⊥(p_⊥/p_∥ - 1) = 1
# → p_⊥/p_∥ = 1 + 1/β_⊥
# Assume isotropic for simplicity in demo (real case needs p_ratio)
# For demo, use β_⊥(β_∥/β_⊥ - 1) < 1 → β_∥ < β_⊥ + 1
mirror_stable = Beta_parallel < Beta_perp + 1
# Combined stability region
stable = firehose_stable & mirror_stable
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
# Plot stability regions
ax.contourf(Beta_perp, Beta_parallel, stable.astype(int),
levels=[0, 0.5, 1], colors=['red', 'green'], alpha=0.3)
# Boundaries
beta_line = np.linspace(0, 5, 100)
ax.plot(beta_line, beta_line + 1, 'b-', linewidth=2,
label='Firehose boundary: $\\beta_\\parallel - \\beta_\\perp = 1$')
ax.plot(beta_line, beta_line - 1, 'r-', linewidth=2,
label='Mirror boundary (approx)')
# Diagonal
ax.plot(beta_line, beta_line, 'k--', alpha=0.5, label='$\\beta_\\parallel = \\beta_\\perp$')
ax.set_xlabel('$\\beta_\\perp$', fontsize=14)
ax.set_ylabel('$\\beta_\\parallel$', fontsize=14)
ax.set_title('Pressure Anisotropy Stability Diagram', fontsize=15)
ax.legend(fontsize=12)
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim([0, 5])
ax.set_ylim([0, 5])
# Annotate regions
ax.text(1, 3.5, 'Firehose\nUnstable', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='red', alpha=0.3))
ax.text(3.5, 1, 'Mirror\nUnstable', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='orange', alpha=0.3))
ax.text(2, 2, 'Stable', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='green', alpha=0.3))
plt.tight_layout()
plt.savefig('anisotropy_stability.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
6.4 파라메트릭 불안정성 임계값¶
def srs_growth_rate(I_laser, n, T_e, lambda_laser=1.053e-6):
"""
Stimulated Raman Scattering growth rate.
Parameters:
-----------
I_laser : float
Laser intensity (W/m²)
n : float
Density (m^-3)
T_e : float
Electron temperature (eV)
lambda_laser : float
Laser wavelength (m)
Returns:
--------
gamma_SRS : float
Growth rate (s^-1)
"""
c = 3e8
omega_0 = 2 * np.pi * c / lambda_laser
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
# Quiver velocity
E_0 = np.sqrt(2 * I_laser / (c * epsilon_0))
v_osc = e * E_0 / (m_e * omega_0)
# Scattered wave frequency (backward scattering)
omega_s = omega_0 - omega_pe # Approximate
# Langmuir wavenumber
k_L = 2 * omega_0 / c # Backscatter
# Growth rate
gamma_SRS = (k_L * v_osc / 4) * np.sqrt(omega_0 / omega_s)
return gamma_SRS
# Laser parameters
lambda_laser = 351e-9 # m (UV, 3ω Nd:glass)
I_array = np.logspace(13, 16, 100) # W/m²
n = 0.1 * 1.1e21 # m^-3 (nc/10 where nc is critical density)
T_e = 3e3 # eV
gamma_array = []
for I in I_array:
gamma = srs_growth_rate(I, n, T_e, lambda_laser)
gamma_array.append(gamma)
gamma_array = np.array(gamma_array)
# Landau damping (approximate)
v_th = np.sqrt(2 * T_e * e / m_e)
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
k_L = 4 * np.pi / lambda_laser
zeta = omega_pe / (k_L * v_th)
gamma_Landau = omega_pe * np.sqrt(np.pi/8) * np.exp(-zeta**2/2) / (k_L**3 * (v_th/omega_pe)**3)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax.loglog(I_array / 1e15, gamma_array / omega_pe, 'b-',
linewidth=2, label='SRS growth rate')
ax.axhline(gamma_Landau / omega_pe, color='r', linestyle='--',
linewidth=2, label=f'Landau damping: $\\gamma_L/\\omega_{{pe}} = {gamma_Landau/omega_pe:.2e}$')
# Threshold
I_threshold_idx = np.argmin(np.abs(gamma_array - gamma_Landau))
I_threshold = I_array[I_threshold_idx]
ax.axvline(I_threshold / 1e15, color='g', linestyle=':',
linewidth=2, label=f'Threshold: $I_{{th}} = {I_threshold/1e15:.2f}$ PW/cm²')
ax.set_xlabel('Laser Intensity (PW/cm²)', fontsize=13)
ax.set_ylabel('$\\gamma / \\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax.set_title('Stimulated Raman Scattering Growth Rate', fontsize=14)
ax.legend(fontsize=11)
ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('srs_threshold.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print(f"\nSRS parameters:")
print(f" Density: n = {n:.2e} m^-3 (n/n_c = {n/1.1e21:.2f})")
print(f" Temperature: T_e = {T_e/1e3:.0f} keV")
print(f" Threshold intensity: I_th = {I_threshold:.2e} W/m² = {I_threshold/1e15:.2f} PW/cm²")
요약¶
파동 가열과 불안정성은 플라즈마 물리학의 핵심입니다:
핵융합에서 파동 가열: - ECRH: $\omega \approx n\omega_{ce}$, 140-170 GHz, 우수한 국소화, 전류 구동 - ICRH: $\omega \approx n\omega_{ci}$, 40-80 MHz, 이온 가열, 소수 방식 - LHCD: $\omega_{ci} \ll \omega \ll \omega_{ce}$, 3-8 GHz, 효율적인 전류 구동 - 핵융합 반응로를 위한 다중 방법의 시너지 사용이 최적
속도 공간 불안정성: - 빔-플라즈마: 냉각 배경에 냉각 빔, $\gamma \sim \omega_{pe}(n_b/n_0)^{1/3}$ - Bump-on-tail: 양의 $\partial f/\partial v$가 역 Landau 감쇠 구동, 준선형 고원 - Weibel: 온도 비등방성이 자기장 생성, $\gamma \sim \omega_{pe}\sqrt{\Delta T/T}$
압력 구동 불안정성: - Firehose: $p_\parallel > p_\perp$, 기준 $\beta_\parallel - \beta_\perp < 1$, 자기장 선 구부림 - Mirror: $p_\perp > p_\parallel$, 기준 $\beta_\perp(p_\perp/p_\parallel - 1) < 1$, 자기 병 생성 - 무충돌 플라즈마 (태양풍, 자기권)에서 편재
파라메트릭 불안정성: - SRS: EM $\to$ EM + Langmuir, 열전자 생성, 레이저 핵융합 문제 - SBS: EM $\to$ EM + 이온 음향, 후방산란, 에너지 손실 - 임계값은 펌프 강도, 감쇠율에 의존 - ICF에서 주요 과제, 대역폭, 평활화를 통한 완화
응용은 핵융합 에너지, 천체물리학, 우주 물리학, 고에너지 밀도 물리학에 걸쳐 있습니다. 불안정성 이해는 플라즈마 성능을 제어하고 최적화하는 데 필수적입니다.
연습 문제¶
문제 1: ECRH 시스템 설계¶
토카막은 축에서 $B_0 = 2.5$ T를 가지고 밀도 프로파일 $n(r) = n_0(1 - r^2/a^2)^2$를 가지며 $n_0 = 8 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, $a = 0.5$ m입니다.
(a) 자기 축에서 전자 사이클로트론 주파수 $f_{ce}$를 계산하십시오.
(b) 2차 고조파 ECRH ($\omega = 2\omega_{ce}$)의 경우, 어떤 자이로트론 주파수가 필요합니까?
(c) 이 주파수에서 O-모드 차단 밀도를 계산하십시오. 파동이 코어에 도달할 수 있습니까?
(d) X-모드가 대신 사용되는 경우, 상부 하이브리드 공명 층이 어디에 위치합니까?
문제 2: Two-Stream 불안정성¶
$n_b = 10^{17}$ m$^{-3}$, $v_0 = 10^7$ m/s를 가진 전자 빔이 $n_0 = 10^{19}$ m$^{-3}$를 가진 플라즈마를 통해 전파합니다.
(a) 배경 플라즈마 주파수 $\omega_{p0}$를 계산하십시오.
(b) $\gamma \approx \omega_{p0}(n_b/n_0)^{1/3}$를 사용하여 성장률 $\gamma$를 추정하십시오.
(c) 불안정성이 공명하는 파수 $k$는 무엇입니까 (즉, $kv_0 \approx \omega_{p0}$)?
(d) 파동 진폭이 1000배 성장하는 데 몇 번의 $e$-폴딩 시간이 걸립니까? 빔이 $L/v_0 = 1$ μs에 플라즈마를 통과하는 경우, 이것이 상당한 성장에 충분합니까?
문제 3: 레이저 플라즈마에서 Weibel 불안정성¶
레이저 가열 플라즈마가 $T_\perp = 500$ eV (레이저에 의해 가열), $T_\parallel = 50$ eV (레이저 방향으로 냉각), $n = 10^{21}$ m$^{-3}$를 가집니다.
(a) 비등방성 파라미터 $(T_\perp - T_\parallel)/T_\parallel$를 계산하십시오.
(b) 최대 Weibel 성장률 $\gamma_{\text{max}}$를 추정하십시오.
(c) 생성된 자기장은 $B^2/(8\pi) \sim nk_B(T_\perp - T_\parallel)$로 스케일됩니다. Tesla 단위로 자기장 강도를 추정하십시오.
(d) 이 자기장을 전자 자이로반경 $\rho_L \sim 1/k_{\text{max}}$에 필요한 자기장과 비교하십시오, 여기서 $k_{\text{max}}$는 최대 성장의 파수입니다. 전자가 자체 생성 자기장에 의해 자화됩니까?
문제 4: 태양풍 비등방성¶
1 AU에서 태양풍 관측은 $\beta_\parallel = 0.8$, $\beta_\perp = 1.5$를 보여줍니다.
(a) 플라즈마가 firehose 불안정성에 안정한지 확인하십시오.
(b) 플라즈마가 mirror 불안정성에 안정한지 확인하십시오.
(c) 불안정한 경우, $v_A = 50$ km/s, $L = 10^6$ km에 대해 성장률을 추정하십시오.
(d) 관측된 비등방성이 준정상 상태이며 한계 안정성을 시사합니다. 플라즈마를 안정성 경계 근처에 유지하는 메커니즘을 제안하십시오.
문제 5: ICF에서 레이저-플라즈마 불안정성¶
강도 $I = 3 \times 10^{15}$ W/cm$^2$과 파장 $\lambda = 351$ nm를 가진 레이저가 $n = 0.1 n_c$ (여기서 $n_c$는 임계 밀도)와 $T_e = 3$ keV를 가진 플라즈마를 조명합니다.
(a) 이 파장에 대한 임계 밀도 $n_c$를 계산하십시오.
(b) 레이저 장에서 전자의 진동 속도 $v_{osc}$를 추정하십시오.
(c) $\gamma_{SRS} \approx (k_L v_{osc}/4)\sqrt{\omega_0/\omega_s}$를 사용하여 SRS 성장률을 계산하십시오, 여기서 $k_L \approx 2\omega_0/c$ (후방산란).
(d) Langmuir 파동에 대한 Landau 감쇠율과 비교하십시오. SRS가 임계값 이상입니까? SRS를 줄일 수 있는 전략은 무엇입니까?