11. 플라즈마에서의 전자기파
11. 플라즈마에서의 전자기파¶
학습 목표¶
- 무자화 플라즈마에서 전자기파 전파와 플라즈마 차단을 이해
- 자화 플라즈마를 위한 Stix cold plasma 유전 텐서 마스터
- R-파, L-파, O-모드, X-모드의 분산 관계 유도
- 휘슬러파 분산 및 응용 분석
- CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) 다이어그램 구성 및 해석
- Faraday 회전을 적용하여 플라즈마의 자기장 측정
소개¶
정전파(electric field $\mathbf{E}$ 섭동만 포함)와 달리, 전자기파 (EM waves)는 전기장과 자기장 성분을 모두 가집니다:
$$\mathbf{E}_1 \neq -\nabla\phi, \quad \mathbf{B}_1 \neq 0$$
플라즈마에서 EM 파는 풍부한 물리학을 보여줍니다: - 차단 (Cutoffs): 파동이 전파할 수 없는 주파수 이하 (감쇠) - 공명 (Resonances): 파동 특성이 발산하는 주파수 - 편광 (Polarization): 파동 전기장이 선형, 원형 또는 타원형일 수 있음 - 모드 변환 (Mode conversion): 한 파동 유형이 다른 유형으로 변환
이러한 파동은 다음에 중요합니다: - 플라즈마 가열: ECRH (전자 사이클로트론 공명 가열), ICRH (이온 사이클로트론) - 진단: 간섭계, 반사계, 편광계 - 통신: 전리층 전파, 휘슬러파 - 천체물리학: 펄서 방출, 태양 전파 폭발
가장 간단한 경우(무자화 플라즈마)부터 시작하여 Stix 형식론을 사용하여 완전한 자화 플라즈마 이론을 구축합니다.
1. 무자화 플라즈마에서의 EM파¶
1.1 Maxwell 방정식과 파동 방정식¶
$\propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}$ 필드에 대한 Maxwell 방정식에서 시작:
$$\mathbf{k} \times \mathbf{E}_1 = \omega \mathbf{B}_1$$
$$\mathbf{k} \times \mathbf{B}_1 = -\frac{\omega}{c^2}(\mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_{\text{plasma}})$$
여기서 $\mathbf{E}_{\text{plasma}}$는 플라즈마 전류로부터의 전기장입니다.
냉각 플라즈마의 경우, 플라즈마 전류는: $$\mathbf{j}_1 = -n_0 e \mathbf{v}_1 = -i\frac{n_0 e^2}{m_e \omega}\mathbf{E}_1 = -i\epsilon_0\omega_{pe}^2/\omega \cdot \mathbf{E}_1$$
이것은 다음을 제공합니다: $$\mathbf{k} \times \mathbf{B}_1 = -\frac{\omega}{c^2}\left(1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right)\mathbf{E}_1$$
첫 번째 방정식의 $\mathbf{k} \times$를 취하면: $$\mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}_1) = \omega \mathbf{k} \times \mathbf{B}_1$$
벡터 항등식 $\mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}_1) = \mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_1) - k^2\mathbf{E}_1$ 사용:
횡파 ($\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_1 = 0$)의 경우:
$$-k^2 \mathbf{E}_1 = -\frac{\omega^2}{c^2}\left(1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right)\mathbf{E}_1$$
이것은 분산 관계를 제공합니다:
$$\boxed{\omega^2 = \omega_{pe}^2 + k^2 c^2}$$
또는 동등하게:
$$\boxed{k^2 c^2 = \omega^2 - \omega_{pe}^2}$$
1.2 차단과 굴절률¶
차단: 주파수 $\omega = \omega_{pe}$는 차단입니다. $\omega < \omega_{pe}$의 경우: $$k^2 < 0 \Rightarrow k = i\kappa$$
파동은 감쇠 (공간에서 지수적으로 감소)가 됩니다: $$\mathbf{E}_1 \propto e^{-\kappa x} e^{-i\omega t}$$
침투 깊이 (표피 깊이)는: $$\delta = \frac{1}{\kappa} = \frac{c}{\sqrt{\omega_{pe}^2 - \omega^2}}$$
$\omega \ll \omega_{pe}$의 경우: $$\delta \approx \frac{c}{\omega_{pe}}$$
이것이 저주파 전파가 전리층을 통과할 수 없는 이유입니다 ($\omega_{pe} \sim 2\pi \times 10$ MHz).
굴절률: $n = kc/\omega$를 정의:
$$\boxed{n^2 = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}}$$
$\omega > \omega_{pe}$의 경우: $n < 1$ (위상 속도 $v_\phi = c/n > c$!)
이것은 정보가 군속도로 이동하기 때문에 상대성을 위반하지 않습니다: $$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{k c^2}{\omega} = c \sqrt{1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}} < c$$
1.3 물리적 그림: 진동하는 전자¶
EM파가 플라즈마에 진입:
E-장 → 전자 가속 → 진동 전류
전류 → 2차 E-장 생성 (위상 차이)
순 효과: 파동 전파 수정
낮은 ω (ω < ωpe): 전자가 E-장을 상쇄할 만큼 빠르게 응답
→ 파동이 전파할 수 없음 (반사)
높은 ω (ω > ωpe): 전자가 충분히 빠르게 응답할 수 없음
→ 파동 전파 (수정된 c로)
1.4 전리층 응용¶
전리층은 높이에 따라 증가하는 밀도 프로파일 $n(h)$를 가집니다:
높이 (km) 밀도 (m^-3) f_pe (MHz)
100 10^11 0.3
200 10^12 3
300 10^13 10
1 MHz의 AM 라디오파 ($< 10$ MHz)는 $f = f_{pe}(h)$인 높이에서 반사됩니다. 이것은 수평선 너머 통신을 가능하게 합니다.
100 MHz의 FM 라디오 ($> f_{pe,\max}$)는 전리층을 통과합니다 (가시선만).
2. 냉각 자화 플라즈마: Stix 형식론¶
2.1 유전 텐서¶
$\mathbf{B}_0 = B_0\hat{z}$를 가진 자화 플라즈마에서, 플라즈마 응답은 비등방성입니다. 변위는:
$$\mathbf{D} = \epsilon_0 \overleftrightarrow{K} \cdot \mathbf{E}$$
여기서 $\overleftrightarrow{K}$는 유전 텐서입니다.
냉각 플라즈마의 경우, 종 $s$에 대한 운동 방정식은:
$$-i\omega m_s \mathbf{v}_s = e_s(\mathbf{E}_1 + \mathbf{v}_s \times \mathbf{B}_0)$$
$\mathbf{v}_s$를 풀고 $\mathbf{j} = \sum_s n_0 e_s \mathbf{v}_s$에 대입하면 $\overleftrightarrow{K}$를 얻습니다.
Stix 표기법에서, 텐서는 다음 형태를 가집니다:
$$\overleftrightarrow{K} = \begin{pmatrix} S & -iD & 0 \\ iD & S & 0 \\ 0 & 0 & P \end{pmatrix}$$
여기서:
$$\boxed{S = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{cs}^2}}$$
$$\boxed{D = \sum_s \frac{\omega_{cs}}{\omega} \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2 - \omega_{cs}^2}}$$
$$\boxed{P = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2}}$$
여기서 $\omega_{cs} = e_s B_0/m_s$는 사이클로트론 주파수입니다 (우리 규약에 따라 전자의 경우 양수, 이온의 경우 음수).
편리한 조합: $$R = S + D$$ $$L = S - D$$
$R$은 우선형 원형 편광에 해당하고, $L$은 좌선형 원형에 해당합니다.
2.2 파동 방정식¶
파동 방정식은:
$$\mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}_1) + \frac{\omega^2}{c^2}\overleftrightarrow{K}\cdot\mathbf{E}_1 = 0$$
$\mathbf{k} \times (\mathbf{k} \times \mathbf{E}_1) = \mathbf{k}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_1) - k^2\mathbf{E}_1$을 사용하고 굴절률 $\mathbf{n} = \mathbf{k}c/\omega$를 정의:
$$\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \mathbf{E}_1) + \overleftrightarrow{K}\cdot\mathbf{E}_1 = 0$$
이것은 텐서 형태의 Appleton-Hartree 방정식입니다.
분산 관계 $D(n, \omega) = 0$은 $\det[\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \overleftrightarrow{I}) + \overleftrightarrow{K}] = 0$을 요구하는 것에서 나옵니다.
$\mathbf{B}_0$에 대해 각도 $\theta$로 전파하는 경우:
$$A n^4 - B n^2 + C = 0$$
여기서 $A, B, C$는 $S, D, P, \theta$의 복잡한 함수입니다. 두 가지 특별한 경우에 초점을 맞춥니다.
3. 평행 전파 ($\mathbf{k} \parallel \mathbf{B}_0$)¶
3.1 원형 편광 모드¶
$\mathbf{k} = k\hat{z}$ ($\mathbf{B}_0$를 따라)의 경우, $\mathbf{E}_1 = E_x\hat{x} + E_y\hat{y}$를 가진 해를 찾습니다.
파동 방정식은 다음을 제공합니다: $$-n^2 E_x + S E_x - iD E_y = 0$$ $$-n^2 E_y + iD E_x + S E_y = 0$$
$E_\pm = E_x \pm iE_y$를 결합:
$$(S \mp D - n^2)E_\pm = 0$$
두 모드: 1. R-파 (우원형): $E_+ \propto e^{ikz}$, $n^2 = R = S + D$ 2. L-파 (좌원형): $E_- \propto e^{ikz}$, $n^2 = L = S - D$
전자-이온 플라즈마의 경우:
$$R = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega(\omega - \omega_{ce})} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega(\omega + \omega_{ci})}$$
$$L = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega(\omega + \omega_{ce})} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega(\omega - \omega_{ci})}$$
3.2 전자 사이클로트론 공명¶
R-파는 $\omega = \omega_{ce}$에서 공명을 가집니다:
$$n^2 = R \to \infty \quad \text{as } \omega \to \omega_{ce}$$
공명에서: - 파동 에너지는 파동과 공명하여 회전하는 전자에 흡수됨 - 파장 $\lambda = 2\pi/k \to 0$ (무한 $k$) - 군속도 $v_g \to 0$ (에너지가 국소적으로 침착)
이것은 전자 사이클로트론 공명 가열 (ECRH)의 기초입니다: - 주파수: $f = n \times f_{ce}$ (일반적으로 $n=1$ 또는 $2$) - ITER의 경우: $B \sim 5.3$ T $\Rightarrow f_{ce} \sim 140$ GHz - X-모드 또는 O-모드로 발사, 사이클로트론 층에서 흡수
3.3 이온 사이클로트론 공명¶
L-파는 $\omega = \omega_{ci}$에서 공명을 가집니다:
$$n^2 = L \to \infty \quad \text{as } \omega \to \omega_{ci}$$
이온 사이클로트론 공명 가열 (ICRH)의 경우: - 주파수: 토카막의 경우 $f \sim 30-100$ MHz - 이온 종을 선택적으로 가열 가능 (소수 가열) - 모드 변환과 결합하여 사용
3.4 휘슬러파¶
주파수 범위 $\omega_{ci} \ll \omega \ll \omega_{ce}$에서, R-파는 휘슬러 모드가 됩니다.
근사 분산 (이온 무시, $\omega_{ce} \gg \omega$):
$$n^2 = R \approx \frac{\omega_{pe}^2}{\omega(\omega_{ce} - \omega)} \approx \frac{\omega_{pe}^2}{\omega \omega_{ce}}$$
따라서: $$\boxed{k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\frac{\omega_{pe}^2}{\omega \omega_{ce}}}}$$
또는: $$\omega \approx \frac{k^2 c^2 \omega_{ce}}{\omega_{pe}^2}$$
특성: - 고분산성: $\omega \propto k^2$ - 우선형 편광: $\mathbf{E}_1$이 전자와 같은 방향으로 회전 - 위상 속도: $v_\phi = \omega/k \propto \omega^{1/2}$ (고주파가 더 빠르게 이동) - 군속도: $v_g = d\omega/dk \propto \omega$ (또한 분산성)
발견: 제2차 세계대전 중, 번개로부터의 오디오 신호가 무선 수신기에서 감지되어 특징적인 하강 톤 (떨어지는 "휘슬")을 나타냈습니다: - 번개는 광대역 EM파를 생성 - 고주파는 지구 자기장 선을 따라 더 빠르게 이동 - 더 일찍 도착 → "휘슬링" 소리
휘슬러는 자기장 선을 따라 한 반구에서 다른 반구로 전파되어 자기권에 대한 정보를 제공합니다.
응용: - 자기권 진단 - 잠수함과의 VLF 통신 - 파동-입자 상호작용 (복사 벨트 역학)
4. 수직 전파 ($\mathbf{k} \perp \mathbf{B}_0$)¶
4.1 정상파와 비정상파 모드¶
$\mathbf{k} = k\hat{x}$, $\mathbf{B}_0 = B_0\hat{z}$의 경우, 두 개의 독립적인 모드가 있습니다:
정상 모드 (O-모드): $\mathbf{E}_1 = E_z\hat{z}$ ($\mathbf{B}_0$에 평행) - $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ 힘 없음 → 무자화 플라즈마처럼 동작 - 분산: $$\boxed{n^2 = P = 1 - \sum_s \frac{\omega_{ps}^2}{\omega^2}}$$ - $\omega_{pe}$에서 차단 (또는 정확한 처리의 경우 $\omega_R = \sqrt{\omega_{pe}^2 + \omega_{pi}^2}$)
비정상 모드 (X-모드): $\mathbf{E}_1$이 $x$-$y$ 평면에 있음 ($\mathbf{B}_0$에 수직) - $\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ 힘이 운동을 결합 - 분산: $$\boxed{n^2 = \frac{RL}{S} = \frac{(S+D)(S-D)}{S}}$$
더 명시적으로: $$n^2 = 1 - \frac{\omega_{pe}^2(\omega^2 - \omega_{UH}^2)}{\omega^2(\omega^2 - \omega_{UH}^2 - \omega_{ce}^2)}$$
여기서 $\omega_{UH}^2 = \omega_{pe}^2 + \omega_{ce}^2$는 상부 하이브리드 주파수입니다.
4.2 X-모드 차단과 공명¶
X-모드는 두 개의 차단 ($n^2 = 0$인 곳)을 가집니다:
$$\omega_R = \frac{1}{2}\left(\omega_{ce} + \sqrt{\omega_{ce}^2 + 4\omega_{pe}^2}\right)$$ (우선형 차단)
$$\omega_L = \frac{1}{2}\left(-\omega_{ce} + \sqrt{\omega_{ce}^2 + 4\omega_{pe}^2}\right)$$ (좌선형 차단)
그리고 하나의 공명 ($n^2 \to \infty$인 곳):
$$\omega = \omega_{UH} = \sqrt{\omega_{pe}^2 + \omega_{ce}^2}$$ (상부 하이브리드 공명)
상부 하이브리드 층 근처에서, 파장 $\lambda \to 0$이고 파동 에너지가 흡수됩니다 (정전 상부 하이브리드파로 변환).
4.3 모드 접근성¶
O-모드와 X-모드는 고밀도 플라즈마에 대한 접근성이 다릅니다:
O-모드: - $\omega = \omega_{pe}$에서 차단 - $n > n_c$인 경우 전파할 수 없음, 여기서 $\omega_{pe}(n_c) = \omega$ - 밀도로 제한 $n < n_c = \epsilon_0 m_e \omega^2/e^2$
X-모드: - $\omega_R > \omega_{pe}$에서 차단 (O-모드보다 높음) - 더 높은 밀도에 접근 가능: $n < n_c^{X-mode} > n_c^{O-mode}$ - 과밀 플라즈마 가열에 사용
$\omega = 2\omega_{ce}$에서 ECRH의 경우: - O-모드 차단: $n_c = 4 n_{ce}$ 여기서 $n_{ce} = \epsilon_0 m_e \omega_{ce}^2/e^2$ - X-모드 차단: 더 높음 (더 높은 밀도 접근 허용)
5. CMA 다이어그램¶
5.1 구성¶
Clemmow-Mullaly-Allis (CMA) 다이어그램은 파라미터 공간에서 파동 전파 영역의 지도입니다.
축: - 수평: $X = \omega_{pe}^2/\omega^2$ (밀도 효과) - 수직: $Y = \omega_{ce}/\omega$ (자기장 효과)
각 점 $(X, Y)$에 대해, 다이어그램은 어떤 모드 (R, L, O, X)가 전파하거나 감쇠하는지 보여줍니다.
경계: - 차단: $n^2 = 0$인 곡선 (전파와 감쇠 사이의 경계) - 공명: $n^2 \to \infty$인 곡선 (흡수)
주요 곡선: - O-모드 차단: $X = 1$ (수직선) - R-파 차단: $R = 0 \Rightarrow X = 1 - Y$ - L-파 차단: $L = 0 \Rightarrow X = 1 + Y$ - 상부 하이브리드: $X = 1 - Y^2$ (수직 전파의 경우)
5.2 영역과 모드 특성¶
Y (ω_ce/ω)
↑
| R, L, O 전파
| /
| R / O
| 차단
| /
|/______________→ X (ω_pe²/ω²)
1
다른 영역: - 영역 I ($X < 1 - Y$): 모든 모드 전파 - 영역 II ($1 - Y < X < 1$): R-파 감쇠, L과 O 전파 - 영역 III ($X > 1$): O-모드 감쇠
완전한 다이어그램 (이온 효과 및 수직 전파 포함)은 약 10개의 구별되는 영역을 가집니다.
5.3 응용¶
CMA 다이어그램은 다음에 사용됩니다: - 가열 및 전류 구동 시스템 설계 (적절한 모드 선택) - 진단 시스템 계획 (반사계, 간섭계) - 전리층 전파 이해 - 자기권에서 휘슬러 전파 분석
예를 들어, 핵융합 플라즈마에서: - 고밀도, 고 $B$ → $(X, Y)$가 X-모드가 필요한 영역에 있음 - 저밀도 가장자리 → O-모드 접근 가능
6. Faraday 회전¶
6.1 이론¶
선형 편광 파동이 자화 플라즈마를 통해 전파할 때, 편광 평면이 회전합니다. 이것이 Faraday 회전입니다.
물리적 원리: - 선형 편광 = 동일한 진폭을 가진 R-파와 L-파의 중첩 - R과 L은 다른 굴절률을 가집니다: $n_R \neq n_L$ - 위상 차이가 누적됩니다: $\Delta\phi = (k_R - k_L) L$ - 편광 평면이 각도 $\theta = \Delta\phi/2$만큼 회전
$\omega \gg \omega_{pe}, \omega_{ce}$의 경우:
$$n_R - n_L \approx \frac{\omega_{pe}^2 \omega_{ce}}{\omega^3}$$
거리 $L$에 걸친 회전 각도는:
$$\boxed{\theta = \frac{\omega_{pe}^2 \omega_{ce}}{2c\omega^2} L = \frac{e^3}{2\epsilon_0 m_e^2 c \omega^2} \int_0^L n_e B_\parallel \, dl}$$
여기서 $B_\parallel$는 광선 경로를 따른 $\mathbf{B}$의 성분입니다.
회전 측정은:
$$RM = \frac{e^3}{2\pi \epsilon_0 m_e^2 c} \int n_e B_\parallel \, dl$$
실용 단위로: $$RM \approx 2.63 \times 10^{-13} \int n_e(\text{cm}^{-3}) B_\parallel(\text{G}) \, dl(\text{pc}) \quad (\text{rad/m}^2)$$
6.2 천체물리학적 응용¶
Faraday 회전은 다음에서 자기장을 측정하는 데 사용됩니다:
펄서: - 다중 주파수 편광 관측으로부터 $RM$ 측정 - 가시선을 따라 $\int n_e B_\parallel dl$ 추론 - 은하 자기장 구조 매핑
활동 은하핵 (AGN): - 제트는 얽힌 자기장을 가짐 - Faraday 회전이 자기장 강도와 구조를 제공
은하단 내부 매질: - 은하단: $n_e \sim 10^{-3}$ cm$^{-3}$, $L \sim$ Mpc - 회전 측정으로부터 $B \sim \mu$G 측정
토카막 진단: - 편광계가 $\int n_e B_\parallel dl$ 측정 - 간섭계 ($\int n_e dl$)와 결합하여 $B$ 프로파일 추론 가능
6.3 분산과 비편광화¶
낮은 주파수에서 회전 각도가 더 큽니다: $\theta \propto \omega^{-2}$.
$\Delta\omega$를 가진 광대역 방출의 경우, 다른 주파수가 다른 양만큼 회전하여 비편광화를 유발합니다:
$$\Delta\theta \approx 2\theta \frac{\Delta\omega}{\omega}$$
$\Delta\theta \gtrsim \pi/2$인 경우, 순 편광이 뒤섞입니다.
이것은 비편광화 주파수를 설정합니다: $$\omega_{\text{depol}} \sim \left(\frac{e^3 n_e B_\parallel L}{\epsilon_0 m_e^2 c}\right)^{1/2}$$
7. Python 구현¶
7.1 무자화 플라즈마에서의 분산¶
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def unmagnetized_dispersion(k, omega_pe):
"""
EM wave dispersion in unmagnetized plasma: ω² = ω_pe² + k²c².
"""
c = 3e8 # m/s
omega = np.sqrt(omega_pe**2 + k**2 * c**2)
return omega
# Parameters
n = 1e19 # m^-3
e = 1.602e-19 # C
epsilon_0 = 8.854e-12 # F/m
m_e = 9.109e-31 # kg
c = 3e8 # m/s
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
f_pe = omega_pe / (2 * np.pi)
print(f"Plasma frequency: f_pe = {f_pe / 1e9:.2f} GHz")
print(f"Cutoff wavelength: λ_c = {c / f_pe:.2f} m")
# Wavenumber
k = np.linspace(0, 5, 1000) * omega_pe / c
# Dispersion
omega = unmagnetized_dispersion(k, omega_pe)
# Refractive index
n_refr = k * c / omega
# Group velocity
v_g = c**2 * k / omega
fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# Dispersion relation
ax1.plot(k * c / omega_pe, omega / omega_pe, 'b-', linewidth=2, label='Plasma')
ax1.plot(k * c / omega_pe, k * c / omega_pe, 'k--', linewidth=1.5,
label='Vacuum ($\\omega = kc$)')
ax1.axhline(1, color='r', linestyle=':', linewidth=1.5, label='Cutoff ($\\omega_{pe}$)')
ax1.set_xlabel('$kc/\\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('$\\omega/\\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax1.set_title('EM Wave Dispersion in Plasma', fontsize=14)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.set_xlim([0, 5])
ax1.set_ylim([0, 6])
# Refractive index
ax2.plot(omega / omega_pe, n_refr, 'b-', linewidth=2)
ax2.axhline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5, label='Vacuum')
ax2.axvline(1, color='r', linestyle=':', linewidth=1.5, label='Cutoff')
ax2.set_xlabel('$\\omega/\\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax2.set_ylabel('Refractive Index $n$', fontsize=13)
ax2.set_title('Refractive Index: $n = \\sqrt{1 - \\omega_{pe}^2/\\omega^2}$', fontsize=14)
ax2.legend(fontsize=11)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_xlim([1, 3])
ax2.set_ylim([0, 1.2])
# Phase velocity
v_phase = omega / k
ax3.plot(omega / omega_pe, v_phase / c, 'b-', linewidth=2, label='$v_\\phi$')
ax3.axhline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5, label='$c$')
ax3.set_xlabel('$\\omega/\\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax3.set_ylabel('$v_\\phi / c$', fontsize=13)
ax3.set_title('Phase Velocity (superluminal!)', fontsize=14)
ax3.legend(fontsize=11)
ax3.grid(True, alpha=0.3)
ax3.set_xlim([1, 3])
ax3.set_ylim([0.5, 3])
# Group velocity
ax4.plot(omega / omega_pe, v_g / c, 'r-', linewidth=2, label='$v_g$')
ax4.axhline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5, label='$c$')
ax4.set_xlabel('$\\omega/\\omega_{pe}$', fontsize=13)
ax4.set_ylabel('$v_g / c$', fontsize=13)
ax4.set_title('Group Velocity (subluminal)', fontsize=14)
ax4.legend(fontsize=11)
ax4.grid(True, alpha=0.3)
ax4.set_xlim([1, 3])
ax4.set_ylim([0, 1.2])
plt.tight_layout()
plt.savefig('unmagnetized_dispersion.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
7.2 Stix 파라미터와 모드 분산¶
def stix_parameters(omega, n, B, Z=1, A=1):
"""
Compute Stix parameters S, D, P for cold magnetized plasma.
Parameters:
-----------
omega : float or array
Wave frequency (rad/s)
n : float
Density (m^-3)
B : float
Magnetic field (T)
Z : int
Ion charge
A : float
Ion mass number
Returns:
--------
dict with S, D, P, R, L
"""
m_i = A * 1.673e-27
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
omega_pi = np.sqrt(n * Z**2 * e**2 / (epsilon_0 * m_i))
omega_ce = e * B / m_e
omega_ci = Z * e * B / m_i
# Stix parameters (sum over electrons and ions)
S = 1 - omega_pe**2 / (omega**2 - omega_ce**2) - \
omega_pi**2 / (omega**2 - omega_ci**2)
D = omega_ce * omega_pe**2 / (omega * (omega**2 - omega_ce**2)) + \
omega_ci * omega_pi**2 / (omega * (omega**2 - omega_ci**2))
P = 1 - omega_pe**2 / omega**2 - omega_pi**2 / omega**2
R = S + D
L = S - D
return {
'S': S, 'D': D, 'P': P, 'R': R, 'L': L,
'omega_pe': omega_pe, 'omega_pi': omega_pi,
'omega_ce': omega_ce, 'omega_ci': omega_ci
}
# Parameters
B = 2.0 # T
n = 5e19 # m^-3
params = stix_parameters(1, n, B, Z=1, A=2) # Dummy ω for frequencies
f_ce = params['omega_ce'] / (2 * np.pi)
f_ci = params['omega_ci'] / (2 * np.pi)
f_pe = params['omega_pe'] / (2 * np.pi)
print(f"Electron cyclotron frequency: f_ce = {f_ce / 1e9:.2f} GHz")
print(f"Ion cyclotron frequency: f_ci = {f_ci / 1e6:.2f} MHz")
print(f"Electron plasma frequency: f_pe = {f_pe / 1e9:.2f} GHz")
# Frequency scan
f = np.linspace(0.1, 100, 5000) * 1e9 # Hz
omega = 2 * np.pi * f
params = stix_parameters(omega, n, B, Z=1, A=2)
fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# Stix parameters
ax1.plot(f / 1e9, params['S'], 'b-', linewidth=2, label='S')
ax1.plot(f / 1e9, params['P'], 'r-', linewidth=2, label='P')
ax1.axhline(0, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
ax1.axvline(f_ce / 1e9, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
ax1.set_xlabel('Frequency (GHz)', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('Stix Parameter', fontsize=13)
ax1.set_title('S and P Parameters', fontsize=14)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax1.set_xlim([0, 100])
ax1.set_ylim([-5, 5])
ax2.plot(f / 1e9, params['D'], 'g-', linewidth=2)
ax2.axhline(0, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
ax2.axvline(f_ce / 1e9, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5)
ax2.set_xlabel('Frequency (GHz)', fontsize=13)
ax2.set_ylabel('D Parameter', fontsize=13)
ax2.set_title('D Parameter', fontsize=14)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
ax2.set_xlim([0, 100])
# R and L (refractive index squared for parallel propagation)
R_positive = np.where(params['R'] > 0, params['R'], np.nan)
L_positive = np.where(params['L'] > 0, params['L'], np.nan)
ax3.semilogy(f / 1e9, R_positive, 'b-', linewidth=2, label='R (R-wave)')
ax3.semilogy(f / 1e9, L_positive, 'r-', linewidth=2, label='L (L-wave)')
ax3.axvline(f_ce / 1e9, color='b', linestyle=':', alpha=0.5,
label='$f_{ce}$ (R resonance)')
ax3.axvline(f_ci / 1e6 / 1e3, color='r', linestyle=':', alpha=0.5,
label='$f_{ci}$ (L resonance)')
ax3.set_xlabel('Frequency (GHz)', fontsize=13)
ax3.set_ylabel('$n^2$ (R, L modes)', fontsize=13)
ax3.set_title('Parallel Propagation: $n^2 = R, L$', fontsize=14)
ax3.legend(fontsize=10)
ax3.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax3.set_xlim([0, 100])
ax3.set_ylim([0.01, 1000])
# O-mode and X-mode (perpendicular)
n2_O = params['P']
n2_X = params['R'] * params['L'] / params['S']
O_positive = np.where(n2_O > 0, n2_O, np.nan)
X_positive = np.where(n2_X > 0, n2_X, np.nan)
ax4.semilogy(f / 1e9, O_positive, 'b-', linewidth=2, label='O-mode')
ax4.semilogy(f / 1e9, X_positive, 'r-', linewidth=2, label='X-mode')
ax4.axvline(f_pe / 1e9, color='b', linestyle=':', alpha=0.5,
label='$f_{pe}$ (O cutoff)')
ax4.set_xlabel('Frequency (GHz)', fontsize=13)
ax4.set_ylabel('$n^2$ (O, X modes)', fontsize=13)
ax4.set_title('Perpendicular Propagation: O and X modes', fontsize=14)
ax4.legend(fontsize=10)
ax4.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax4.set_xlim([0, 100])
ax4.set_ylim([0.01, 100])
plt.tight_layout()
plt.savefig('stix_dispersion.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
7.3 CMA 다이어그램¶
def cma_diagram():
"""
Generate CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) diagram.
"""
X = np.linspace(0, 3, 500)
Y = np.linspace(0, 2, 500)
XX, YY = np.meshgrid(X, Y)
# Cutoff and resonance curves
# O-mode cutoff: X = 1
# R-wave cutoff: R = 0 → X = 1 - Y (for single species, approx)
# L-wave cutoff: L = 0 → X = 1 + Y
# Upper hybrid resonance: X = 1 - Y²
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
# Define regions based on cutoffs
# (Simplified for electrons only)
# O-mode propagates when X < 1
O_propagate = XX < 1
# R-wave propagates when R > 0 (approx X < 1 - Y for Y << 1)
# More accurately, solve R = 0
R_cutoff_Y = np.linspace(0, 1.5, 100)
R_cutoff_X = 1 - R_cutoff_Y
# L-wave cutoff: X = 1 + Y
L_cutoff_Y = np.linspace(0, 1.5, 100)
L_cutoff_X = 1 + L_cutoff_Y
# Upper hybrid resonance: X = 1 - Y²
UH_res_Y = np.linspace(0, 1.5, 100)
UH_res_X = 1 - UH_res_Y**2
# Plot cutoff/resonance curves
ax.plot([1, 1], [0, 2], 'b-', linewidth=2, label='O-mode cutoff ($X=1$)')
ax.plot(R_cutoff_X, R_cutoff_Y, 'r-', linewidth=2,
label='R-wave cutoff ($X=1-Y$)')
ax.plot(L_cutoff_X, L_cutoff_Y, 'g-', linewidth=2,
label='L-wave cutoff ($X=1+Y$)')
ax.plot(UH_res_X, UH_res_Y, 'm--', linewidth=2,
label='Upper hybrid res ($X=1-Y^2$)')
# Add shaded regions
ax.fill_betweenx([0, 2], 0, 1, alpha=0.1, color='blue', label='O propagates')
ax.fill_between(R_cutoff_X, 0, R_cutoff_Y, alpha=0.1, color='red',
label='R evanescent')
ax.set_xlabel('$X = \\omega_{pe}^2 / \\omega^2$', fontsize=14)
ax.set_ylabel('$Y = \\omega_{ce} / \\omega$', fontsize=14)
ax.set_title('CMA Diagram (Simplified, Electrons Only)', fontsize=15)
ax.legend(fontsize=11, loc='upper right')
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim([0, 3])
ax.set_ylim([0, 2])
# Annotate regions
ax.text(0.5, 0.5, 'All modes\npropagate', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='wheat', alpha=0.5))
ax.text(1.5, 0.3, 'O-mode\nevanescent', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightblue', alpha=0.5))
ax.text(0.3, 1.5, 'R-wave\nevanescent', fontsize=12, ha='center',
bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightcoral', alpha=0.5))
plt.tight_layout()
plt.savefig('cma_diagram.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
cma_diagram()
7.4 휘슬러파 분산¶
def whistler_dispersion(k, omega_pe, omega_ce):
"""
Whistler wave dispersion: ω ≈ k²c²ω_ce/ω_pe².
"""
c = 3e8
# From k²c²ω_ce/ω_pe² = ω, solve for ω
# This is approximate; use quadratic formula
# ω ≈ k²c²ω_ce/ω_pe² for ω << ω_ce
omega = k**2 * c**2 * omega_ce / omega_pe**2
omega = np.minimum(omega, 0.5 * omega_ce) # Limit to whistler range
return omega
# Magnetospheric parameters
n = 1e6 # m^-3 (magnetosphere)
B = 5e-5 # T (Earth's magnetic field at magnetosphere)
omega_pe = np.sqrt(n * e**2 / (epsilon_0 * m_e))
omega_ce = e * B / m_e
f_pe = omega_pe / (2 * np.pi)
f_ce = omega_ce / (2 * np.pi)
print(f"Magnetospheric parameters:")
print(f" f_pe = {f_pe / 1e3:.1f} kHz")
print(f" f_ce = {f_ce / 1e3:.1f} kHz")
# Wavenumber
k = np.linspace(1e-7, 1e-5, 500) # m^-1
omega = whistler_dispersion(k, omega_pe, omega_ce)
f = omega / (2 * np.pi)
# Phase and group velocity
v_phase = omega / k
v_group = 2 * omega / k
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(16, 5))
# Dispersion
ax1.plot(k * 1e6, f / 1e3, 'b-', linewidth=2)
ax1.axhline(f_ce / (2e3), color='r', linestyle='--',
label='$f_{ce}/2$ (upper limit)')
ax1.set_xlabel('Wavenumber $k$ ($\\mu$m$^{-1}$)', fontsize=13)
ax1.set_ylabel('Frequency (kHz)', fontsize=13)
ax1.set_title('Whistler Dispersion: $\\omega \\propto k^2$', fontsize=14)
ax1.legend(fontsize=11)
ax1.grid(True, alpha=0.3)
# Phase velocity
ax2.plot(f / 1e3, v_phase / c, 'b-', linewidth=2)
ax2.set_xlabel('Frequency (kHz)', fontsize=13)
ax2.set_ylabel('$v_\\phi / c$', fontsize=13)
ax2.set_title('Phase Velocity (higher f travels faster)', fontsize=14)
ax2.grid(True, alpha=0.3)
# Group velocity
ax3.plot(f / 1e3, v_group / c, 'r-', linewidth=2)
ax3.set_xlabel('Frequency (kHz)', fontsize=13)
ax3.set_ylabel('$v_g / c$', fontsize=13)
ax3.set_title('Group Velocity: $v_g = 2v_\\phi$', fontsize=14)
ax3.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('whistler_dispersion.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
# Simulate whistler arrival times
print("\nWhistler arrival times from lightning (L = 10,000 km):")
L = 1e7 # m
for f_khz in [1, 2, 5, 10]:
f_val = f_khz * 1e3
idx = np.argmin(np.abs(f / 1e3 - f_khz))
t_arrival = L / v_group[idx]
print(f" {f_khz} kHz: {t_arrival:.2f} s")
요약¶
플라즈마에서 전자기파는 플라즈마 주파수, 사이클로트론 주파수, 파동 주파수의 상호작용에 의해 지배되는 풍부한 동작을 나타냅니다:
무자화 플라즈마: - 분산: $\omega^2 = \omega_{pe}^2 + k^2c^2$ - $\omega_{pe}$에서 차단: $\omega < \omega_{pe}$인 파동은 전파할 수 없음 - 굴절률 $n < 1$: 위상 속도 $> c$, 하지만 군속도 $< c$ - 응용: 전리층 반사, 플라즈마 밀도 진단
자화 플라즈마 (Stix 형식론): - 성분 $S$, $D$, $P$를 가진 유전 텐서 - 비등방성 응답은 다중 파동 모드를 유도 - 원형 편광에 대한 조합 $R = S + D$, $L = S - D$
평행 전파: - R-파 (우원형): $\omega = \omega_{ce}$에서 공명 → ECRH - L-파 (좌원형): $\omega = \omega_{ci}$에서 공명 → ICRH - 휘슬러파 ($\omega_{ci} \ll \omega \ll \omega_{ce}$): 고분산성, $\omega \propto k^2$ - 응용: 자기권 물리학, VLF 통신
수직 전파: - O-모드: $\mathbf{E} \parallel \mathbf{B}$, $\omega_{pe}$에서 차단 - X-모드: $\mathbf{E} \perp \mathbf{B}$, $\omega_R, \omega_L$에서 차단, $\omega_{UH}$에서 공명 - 모드 접근성: X-모드가 O-모드보다 더 높은 밀도에 도달
CMA 다이어그램: - $(X, Y)$ 공간에서 전파 영역 매핑, 여기서 $X = \omega_{pe}^2/\omega^2$, $Y = \omega_{ce}/\omega$ - 차단, 공명, 모드 경계 표시 - 파동 가열 및 진단 설계를 위한 필수 도구
Faraday 회전: - 회전 각도: $\theta \propto \int n_e B_\parallel dl \cdot \omega^{-2}$ - 천체물리학적 플라즈마에서 자기장 측정 - 전류 프로파일 측정을 위한 핵융합 편광계에 사용
이러한 파동 현상은 다음을 가능하게 합니다: - 플라즈마 가열 (ECRH, ICRH, LHCD) - 전류 구동 (비유도 작동) - 진단 (간섭계, 반사계, 편광계) - 통신 (전리층 전파) - 천체물리학 관측 (펄서 RM, AGN 제트)
연습 문제¶
문제 1: 전리층 반사¶
전리층은 $n_e = 10^{12}$ m$^{-3}$의 최대 밀도를 가집니다.
(a) 최대에서 플라즈마 주파수 $f_{pe}$를 계산하십시오.
(b) AM 라디오 방송국이 1 MHz로 방송합니다. 신호가 전리층에서 반사되거나 통과합니까?
(c) 신호가 전리층을 통과하는 최소 주파수는 무엇입니까?
(d) 전리층 밀도는 하루 중 시간에 따라 변합니다. 낮 동안 $n_e$가 10배 증가합니다. 이것이 AM 라디오 전파에 어떻게 영향을 줍니까?
문제 2: ECRH 시스템 설계¶
토카막은 축에서 $B_0 = 3.5$ T를 가집니다. 중심 가열을 위한 ECRH 시스템을 설계하고 있습니다.
(a) 전자 사이클로트론 주파수 $f_{ce}$와 진공에서의 파장을 계산하십시오.
(b) 시스템은 2차 고조파 ($\omega = 2\omega_{ce}$)를 사용할 것입니다. 자이로트론이 생성해야 하는 주파수는 무엇입니까?
(c) 밀도 $n = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$에 대해, $2f_{ce}$에서 O-모드 차단 밀도를 계산하십시오. 파동이 중심에 도달할 수 있습니까?
(d) O-모드가 중심에 도달할 수 없는 경우, X-모드 또는 electron Bernstein wave (EBW)를 대신 사용할 수 있는 방법을 설명하십시오.
문제 3: 휘슬러 전파¶
자기 적도에서의 번개 타격은 필드 선을 따라 반대 반구로 전파하는 광대역 신호를 생성합니다.
(a) $B = 5 \times 10^{-5}$ T, $n = 10^7$ m$^{-3}$에 대해, $f_{ce}$와 $f_{pe}$를 계산하십시오.
(b) 주파수 범위 $f_{ci} \ll f \ll f_{ce}$가 $f \sim 1-10$ kHz에 대해 만족됨을 보이십시오 (수소 이온 가정).
(c) $f = 5$ kHz에서 군속도를 계산하십시오.
(d) 경로 길이가 $L = 10,000$ km인 경우, 5 kHz 성분이 도착하는 데 얼마나 걸립니까? 1 kHz 성분은 어떻습니까? "휘슬링" 소리를 설명하십시오.
문제 4: CMA 다이어그램 영역¶
$f_{pe} = 50$ GHz와 $f_{ce} = 70$ GHz를 가진 플라즈마에 대해, 다음 주파수에서 어떤 모드가 전파할 수 있는지 결정하십시오:
(a) $f = 40$ GHz (X-밴드 레이더)
(b) $f = 75$ GHz (W-밴드)
(c) $f = 120$ GHz (2차 고조파에서 ECRH)
(d) 각 주파수에 대해, $X$와 $Y$를 계산하고, 접근 가능한 모드 (R, L, O, X)를 식별하십시오.
문제 5: Faraday 회전 측정¶
$\lambda = 6$ cm (5 GHz)의 편광파가 $n_e = 10^{18}$ m$^{-3}$, $B_\parallel = 0.1$ T, $L = 1$ m를 가진 플라즈마 슬랩을 통해 전파합니다.
(a) Faraday 회전 각도 $\theta$를 계산하십시오.
(b) 두 파장 ($\lambda_1 = 6$ cm, $\lambda_2 = 3$ cm)에서 측정이 수행되는 경우, 회전 각도의 차이 $\Delta\theta$는 무엇입니까?
(c) $\Delta\theta$로부터 회전 측정 $RM = \theta/\lambda^2$를 유도하십시오.
(d) $RM$만 측정되는 경우 ($n_e$와 $B$가 별도로 측정되지 않음), $B_\parallel$를 결정하기 위해 어떤 추가 측정이 필요합니까?
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