11. 태양 MHD¶

학습 목표¶

이 강의를 마치면 다음을 할 수 있어야 합니다:

태양 구조와 각 층에서 자기장의 역할 설명
자기 플럭스 튜브와 흑점의 물리학 이해
태양 다이나모 메커니즘과 11/22년 태양 주기 설명
코로나 가열 문제 및 제안된 해결책 분석
Parker의 태양풍 모델 유도 및 적용
태양풍 난류 특성화 및 그 성질 파악
태양 현상의 수치 모델 구현 (Parker 태양풍, 플럭스 튜브, 나비 다이어그램)

1. 태양 구조 및 자기장¶

1.1 태양의 층¶

태양은 밀도, 온도, 자기장 강도에서 여러 차수의 크기를 걸쳐 층화된 복잡한 플라즈마 시스템입니다.

내부:

핵(Core) (r < 0.25 R☉):
온도: T ~ 1.5 × 10⁷ K
밀도: ρ ~ 150 g/cm³
핵융합: 4 ¹H → ⁴He + 에너지
에너지 수송: 복사 (광자 확산)
복사층(Radiative zone) (0.25 R☉ < r < 0.7 R☉):
온도: T ~ 10⁷ - 10⁶ K
복사 확산이 지배적
안정적 층화 (대류 없음)
차등 회전 확립
타코클라인(Tachocline) (r ~ 0.7 R☉):
얇은 전단층 (~0.05 R☉)
복사층(강체 회전)에서 대류층(차등 회전)으로의 전이
강한 Ω-효과 발생 위치 (toroidal 장 생성)
태양 다이나모에 중요
대류층(Convection zone) (0.7 R☉ < r < 1.0 R☉):
온도: T ~ 10⁶ - 6000 K
밀도: ρ ~ 1 - 10⁻⁷ g/cm³
대류 에너지 수송 (세포, 초세포)
α-효과 발생원 (나선형 난류)
차등 회전: 적도가 극보다 빠름

대기:

광구(Photosphere) (표면, r ~ R☉):
온도: T ~ 5800 K (가시 표면)
밀도: ρ ~ 10⁻⁷ g/cm³
광학 깊이 τ ~ 1
흑점, 백반, 세포 가시
채층(Chromosphere) (R☉ < r < R☉ + 2000 km):
온도: T ~ 6000 - 20000 K (고도 증가)
밀도: ρ ~ 10⁻⁹ - 10⁻¹¹ g/cm³
방출선 (Hα, Ca II K)
스피큘, 플라주
전이 영역(Transition region) (r ~ R☉ + 2000 km):
급격한 온도 증가: T ~ 10⁴ → 10⁶ K ~100 km 이상
밀도 급격히 감소
코로나(Corona) (r > R☉ + 2000 km):
온도: T ~ 1-3 × 10⁶ K (신비롭게 뜨거움!)
밀도: ρ ~ 10⁻¹² - 10⁻¹⁶ g/cm³
고도로 이온화 (Fe XIV 등)
닫힌 자기 루프와 열린 장선
태양풍 발생원

자기장:

내부 (대류층): B ~ 10-100 G (난류 다이나모)
타코클라인: B ~ 10⁴ G (강한 toroidal 장)
광구 (조용한 태양): B ~ 1-10 G
광구 (흑점): B ~ 3000 G (0.3 T!)
코로나: B ~ 1-10 G (큰 규모로 확장)

1.2 관측 기법¶

자기 사진술(Magnetography):

제만 효과(Zeeman effect): 자기장에서 스펙트럼선 분리
선 분리: Δλ ∝ B (종방향 성분)
원형 편광 (Stokes V): 종방향 장
선형 편광 (Stokes Q, U): 횡방향 장
기기:
SOHO (Solar and Heliospheric Observatory): MDI (Michelson Doppler Imager)
SDO (Solar Dynamics Observatory): HMI (Helioseismic and Magnetic Imager)
- 45초마다 전체 원반 자기 사진
- 벡터 자기장 지도
Hinode: SOT (Solar Optical Telescope) — 고해상도
Daniel K. Inouye Solar Telescope (DKIST): 4m 구경, 최고 해상도

태양 지진학(Helioseismology):

태양 진동 연구 (5분 진동, p-모드, g-모드)
내부 구조 추론: 회전 프로파일, 음속, 자기장 (간접적)
주요 결과: 차등 회전 프로파일을 통한 타코클라인 발견

코로나그래프 및 EUV 영상:

SOHO/LASCO: 백색광 코로나그래프 (코로나 물질 방출)
SDO/AIA: 다중 파장에서 극자외선 영상 (다른 온도)
Hinode/XRT: X선 영상 (뜨거운 코로나 루프)

2. 자기 플럭스 튜브 및 흑점¶

2.1 얇은 플럭스 튜브 근사¶

자기 플럭스 튜브(Magnetic flux tube)는 자기장선의 다발로, 종종 장이 없는 플라즈마에 묻혀 있는 가는 튜브로 근사됩니다.

가정:

튜브 반경 a ≪ L (변화의 길이 척도)
내부 장 B_i는 축 방향, 외부 장 B_e = 0 (또는 약함)
튜브 경계에서 압력 균형

압력 균형:

튜브 내부와 외부에서 총 압력이 균형을 이루어야 합니다:

p_i + B_i² / (2μ₀) = p_e

B_e = 0이면:

p_i = p_e - B_i² / (2μ₀)

p_i < p_e이므로, 내부 기체는 더 차갑거나 밀도가 낮습니다 (이상 기체의 경우, p = ρkT/m).

부력(Buoyancy):

튜브가 층화된 대기에서 정수압 평형 상태인 경우:

dp/dz = -ρg

외부 매질의 경우:

dp_e/dz = -ρ_e g

튜브의 경우:

dp_i/dz = -ρ_i g

빼면:

d/dz(p_i - p_e) = -(ρ_i - ρ_e)g

p_i - p_e = -B_i²/(2μ₀)로:

-d/dz(B_i²/(2μ₀)) = -(ρ_i - ρ_e)g

ρ_i < ρ_e이면 (튜브가 덜 조밀함), 튜브는 부력을 경험합니다:

F_buoy = (ρ_e - ρ_i) g V

이것이 자기 부력 불안정성(Magnetic buoyancy instability)을 구동하여 플럭스 튜브가 대류층을 통해 상승합니다.

2.2 자기 부력 및 플럭스 출현¶

자기 부력 불안정성:

층화된 층의 수평 자기 플럭스 튜브는 다음과 같은 경우 기복에 불안정합니다:

B² / (2μ₀ρ) > c_s² H_p / γ

여기서: - c_s = 음속 - H_p = p/(ρg) = 압력 스케일 높이 - γ = 단열 지수

대류층의 강한 장의 경우, 이 조건이 만족됩니다 → 플럭스 튜브 상승.

상승 역학:

플럭스 튜브의 상승 속도는 부력과 저항의 균형을 이룹니다:

ρ_e (dv_z/dt) = (ρ_e - ρ_i) g - C_D (1/2) ρ_e v_z²

여기서 C_D는 저항 계수입니다.

대류층에서: - 시간 척도: τ_rise ~ H_p / v_z ~ 몇 개월 - 타코클라인에서 생성된 B ~ 10⁴ G를 가진 튜브가 표면으로 상승

광구에서의 출현:

광구에 도달하면, 플럭스 튜브는 양극 활동 영역으로 출현합니다: - 선행 흑점 (한 극성) - 후행 흑점 (반대 극성) - 표면 위의 자기 루프로 연결됨

2.3 흑점¶

구조:

본영(Umbra): 어두운 중앙 영역
온도: T ~ 4000 K (조용한 태양의 5800 K에 비해)
자기장: B ~ 3000 G, 거의 수직
어두움은 억제된 대류 때문 (자기 압력이 운동을 억제)
반영(Penumbra): 방사상 필라멘트가 있는 주변 영역
온도: T ~ 5000 K
자기장: B ~ 1500 G, 기울어짐
에버셰드 흐름(Evershed flow): v ~ 1-2 km/s의 방사상 유출 (기울어진 장을 따라)

흑점 주기:

흑점 수는 ~11년 주기로 변화
태양 활동과 상관 (플레어, CME)
각 주기마다 자기 극성이 반전 → 22년 자기 주기

헤일의 극성 법칙(Hale's polarity law):

주어진 주기에서: - 북반구 선행 흑점: 한 극성 - 남반구 선행 흑점: 반대 극성 - 다음 주기에서 반전

조이의 법칙(Joy's law):

양극 활동 영역은 기울어져 있습니다: - 선행 흑점이 적도에 더 가까움 - 후행 흑점이 극을 향함 - 기울기 각도는 위도에 따라 증가

이 기울기는 Babcock-Leighton 메커니즘에 중요합니다 (다이나모 섹션 참조).

3. 태양 다이나모¶

3.1 관측 제약 조건¶

태양 다이나모는 다음을 설명해야 합니다:

11년 흑점 주기 (22년 자기 주기)
나비 다이어그램(Butterfly diagram): 흑점은 주기 시작 시 중위도(~30°)에 나타나 적도로 이동
헤일의 법칙: 11년마다 극성 반전
극 장 반전: 극 장은 ~11년에 반전, 적도와 동상
차등 회전: 태양 지진학으로부터의 Ω(위도, 반경)
타코클라인: 대류층 기저에서 강한 반경 전단 ∂Ω/∂r

3.2 차등 회전 프로파일¶

태양 지진학(예: GONG, SOHO/MDI, SDO/HMI)으로부터:

표면 (광구):

Ω(θ) ≈ Ω_eq (1 - a₂ cos²θ - a₄ cos⁴θ)

여기서: - Ω_eq ≈ 2π / 25일 (적도 회전) - a₂ ≈ 0.14, a₄ ≈ 0.17 - 극은 적도보다 ~30% 느리게 회전

내부:

복사층 (r < 0.7 R☉): 거의 강체 회전 Ω ~ 상수
대류층: 위도 의존적 회전, 반경선에서 대략 일정 (원통형 회전)
타코클라인 (r ~ 0.7 R☉): 급격한 전이
강한 반경 전단 ∂Ω/∂r
toroidal 장이 증폭되는 곳 (Ω-효과)

3.3 α-Ω 다이나모 메커니즘¶

고전적인 α-Ω 다이나모는 두 단계로 작동합니다:

1. Ω-효과 (Toroidal 장 생성):

차등 회전이 poloidal 장 B_p를 toroidal 장 B_φ로 전단합니다:

∂B_φ/∂t ≈ r sin θ (B_r ∂Ω/∂r + B_θ / r ∂Ω/∂θ)

타코클라인에서 ∂Ω/∂r이 큼 → 강한 증폭:

B_φ ~ B_p × (Ω_cycle × τ_cycle) ~ B_p × (10⁻⁶ rad/s × 10⁸ s) ~ 100 B_p

B_p ~ 10 G에서 시작하여 B_φ ~ 10³-10⁴ G를 생성합니다.

2. α-효과 (Poloidal 장 재생성):

대류층의 나선형 대류 난류가 toroidal → poloidal로 변환합니다:

∂B_p/∂t ≈ ∇ × (α B_φ e_φ)

α의 소스: - 사이클론 대류: 상승/하강 플룸에 작용하는 코리올리 힘 → 나선형 운동 - 운동 나선성(Kinetic helicity): 회전하고 층화된 유체에서 ⟨u·(∇×u)⟩ ≠ 0

피드백 루프:

B_p → (Ω-효과) → B_φ → (α-효과) → B_p'

주기당 증폭이 확산을 초과하면 장이 성장합니다.

3.4 Babcock-Leighton 메커니즘¶

난류 α-효과의 대안:

메커니즘:

타코클라인의 강한 toroidal 장 B_φ가 부력 불안정해짐
플럭스 튜브가 상승하여 기울어진 양극 활동 영역으로 출현 (조이의 법칙)
표면에서 후행 흑점 (극방향)이 선행 흑점과 반대 극성을 가짐
표면 흐름 (자오선 순환, 확산)이 플럭스 수송:
후행 극성 플럭스의 극방향 이동 → 극 장 소멸 및 반전
이것이 toroidal로부터 poloidal 장을 재생성하는 것과 동등

Poloidal 장 소스:

소스 ∝ B_φ × sin(기울기 각도) × (표면 플럭스 수송)

이것은 벌크가 아닌 표면에서 작동하는 비국소적 α-효과입니다.

장점:

직접 관측 가능 (기울기, 출현)
극 장 반전 설명
플럭스 수송 다이나모 모델이 나비 다이어그램을 잘 재현

3.5 플럭스 수송 다이나모¶

현대 태양 다이나모 모델은 다음을 결합합니다:

Ω-효과 타코클라인에서
Babcock-Leighton α-효과 표면에서
자오선 순환(Meridional circulation): 표면에서 극방향, 기저에서 적도방향 (컨베이어 벨트)
속도: v_m ~ 10-20 m/s
주기: τ_m ~ R☉ / v_m ~ 10년 (주기와 비슷!)
난류 확산: 대류층에서, η_t ~ 10^{10-11} cm²/s

주기:

Toroidal 장 B_φ가 타코클라인에서 축적 (Ω-효과)
플럭스 출현 → 중위도의 기울어진 활동 영역
표면 확산 + 자오선 흐름 → 극방향 플럭스 이동, 극 장 반전
자오선 흐름이 극에서 표면 poloidal 장을 아래로 이송
타코클라인에서 poloidal 장이 Ω에 의해 전단됨 → 새로운 toroidal 장 (반대 부호)
주기 반복

주기:

P ~ 2π √(D/α_eff Ω_eff)  또는  P ~ 순환 시간

매개변수 조정 (확산도, 순환 속도)으로 11년 주기를 재현합니다.

3.6 다이나모 포화 및 자기 활동¶

포화:

자기장이 무한정 성장할 수 없음
자기 부력: B_φ ~ 10⁴ G일 때, 튜브가 부력을 가짐 → 상승 및 출현 → 타코클라인에서 플럭스 제거
로렌츠 힘: 강한 장이 흐름을 변경 (전단, α-효과 감소)

주기적 행동:

포화는 정상 다이나모보다는 진동 해로 이어집니다: - Poloidal 및 toroidal 장이 위상차로 진동 - 나비 다이어그램: 다이나모 파동 전파 또는 플럭스 수송으로 인한 적도방향 이동

그랜드 미니마(Grand minima) (마운더 극소기):

매우 낮은 흑점 활동의 역사적 기간 (예: 1645-1715)
가능한 원인:
α-효과의 확률적 변동
자오선 순환의 변화
다이나모 모드 간 전이

확률적 강제가 있는 모델은 불규칙한 주기와 그랜드 미니마를 재현할 수 있습니다.

4. 코로나 가열 문제¶

4.1 문제¶

관측:

광구: T ~ 5800 K
채층: T ~ 10⁴ K
코로나: T ~ 10⁶ K

이것은 순진한 기대를 위배합니다 (온도는 열원으로부터의 거리에 따라 감소해야 함).

에너지 수지:

복사 및 전도 손실에 대해 코로나 온도를 유지하려면:

에너지 입력 ≈ 10² - 10³ W/m² (활동 영역에서)
             ≈ 10-100 W/m² (조용한 태양)

총 코로나 가열 전력: L_corona ~ 10²⁷ erg/s ~ 10²⁰ W (태양 광도 L_☉ ~ 4×10²⁶ W와 비교, 코로나는 ~0.01% L_☉).

가능한 에너지 소스:

광구 운동 (대류, 세포): ~ kW/m² (충분한 에너지!)
질문: 이 에너지가 코로나로 수송되고 열로 소산되는 방법은?

4.2 파동 가열 메커니즘¶

음파:

대류 운동이 음파를 생성
파동이 위로 전파, 충격파로 급해짐 (밀도 감소로 인해)
충격 소산 → 가열

문제: 음파는 대부분 급격한 온도 기울기(채층/전이 영역)에서 반사됨 → 코로나에 도달하는 플럭스 불충분.

알벤 파동(Alfvén waves):

자기장선은 알벤 파동을 지지할 수 있는 현과 같습니다:

v_A = B / √(μ₀ ρ)

코로나에서 B ~ 10 G, ρ ~ 10^{-12} g/cm³ → v_A ~ 1000 km/s.

파동 생성:

광구 운동 (세포)이 자기장선을 흔듦
알벤 파동 여기 (횡방향 진동)
파동이 장선을 따라 코로나로 전파

소산 메커니즘:

위상 혼합(Phase mixing):
다른 장선들이 다른 v_A를 가짐 → 인접한 선의 파동이 위상이 어긋남
횡방향 기울기 생성 → 점성/저항 소산
공명 흡수(Resonant absorption):
층화된 코로나에서 국소 알벤 주파수가 변화
파동이 국소화된 진동에 공명적으로 결합 → 향상된 소산
난류 캐스케이드(Turbulent cascade):
비선형 상호작용 → 에너지가 작은 척도로 캐스케이드
작은 척도에서 저항 또는 점성을 통해 소산

에너지 플럭스:

알벤 파동 에너지 플럭스:

F_A = (1/2) ρ v_A δv²

여기서 δv는 파동 진폭입니다. δv ~ 10 km/s, ρ ~ 10^{-7} g/cm³ (채층), v_A ~ 100 km/s의 경우:

F_A ~ 10³ W/m²  (코로나 가열에 충분!)

관측 지원:

코로나에서 알벤 변동 관측 (CoMP 기기, Parker Solar Probe)
코로나 루프를 따라 전파하는 파동 관찰
가열 요구사항과 일치하는 감쇠 시간 척도

4.3 자기 재결합 및 나노플레어¶

Parker의 나노플레어 가설 (1988):

광구 운동이 코로나 자기장을 지속적으로 얽음
소규모 전류 시트 형성
이러한 시트에서 자기 재결합이 버스트로 에너지 방출 (나노플레어)
많은 작은 사건 (각 E ~ 10²⁴ erg, 대형 플레어의 10^{32} erg에 비해) → 통계적 가열

에너지 방출:

재결합은 자기 에너지를 운동 및 열 에너지로 변환합니다:

에너지 ~ B² / (2μ₀) × 부피

크기 L ~ 100 km, B ~ 10 G의 전류 시트의 경우:

E ~ (10⁻³ T)² / (2×4π×10⁻⁷) × (10⁵ m)³ ~ 10²⁴ erg  (나노플레어)

빈도:

코로나에 10²⁰ W를 공급하려면:

N × E / τ ~ 10²⁰ W
N ~ 10²⁰ W × τ / 10²⁴ erg ~ 10⁶ 사건/s  (τ ~ 100 s인 경우)

과제:

개별 나노플레어는 검출 임계값 이하
통계적 신호를 관측해야 함 (예: 비열 방출, 가열률 분포)

관측 증거:

EUV 밝기가 나노플레어 통계와 일치
활동 영역의 고온 (> 3 MK) 플라즈마는 충동적 가열을 시사
그러나 개별 나노플레어의 직접 관측은 여전히 어려움

4.4 현재 이해¶

두 메커니즘 모두 기여할 가능성이 높습니다:

파동 가열: 조용한 태양, 열린 장 영역 (코로나 홀)에서
알벤 파동이 바깥쪽으로 전파, 소산
느리고 빠른 태양풍 가속과 관련
재결합/나노플레어: 활동 영역, 닫힌 루프에서
복잡한 자기 구조에서 꼬임 및 재결합
고온 방출 설명

진행 중인 연구:

고해상도 관측 (DKIST, Solar Orbiter, Parker Solar Probe)
현실적인 코로나 자기장의 MHD 시뮬레이션
파동 전파 및 소산 모델링
소규모 재결합 사건의 통계

5. 태양풍¶

5.1 Parker의 태양풍 모델 (1958)¶

Eugene Parker는 코로나가 정수압 평형에 있지 않고 대신 성간 공간으로 초음속 팽창한다고 제안했습니다.

가정:

정상, 구대칭, 반경 흐름
등온 코로나: T = T_c = 상수 (단순화)
이상 기체: p = ρkT/m
에너지 방정식: 가열/냉각 무시 (또는 균형 가정)

방정식:

질량 보존:

d/dr (ρ v r²) = 0  →  ρ v r² = 상수 = Ṁ/(4π)

여기서 Ṁ는 질량 손실률입니다.

운동량 방정식:

ρ v dv/dr = -dp/dr - GMρ/r²

이상 기체:

p = ρ c_s²

여기서 c_s² = kT/m는 음속 제곱입니다.

결합:

ρ = Ṁ/(4πr²v) 및 p = (Ṁ/(4πr²v)) c_s²를 대입:

v dv/dr = -c_s² (1/v dv/dr + 2/r) - GM/r²

재정리:

(v² - c_s²) (1/v dv/dr) = -(2c_s²/r + GM/r²)

임계점:

r = r_c에서 v = c_s (음속점), 우변이 사라져야 합니다:

2c_s²/r_c + GM/r_c² = 0  →  r_c = GM/(2c_s²)

T_c = 10⁶ K인 태양의 경우, c_s ~ 100 km/s:

r_c ~ (6.67×10⁻¹¹ × 2×10³⁰) / (2 × (10⁵)²) ~ 7×10⁹ m ~ 10 R☉

해:

천이음속 해는 임계점을 통과합니다: - r < r_c에서 아음속 (태양 근처) - r = r_c에서 음속 - r > r_c에서 초음속 (성간 공간)

지구 궤도 (1 AU ~ 215 R☉)에서: - 속도: v ~ 400 km/s - 밀도: n ~ 5 cm⁻³ - 온도: T ~ 10⁵ K

이것들은 관측과 일치 → Parker의 모델 확인!

5.2 비등온 모델¶

등온 모델의 문제:

에너지 보존이 만족되지 않음 (T = 상수를 유지하려면 지속적인 가열 필요).

다변 모델(Polytropic model):

p ∝ ρ^γ 가정:

p = K ρ^γ

여기서 γ는 다변 지수입니다 (γ=1 등온, γ=5/3 단열).

γ < 3/2의 경우, 천이음속 해가 존재합니다.

에너지 방정식:

더 현실적인 모델은 다음을 포함합니다: - 열 전도: q = -κ dT/dr - 복사 냉각 - 코로나 가열 (임의 함수 또는 파동 소산) - 중력 일

전체 에너지 방정식:

d/dr (r² ρ v [v²/2 + γ/(γ-1) p/ρ - GM/r]) = r² (Q_heat - Q_cool + Q_cond)

수치 해는 다음을 찾습니다: - r ~ 1-2 R☉ 근처 온도 피크, 그 다음 감소 - 종단 속도는 코로나 온도 및 가열 프로파일에 의존

5.3 빠른 태양풍과 느린 태양풍¶

관측 (Ulysses, Helios, Wind, ACE, Parker Solar Probe):

두 가지 유형의 태양풍:

느린 태양풍: - 속도: v ~ 300-400 km/s - 밀도: 1 AU에서 n ~ 10 cm⁻³ - 온도: T ~ 10⁵ K - 조성: 광구와 유사하지만 낮은 FIP 원소가 풍부 - 소스: 태양 적도 근처 스트리머 벨트 (닫힌 장 영역)

빠른 태양풍: - 속도: v ~ 700-800 km/s - 밀도: 1 AU에서 n ~ 3 cm⁻³ - 온도: T ~ 2×10⁵ K - 조성: 광구에 더 가까움 - 소스: 코로나 홀 (극의 열린 장 영역)

가속 메커니즘:

느린 바람: 스트리머 상단의 재결합, 또는 복잡한 장의 파동에서 가능
빠른 바람: 알벤 파동 압력 (파동 에너지 밀도가 유효 압력으로 작용)

알벤 파동 구동 모델:

파동 압력 기울기가 바람을 가속합니다:

F_wave ~ -d/dr (B δB / μ₀)

여기서 δB는 파동 진폭입니다. 이것은 관측된 속도로 빠른 바람을 구동할 수 있습니다.

5.4 태양풍 난류¶

관측:

자기장 및 속도 변동이 매우 난류적
전력 스펙트럼: MHD 척도에서 E(f) ∝ f^{-5/3} (콜모고로프 유사)
운동 척도 (이온 자이로 반경, 관성 길이)에서 급해짐

특성:

알벤 상관관계: δv ~ ±δB/√(μ₀ρ) (바깥쪽/안쪽 전파 알벤 파동)
비등방성: 변동이 평균 장에 수직으로 우선적
간헐성: 비가우스 통계, 일관된 구조 (전류 시트, 플럭스 로프)

에너지 캐스케이드:

큰 척도에서 주입 (1 AU에서 > 10⁶ km)
관성 범위: E(k) ∝ k^{-5/3} (또는 k^{-3/2} Iroshnikov-Kraichnan)
k ρ_i ~ 1 (이온 자이로 척도) 또는 k λ_i ~ 1 (이온 관성 길이)에서 소산

가열:

난류 소산이 태양풍을 가열합니다: - 양성자 온도가 단열보다 느리게 감소 (T ∝ r^{-α}, α ~ 0.5 대 단열 α ~ 4/3) - 수직 이온 가열 (온도 비등방성) - 작은 척도에서 전자 가열

시사점:

태양풍은 무충돌 플라즈마 난류의 자연 실험실
천체물리 플라즈마와 관련 (ISM, 은하단, 강착 흐름)

6. Python 구현¶

6.1 Parker 태양풍 해¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import fsolve

def parker_solar_wind():
    """
    Parker의 등온 태양풍 모델을 풉니다.

    방정식:
      질량: ρ v r² = 상수
      운동량: v dv/dr = -c_s²/ρ dρ/dr - GM/r²

    결합:
      (v² - c_s²) (1/v dv/dr) = -(2c_s²/r + GM/r²)
    """
    # 상수
    G = 6.674e-11      # m^3 kg^-1 s^-2
    M_sun = 1.989e30   # kg
    R_sun = 6.96e8     # m
    k_B = 1.38e-23     # J/K
    m_p = 1.67e-27     # kg (양성자 질량)

    # 코로나 온도
    T_corona = 1.5e6   # K
    c_s = np.sqrt(k_B * T_corona / m_p)  # 음속

    # 임계 반경
    r_c = G * M_sun / (2 * c_s**2)

    print(f"음속: {c_s/1e3:.1f} km/s")
    print(f"임계 반경: {r_c/R_sun:.2f} R_sun")

    # 반경 격자
    r = np.logspace(np.log10(R_sun), np.log10(215*R_sun), 1000)  # 1 R_sun에서 1 AU

    # ODE 정의: dv/dr
    def dv_dr(v, r):
        numerator = -(2*c_s**2 / r + G*M_sun / r**2)
        denominator = (v**2 - c_s**2) / v
        if abs(denominator) < 1e-10:
            return 0  # 임계점 근처
        return numerator / denominator

    # 임계점 해 찾기
    # r_c를 약간 지나서 약간 초음속으로 시작
    r_start_idx = np.argmin(np.abs(r - r_c * 1.01))
    r_start = r[r_start_idx]
    v_start = c_s * 1.01

    # r_c에서 바깥쪽으로 적분
    r_out = r[r_start_idx:]
    v_out = odeint(dv_dr, v_start, r_out).flatten()

    # r_c에서 안쪽으로 적분
    r_in = r[:r_start_idx+1][::-1]
    v_in_rev = odeint(dv_dr, c_s * 0.99, r_in).flatten()
    v_in = v_in_rev[::-1]

    # 결합
    r_sol = np.concatenate([r_in[:-1], r_out])
    v_sol = np.concatenate([v_in[:-1], v_out])

    # 질량 보존으로부터 밀도
    # ρ v r² = ρ_c c_s r_c²
    rho_c = 1e-12  # kg/m^3 (임의 정규화)
    rho_sol = rho_c * c_s * r_c**2 / (v_sol * r_sol**2)

    # 수밀도
    n_sol = rho_sol / m_p  # m^-3

    # 플롯
    fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3, 1, figsize=(10, 12))

    # 속도
    ax1.plot(r_sol/R_sun, v_sol/1e3, 'b-', linewidth=2)
    ax1.axhline(c_s/1e3, color='r', linestyle='--', label='음속')
    ax1.axvline(r_c/R_sun, color='g', linestyle='--', label='임계 반경')
    ax1.axvline(215, color='orange', linestyle='--', label='1 AU')
    ax1.set_xlabel('반경 ($R_\\odot$)', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('속도 (km/s)', fontsize=12)
    ax1.set_title('Parker 태양풍: 속도 프로파일', fontsize=14)
    ax1.set_xscale('log')
    ax1.legend()
    ax1.grid(True, alpha=0.3)

    # 밀도
    ax2.semilogy(r_sol/R_sun, n_sol/1e6, 'b-', linewidth=2)  # cm^-3
    ax2.axvline(r_c/R_sun, color='g', linestyle='--')
    ax2.axvline(215, color='orange', linestyle='--')
    ax2.set_xlabel('반경 ($R_\\odot$)', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('수밀도 (cm$^{-3}$)', fontsize=12)
    ax2.set_title('Parker 태양풍: 밀도 프로파일', fontsize=14)
    ax2.set_xscale('log')
    ax2.grid(True, alpha=0.3)

    # 마하 수
    M = v_sol / c_s
    ax3.plot(r_sol/R_sun, M, 'b-', linewidth=2)
    ax3.axhline(1, color='r', linestyle='--', label='M = 1')
    ax3.axvline(r_c/R_sun, color='g', linestyle='--')
    ax3.axvline(215, color='orange', linestyle='--')
    ax3.set_xlabel('반경 ($R_\\odot$)', fontsize=12)
    ax3.set_ylabel('마하 수', fontsize=12)
    ax3.set_title('Parker 태양풍: 마하 수', fontsize=14)
    ax3.set_xscale('log')
    ax3.legend()
    ax3.grid(True, alpha=0.3)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('parker_solar_wind.png', dpi=150)
    plt.show()

    # 1 AU에서의 값 출력
    idx_1AU = np.argmin(np.abs(r_sol - 215*R_sun))
    print(f"\n1 AU에서:")
    print(f"  속도: {v_sol[idx_1AU]/1e3:.1f} km/s")
    print(f"  밀도: {n_sol[idx_1AU]/1e6:.2f} cm^-3")
    print(f"  마하 수: {M[idx_1AU]:.2f}")

parker_solar_wind()

6.2 플럭스 튜브 상승 계산¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def flux_tube_rise():
    """
    태양 대류층을 통한 자기 플럭스 튜브의 상승을 계산합니다.

    부력 방정식:
      dv_z/dt = (Δρ/ρ_e) g - C_D v_z² / (2H_p)

    여기서 Δρ = ρ_e - ρ_i (밀도 결핍).
    """
    # 태양 매개변수
    g = 274  # m/s^2 (표면 중력)
    R_sun = 6.96e8  # m
    M_sun = 1.989e30  # kg

    # 대류층
    r_bottom = 0.7 * R_sun  # 기저 (타코클라인)
    r_top = R_sun           # 광구

    # 층화 (단순화된 지수)
    H_p = 5e7  # 압력 스케일 높이 ~ 50 Mm
    rho_0 = 1e-1  # kg/m^3 (r_bottom에서, 근사)

    def rho_ext(r):
        """외부 밀도 (층화된 대기)."""
        return rho_0 * np.exp(-(r - r_bottom) / H_p)

    # 자기장 강도
    B = 3e4 * 1e-4  # Tesla로 30 kG

    # 내부 밀도: 압력 균형
    # p_i + B²/(2μ₀) = p_e
    # 등온 가정: p = ρ c_s²
    c_s = 1e4  # m/s (음속)
    mu_0 = 4*np.pi*1e-7

    def rho_int(rho_e, B):
        """압력 균형으로부터 내부 밀도."""
        p_e = rho_e * c_s**2
        p_i = p_e - B**2 / (2*mu_0)
        return p_i / c_s**2

    # 저항 계수
    C_D = 0.5

    # 시간 진화
    dt = 100  # 초
    t_max = 1e7  # 초 (~100일)
    Nt = int(t_max / dt)

    # 배열
    t = np.zeros(Nt)
    z = np.zeros(Nt)  # r_bottom 위의 높이
    v_z = np.zeros(Nt)

    # 초기 조건
    z[0] = 1e6  # 타코클라인 위 1 Mm에서 시작
    v_z[0] = 0

    # 적분
    for n in range(Nt - 1):
        r = r_bottom + z[n]
        rho_e = rho_ext(r)
        rho_i = rho_int(rho_e, B)

        Delta_rho = rho_e - rho_i

        # 부력 가속도
        a_buoy = (Delta_rho / rho_e) * g

        # 저항
        a_drag = -C_D * v_z[n]**2 / (2 * H_p)

        # 속도 업데이트
        dv_dt = a_buoy + a_drag
        v_z[n+1] = v_z[n] + dt * dv_dt

        # 위치 업데이트
        z[n+1] = z[n] + dt * v_z[n+1]

        # 시간 저장
        t[n+1] = t[n] + dt

        # 표면 도달 시 중지
        if z[n+1] >= (r_top - r_bottom):
            z = z[:n+2]
            v_z = v_z[:n+2]
            t = t[:n+2]
            break

    # Mm 및 일로 변환
    z_Mm = z / 1e6
    t_days = t / 86400
    v_km_s = v_z / 1e3

    # 플롯
    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 10))

    ax1.plot(t_days, z_Mm, 'b-', linewidth=2)
    ax1.axhline((r_top - r_bottom)/1e6, color='r', linestyle='--', label='광구')
    ax1.set_xlabel('시간 (일)', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel('타코클라인 위 높이 (Mm)', fontsize=12)
    ax1.set_title('플럭스 튜브 상승: 높이 대 시간', fontsize=14)
    ax1.legend()
    ax1.grid(True)

    ax2.plot(t_days, v_km_s, 'b-', linewidth=2)
    ax2.set_xlabel('시간 (일)', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel('상승 속도 (km/s)', fontsize=12)
    ax2.set_title('플럭스 튜브 상승: 속도 대 시간', fontsize=14)
    ax2.grid(True)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('flux_tube_rise.png', dpi=150)
    plt.show()

    print(f"광구까지 상승 시간: {t_days[-1]:.1f} 일")
    print(f"최종 속도: {v_km_s[-1]:.2f} km/s")

flux_tube_rise()

6.3 합성 데이터로부터의 나비 다이어그램¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def butterfly_diagram_synthetic():
    """
    합성 태양 나비 다이어그램을 생성합니다.

    모델:
      - 흑점 위도: λ(t) = λ_max cos(2π t / P) exp(-t / τ_decay)
      - 주기에 따른 적도방향 이동
    """
    # 매개변수
    P = 11  # 년 (주기)
    N_cycles = 3

    # 시간 배열
    t = np.linspace(0, N_cycles * P, 1000)

    # 나비 패턴 생성
    # 흑점 출현 위도
    lambda_max = 35  # 도 (최대 위도)
    tau_decay = P / 2  # 감쇠 시간 척도

    # 각 주기에 대해
    latitudes_N = []
    latitudes_S = []
    times = []

    for cycle in range(N_cycles):
        t_cycle = t[(t >= cycle*P) & (t < (cycle+1)*P)] - cycle*P

        # 위도가 주기 동안 λ_max에서 ~5°로 감소
        lambda_t = lambda_max * (1 - t_cycle / P) + 5

        # 산란 추가
        N_spots = 200
        t_spots = np.random.uniform(0, P, N_spots)
        lambda_spots = lambda_max * (1 - t_spots / P) + 5 + np.random.normal(0, 3, N_spots)

        # 극성이 각 주기마다 반전
        if cycle % 2 == 0:
            latitudes_N.extend(lambda_spots)
            latitudes_S.extend(-lambda_spots)
        else:
            latitudes_N.extend(-lambda_spots)
            latitudes_S.extend(lambda_spots)

        times.extend(t_spots + cycle * P)

    # 결합
    latitudes = np.concatenate([latitudes_N, latitudes_S])
    times_all = np.concatenate([times, times])

    # 플롯
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.scatter(times_all, latitudes, s=1, c='k', alpha=0.5)
    plt.axhline(0, color='r', linestyle='--', linewidth=0.5)
    for cycle in range(N_cycles + 1):
        plt.axvline(cycle * P, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)

    plt.xlabel('시간 (년)', fontsize=14)
    plt.ylabel('위도 (도)', fontsize=14)
    plt.title('합성 태양 나비 다이어그램', fontsize=16)
    plt.ylim(-40, 40)
    plt.grid(True, alpha=0.3)
    plt.savefig('butterfly_diagram_synthetic.png', dpi=150)
    plt.show()

butterfly_diagram_synthetic()

7. 요약¶

태양 MHD는 자기장에 의해 구동되는 다양한 현상을 포함합니다:

태양 구조:
대류층 (다이나모), 타코클라인 (toroidal 장 생성), 코로나 (신비롭게 뜨거움)
자기장은 ~1 G (조용한 태양)에서 ~3000 G (흑점)까지 범위
자기 플럭스 튜브 및 흑점:
얇은 플럭스 튜브: 압력 균형 p_i + B²/(2μ₀) = p_e
자기 부력: 밀도가 낮은 튜브가 대류층을 통해 상승
흑점: 강한 수직 장의 집중, 대류 억제 → 더 차갑고 어두움
태양 다이나모:
α-Ω 메커니즘: 차등 회전 (Ω) + 나선형 난류 (α) → 주기적 장 생성
Babcock-Leighton: 기울어진 양극 영역으로부터의 표면 poloidal 소스
플럭스 수송 다이나모: 자오선 순환이 핵심 역할
11년 주기: 나비 다이어그램 (적도방향 이동), 극 장 반전
코로나 가열:
문제: 코로나가 ~10⁶ K, 광구보다 훨씬 위
파동 가열: 알벤 파동 (위상 혼합, 공명 흡수, 난류)
나노플레어: 많은 작은 재결합 사건 (Parker의 가설)
두 가지 모두의 조합 가능성
태양풍:
Parker 모델: 뜨거운 코로나로부터의 천이음속 팽창
임계점: r_c ~ 10 R☉, 흐름이 초음속이 됨
빠른 바람: 코로나 홀로부터 (~700 km/s)
느린 바람: 스트리머 벨트로부터 (~400 km/s)
난류: 알벤 변동, 캐스케이드, 가열

태양은 MHD 과정을 연구하는 자연 실험실로, 다른 별, 강착 원반, 행성 자기권에 응용됩니다.

연습 문제¶

압력 균형: 흑점이 B = 3000 G를 가집니다. 외부 기체 압력이 p_e = 10⁴ Pa인 경우, 내부 기체 압력 p_i는 얼마입니까?
자기 부력: ρ_e = 0.1 g/cm³, c_s = 10 km/s인 대류층에서 B = 10 kG를 가진 플럭스 튜브의 경우, 등온 압력 균형을 가정하여 밀도 결핍 Δρ = ρ_e - ρ_i를 계산하세요.
상승 시간: 문제 2의 밀도 결핍과 g = 274 m/s²를 사용하여 부력 가속도를 추정하세요. 종단 속도에 도달하면 200 Mm (대류층의 두께)를 상승하는 데 얼마나 걸립니까?
태양 다이나모 수: α = 0.1 m/s, ΔΩ = 10⁻⁶ rad/s, R = 5×10⁸ m, η_eff = 10¹⁰ cm²/s에 대해 D_αΩ를 계산하세요.
코로나의 알벤 속도: B = 5 G, n = 10⁸ cm⁻³ (양성자)에 대해 알벤 속도를 km/s로 계산하세요.
임계 반경: 코로나 온도 T = 2×10⁶ K에 대해 임계 반경 r_c를 R☉ 단위로 계산하세요.
1 AU에서의 태양풍: T = 1.5×10⁶ K인 Parker 모델을 사용하여 1 AU (215 R☉)에서의 속도를 추정하세요. 관측된 ~400 km/s와 비교하세요.
나노플레어 에너지: 크기 L = 100 km, B = 10 G인 전류 시트가 재결합합니다. erg 단위로 방출되는 에너지를 추정하세요.
Python 연습: Parker 태양풍 코드를 등온 대신 다변 관계 p ∝ ρ^{1.2}를 포함하도록 수정하세요. 종단 속도가 어떻게 변합니까?
심화: 타코클라인의 Ω-효과와 표면의 Babcock-Leighton α-효과를 가진 간단한 1D 플럭스 수송 다이나모 모델을 구현하세요. 자오선 순환과 확산을 포함하세요. 나비 다이어그램을 재현하세요.

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