10. 난류 Dynamo¶

학습 목표¶

이 레슨을 마치면 다음을 할 수 있어야 합니다:

소규모(변동) 및 대규모(평균장) 난류 dynamos 구별하기
Kazantsev 이론과 난류에서 자기장의 kinematic 성장 이해하기
Dynamo 작용에서 자기 Prandtl 수(Pm)의 역할 설명하기
자기 helicity 보존과 대규모 dynamo 성장에 대한 제약 분석하기
포화 메커니즘과 kinematic에서 dynamic 영역으로의 전환 설명하기
MHD 난류를 위한 수치 시뮬레이션 접근법(DNS, LES) 이해하기
소규모 dynamo 성장과 helicity 진화 모델 구현하기

1. 난류 Dynamos 소개¶

1.1 난류 구동 자기장 생성¶

많은 천체물리학 환경—항성 내부, 강착 원반, 성간 매질, 은하단—에서 흐름은 고도로 난류입니다. 난류 dynamos는 층류 dynamos와 몇 가지 핵심 방식에서 다릅니다:

광범위한 스케일 스펙트럼: 난류는 에너지 주입 스케일 L부터 소산 스케일(Kolmogorov 스케일 η_K 또는 저항 스케일 η_R)까지 광범위한 길이 스케일에 걸친 운동을 포함합니다.
확률론적 특성: 난류 흐름은 혼돈적이고 시간 의존적이어서 통계적 설명이 필요합니다.
다중 dynamo 메커니즘: 소규모 dynamo(변동 장)와 대규모 dynamo(평균 장) 모두 동시에 작동할 수 있습니다.

핵심 질문: - Dynamo 시작을 위한 임계 자기 Reynolds 수 Rm_c는 무엇인가? - 자기장은 어떻게 포화되는가? - 자기장의 구조는 무엇인가(간헐적, 필라멘트형, 평활)? - 자기 에너지 스펙트럼 E_B(k)는 운동 에너지 스펙트럼 E_K(k)와 어떻게 비교되는가?

1.2 소규모 대 대규모 Dynamos¶

소규모(변동) dynamo: - 난류 강제 스케일과 비슷하거나 더 작은 스케일에서 자기장 증폭 - 난류 연신과 접기에 의해 구동 - Helicity나 대규모 전단 불필요 - 얽힌, 간헐적 자기 구조 생성 - 관련성: ISM, 은하단, 초기 우주

대규모(평균장) dynamo: - 난류 강제 스케일보다 큰 스케일에서 자기장 생성 - Helicity(예: 회전과 성층으로부터) 또는 대규모 전단 필요 - 결맞는, 조직화된 장 생성(예: 은하 나선, 태양 쌍극) - 자기 helicity 보존에 의해 제약 - 관련성: 은하, 항성, 행성

둘 다 동시에 작동할 수 있지만, 대규모 dynamo가 더 제약되고 느립니다.

2. 소규모 Dynamo 이론¶

2.1 Kazantsev 이론 (1968)¶

Kazantsev는 무작위, 짧은 상관(시간에서) 속도장에서 자기장의 kinematic 성장에 대한 통계 이론을 개발했습니다.

가정: - 속도장 v(x,t)는 Gaussian 무작위장 - 상관 시간 τ_c ≪ τ_η = ℓ²/η (짧은 상관, 또는 시간에서 델타 상관) - 속도 상관 함수:

⟨v_i(x,t) v_j(x',t')⟩ = δ(t - t') K_{ij}(x - x')

등방성, 균질 난류

유도 방정식:

∂B/∂t = ∇×(v×B) + η∇²B

Kinematic 영역에서, v는 주어진 것입니다.

자기장 상관자:

2점 자기 상관 텐서를 정의:

M_{ij}(r,t) = ⟨B_i(x,t) B_j(x+r,t)⟩

등방성 난류에서, M_{ij}는 |r|에만 의존하며 다음으로 분해할 수 있습니다:

M_{ij}(r,t) = M_N(r,t) (δ_{ij} - r_i r_j / r²) + M_L(r,t) r_i r_j / r²

여기서 M_N과 M_L은 횡방향 및 종방향 상관 함수입니다.

Kazantsev 방정식:

스칼라 상관 함수 M(r,t) = ⟨B(x,t)·B(x+r,t)⟩에 대해, Kazantsev는 r-공간에서 확산형 방정식을 유도했습니다(델타 상관 속도의 경우):

∂M/∂t = (1/r^{d-1}) ∂/∂r [r^{d-1} (D(r) ∂M/∂r - v(r) M)]

여기서: - d는 공간 차원(보통 d=3) - D(r)는 r-공간의 확산 계수, 속도 상관과 관련 - v(r)는 drift 항

짧은 상관 시간과 r → 0 한계에서:

D(r) ≈ D₀ r²
v(r) ≈ v₀ r

여기서 D₀와 v₀는 속도 스펙트럼에 의존하는 상수입니다.

지수 성장:

해 M(r,t) ~ exp(γt) m(r)를 구합니다. r ≪ η_K(작은 스케일)의 경우, 해는:

γ ~ (u_rms / ℓ) × (Rm / Rm_c)^{1/2}   for Rm > Rm_c

여기서: - ℓ은 난류 상관 스케일 - u_rms는 RMS 속도 - Rm = u_rms ℓ / η - Rm_c는 임계 자기 Reynolds 수(일반적으로 Rm_c ~ 50-200)

자기 에너지 스펙트럼:

Kinematic 성장 단계에서, 작은 스케일의 자기 에너지 스펙트럼은:

E_B(k) ∝ k^{3/2}   (Kazantsev spectrum)

이것은 Kolmogorov 운동 스펙트럼 E_K(k) ∝ k^{-5/3}보다 더 가파르며, 자기 에너지가 작은 스케일에 집중됨(간헐적 구조)을 나타냅니다.

2.2 임계 자기 Reynolds 수¶

소규모 dynamo 시작은 다음을 요구합니다:

Rm > Rm_c

Pm에 대한 의존성:

임계 Rm_c는 자기 Prandtl 수에 의존합니다:

Pm = ν / η

여기서: - ν는 운동 점성계수 - η는 자기 확산도

수치 시뮬레이션(예: Schekochihin et al., 2004; Brandenburg & Subramanian, 2005)은 다음을 발견합니다:

높은 Pm 영역(Pm ≫ 1): Rm_c ~ 100 (Pm에 약하게 의존)
점성 차단이 저항 차단 아래: η_K ≪ η_R
Dynamo가 η_K와 η_R 사이의 스케일에서 작동
낮은 Pm 영역(Pm ≪ 1): Pm이 감소함에 따라 Rm_c 증가
저항 차단이 점성 차단 아래: η_R ≪ η_K
Dynamo가 작은 스케일에서 저항 확산에 의해 억제됨
확산을 극복하기 위해 속도장에 더 많은 파워 필요
Pm ~ 1: Rm_c ~ 50-100

천체물리학적 관련성: - 항성: Pm ~ 10^{-5} - 10^{-7} (매우 작음, 시뮬레이션 어려움) - ISM, 은하단: Pm ≫ 1 (dynamo 더 쉬움) - 실험실 플라즈마: Pm ~ 10^{-6} (도전적)

2.3 연신 메커니즘¶

소규모 dynamo의 근본적 구동력은 난류 변형률에 의한 자기력선의 연신입니다.

변형률 텐서:

S_{ij} = (1/2)(∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i)

자기장 연신:

B와 정렬된 자기력선 요소 δℓ의 진화는 다음을 따릅니다:

d(ln|δℓ|)/dt = S_{ij} (δℓ_i δℓ_j) / |δℓ|²

양의 Lyapunov 지수 λ > 0를 가진 혼돈 흐름의 경우, 선 요소가 지수적으로 연신됩니다:

|δℓ(t)| ~ exp(λt)

자기장 강도가 B ~ B₀ (|δℓ| / |δℓ₀|) (flux freezing)로 스케일링되므로:

B(t) ~ B₀ exp(λt)

이것이 소규모 dynamo의 kinematic 성장입니다.

Anti-dynamo 제약:

그러나 연신만으로는 충분하지 않습니다. 장선이 흐름과 정렬될 수도 있어(S_{ij}의 주 고유벡터를 따라), 포화 또는 억제로 이어집니다. Dynamo는 다음을 요구합니다:

지속적인 연신: 흐름이 지속적으로 새로운 장 방향을 생성해야 함
접기: 재연결 또는 위상 재배열이 한 방향으로의 무한정 연신을 방지

2.4 포화와 비선형 영역¶

Kinematic 영역에서, 자기장은 지수적으로 성장합니다:

B²(t) ~ B₀² exp(2γt)

결국, Lorentz 힘이 중요해집니다:

J × B / (ρv·∇v) ~ B² / (μ₀ρv²) ~ 1

이것이 비선형(dynamic) 영역으로의 전환을 표시합니다.

포화 수준:

차원 분석은 다음을 시사합니다:

B_sat² / (2μ₀) ~ ε_B × (1/2) ρ v²

여기서 ε_B는 포화에서의 자기-운동 에너지 비입니다.

시뮬레이션은 다음을 발견합니다: - 높은 Pm: ε_B ~ 0.1 - 1 (거의 동등분배) - 낮은 Pm: ε_B ≪ 1 (동등분배 이하, 작은 스케일이 점성에 의해 억제되기 때문)

장 구조:

포화에서: - 자기장이 고도로 간헐적(시트, 필라멘트에 집중) - 자기 Reynolds 응력 B_iB_j / μ₀가 속도에 역반응 - 작은 스케일에서 난류 운동 에너지의 효과적 감소 - 자기 에너지 스펙트럼 평탄화: E_B(k) ~ k^{-1} to k^{-3/2} (Kazantsev보다 덜 가파름)

3. 난류에서의 대규모 Dynamo¶

3.1 자기 Helicity의 역 캐스케이드¶

소규모 dynamo가 작은 스케일에서 장을 증폭하는 반면, 대규모 dynamo는 강제보다 큰 스케일에서 결맞는 장을 생성합니다.

핵심 개념: 자기 helicity는 보존량(이상 MHD에서)으로 작용하여 제약을 제공합니다.

자기 helicity:

H_B = ∫ A·B dV

여기서 B = ∇×A입니다.

Helicity 보존:

이상 MHD(η → 0)에서, helicity는 보존됩니다:

dH_B/dt = 0   (ideal MHD)

유한 저항도에서:

dH_B/dt = -2η ∫ J·B dV ≈ -2η/ℓ² H_B

따라서 helicity는 저항 시간 척도 τ_η = ℓ²/η에서 붕괴합니다.

역 캐스케이드:

3D MHD 난류에서, 자기 helicity는 대규모로 캐스케이드되는 경향이 있고(역 캐스케이드), 자기 에너지는 작은 스케일로 캐스케이드됩니다(순방향 캐스케이드).

Dynamo에 대한 함의:

소규모 dynamo가 소규모 helicity를 가진 소규모 자기장을 생성
자기 helicity 역 캐스케이드 → 대규모 helicity 축적
대규모 helicity → 결맞는 대규모 자기장

이 메커니즘은 평균장 언어에서 때때로 α²-dynamo라고 불립니다.

3.2 대규모 Dynamo에 대한 Helicity 제약¶

문제: 닫힌(주기적 또는 제한된) 시스템에서, 총 자기 helicity가 보존됩니다. 대규모 장이 성장함에 따라, 대규모 helicity를 축적합니다. 총 helicity를 보존하기 위해, 소규모 helicity가 반대 부호로 성장해야 합니다. 이 소규모 helicity는 재앙적 quenching을 통해 α-효과를 억제합니다.

재앙적 α-quenching 재고:

평균장 이론에서, α-효과는 대규모 장에 의해 quench됩니다:

α(B) = α₀ / (1 + Rm (B/B_eq)²)

높은 Rm에서, 이것은 α ~ α₀/Rm → 0로 이어져 dynamo를 차단합니다.

해결책: Helicity 플럭스

경계가 열려 있으면(예: 항성 표면, 은하 헤일로), 자기 helicity가 경계를 통해 탈출할 수 있습니다:

dH_B/dt = -2η ∫ J·B dV - ∫ (E × A)·dS

여기서 표면 적분은 부피 밖으로의 helicity 플럭스를 나타냅니다.

Helicity 플럭스가 있으면, 제약이 완화됩니다: - 소규모 helicity가 방출됨 - 대규모 장이 재앙적 quenching 없이 성장 가능 - 포화는 helicity 생성 ~ helicity 플럭스 + 저항 소산일 때 발생

천체물리학적 응용: - 태양 dynamo: 태양풍과 코로나 질량 방출에 의해 운반되는 Helicity - 은하 dynamo: 은하풍을 통해 은하간 매질로의 helicity 탈출 - 강착 원반 dynamo: 안쪽으로 이류되거나 유출에서 방출되는 Helicity

3.3 평균장 난류 Dynamo¶

대규모 장 진화:

평균장 이론을 상기:

∂⟨B⟩/∂t = ∇×(⟨v⟩×⟨B⟩) + ∇×(α⟨B⟩) + (η + β)∇²⟨B⟩

여기서: - α ~ -(1/3)τ_c⟨u·(∇×u)⟩ (helicity 효과) - β ~ (1/3)τ_c u² (난류 확산도)

Dynamo 수:

크기 L의 영역에서 α² dynamo의 경우:

D_α = α L / (η + β)

Dynamo 시작: |D_α| ≳ 10.

Helicity 주입:

회전하는, 성층화된 난류(예: 항성 대류 영역)에서: - Coriolis 힘 + 밀도 성층 → cyclonic 소용돌이 - Cyclonic 소용돌이가 순 helicity를 가짐: ⟨u·(∇×u)⟩ ≠ 0 - Helicity의 부호는 반구에 의존(북과 남에서 반대)

성장률:

Kinematic 영역에서:

γ ~ α² / (η_eff L)

소규모 dynamo 성장률 γ ~ u/ℓ보다 훨씬 느림.

포화:

대규모 dynamo는 다음 때 포화됩니다: - Lorentz 힘이 흐름을 수정(α 감소) - Helicity 균형: 생성 ≈ 플럭스 + 소산

4. 자기 Prandtl 수 효과¶

4.1 정의와 영역¶

자기 Prandtl 수:

Pm = ν / η = (운동량의 분자 확산) / (자기 확산)

Reynolds 수:

Re = UL / ν    (흐름의 Reynolds 수)
Rm = UL / η    (자기 Reynolds 수)

Pm = Rm / Re

천체물리학적 값:

항성 내부: Pm ~ 10^{-7} - 10^{-5}
높은 전도도(낮은 η), 낮은 점성(분자 의미의 높은 ν, 하지만 난류 ν_t는 클 수 있음)
액체 금속(실험): Pm ~ 10^{-6} - 10^{-5}
성간 매질: Pm ≫ 1 (무충돌 플라즈마, 자기 확산이 점성을 지배)
은하단: Pm ≫ 1

스케일 분리:

Kolmogorov 스케일: η_K = (ν³/ε)^{1/4} (운동 에너지가 소산되는 최소 스케일)
저항 스케일: η_R = (η³/ε)^{1/4} (자기 에너지가 소산되는 최소 스케일)

비:

η_R / η_K = Pm^{-3/4}

Pm ≫ 1: η_R ≪ η_K (더 작은 스케일에서 자기 소산)
Pm ≪ 1: η_R ≫ η_K (더 작은 스케일에서 점성 소산)

4.2 높은 Pm 영역의 Dynamo¶

특성: - 저항 스케일이 점성 스케일 아래: η_R ≪ η_K - 자기장이 η_K와 η_R 사이의 스케일에서 여기될 수 있음 - 자기장을 위한 넓은 관성 범위

Dynamo 메커니즘: - 소규모 dynamo가 효율적으로 작동 - 임계 Rm_c ~ 100 (상대적으로 낮음) - 동등분배 근처 포화: B² / (2μ₀) ~ ρv²/2

응용: - 성간 매질: 난류 구름에서 자기장 증폭 - 은하단: ICM 난류가 μG 장 생성

4.3 낮은 Pm 영역의 Dynamo¶

특성: - 점성 스케일이 저항 스케일 아래: η_K ≪ η_R - 자기장이 최소 속도 스케일에 도달하기 전에 소산 - 자기장을 위한 좁은 관성 범위

Dynamo 메커니즘: - 소규모 dynamo가 억제됨(더 높은 Rm_c) - 포화가 동등분배 이하: B²/(2μ₀) ≪ ρv²/2 - 비가 B²/(μ₀ρv²) ~ Pm^{1/2}로 스케일링(Schekochihin et al.)

도전: - 낮은 Pm에서의 수치 시뮬레이션은 η_K와 η_R 둘 다의 해상도 필요 → 계산적으로 비용이 큼 - 대부분의 천체물리학 시스템이 Pm ≪ 1을 가지지만, 시뮬레이션은 종종 Pm ~ 1 이상 사용

응용: - 항성 dynamos: 진정한 Pm ~ 10^{-6}, 하지만 효과적 난류 Pm_t는 1에 더 가까울 수 있음 - 액체 금속 실험: VKS (von Kármán Sodium) 실험, Riga dynamo

5. 난류 Dynamos의 수치 시뮬레이션¶

5.1 직접 수치 시뮬레이션(DNS)¶

DNS는 에너지 주입 스케일 L부터 소산 스케일(η_K와 η_R)까지 모든 스케일을 해상합니다.

MHD 방정식(비압축성):

∂v/∂t + v·∇v = -∇p + J×B + ν∇²v + f
∂B/∂t = ∇×(v×B) + η∇²B
∇·v = 0
∇·B = 0

여기서 f는 강제 항(대규모에서 난류를 구동)입니다.

공간 해상도 요구사항:

소산 스케일을 해상하려면:

N_x ≥ (L / η_K)  for velocity
N_x ≥ (L / η_R)  for magnetic field

Re = 10⁴와 Pm = 1의 경우:

η_K ~ L / Re^{3/4} ~ L / 100
η_R ~ L / Rm^{3/4} ~ L / 100

N_x ≥ 100  →  N_total = 100³ = 10^6 grid points (3D)

더 높은 Re 또는 낮은 Pm의 경우, 해상도 요구사항이 폭발합니다.

스펙트럼 방법:

일반적으로 Fourier pseudospectral 방법 사용:

Fourier 공간에서 장 표현: v(x) ↔ v̂(k)
실공간에서 비선형 항 v·∇v, v×B 계산(FFT를 통해)
Fourier 공간에서 도함수 계산: ∇ → ik
∇·v = 0 강제: solenoidal 부공간으로 투영

시간 적분:

명시적(RK3, RK4): 간단하지만 CFL 제약: Δt ≤ C Δx / |v|_max
암시적(Crank-Nicolson): 확산 항에 대해, 더 큰 Δt 허용
IMEX (Implicit-Explicit): 이류를 명시적으로, 확산을 암시적으로 처리

5.2 Large Eddy Simulation (LES)¶

매우 높은 Reynolds 수(DNS 도달 범위를 넘어서)의 경우, LES 사용:

개념: - 큰 스케일만 해상(일부 차단 k_c까지) - 해상되지 않은 작은 스케일의 효과 모델링(서브그리드 스케일, SGS)

필터링:

폭 Δ의 공간 필터 적용:

⟨v⟩(x) = ∫ G(x - x', Δ) v(x') dx'

여기서 G는 필터 커널(예: Gaussian, box, spectral cutoff)입니다.

필터링된 MHD 방정식:

∂⟨v⟩/∂t + ⟨v⟩·∇⟨v⟩ = -∇⟨p⟩ + ⟨J⟩×⟨B⟩ + ν∇²⟨v⟩ - ∇·τ_SGS
∂⟨B⟩/∂t = ∇×(⟨v⟩×⟨B⟩) + η∇²⟨B⟩ + ∇×ε_SGS

여기서: - τ_SGS = ⟨vv⟩ - ⟨v⟩⟨v⟩ (SGS 응력) - ε_SGS = ⟨v×B⟩ - ⟨v⟩×⟨B⟩ (SGS EMF)

서브그리드 모델:

Eddy 점성/저항도:

τ_SGS ≈ -ν_t(∇⟨v⟩ + (∇⟨v⟩)^T)
ε_SGS ≈ -η_t ∇×⟨B⟩

여기서 ν_t, η_t는 난류 점성/저항도(예: Smagorinsky 모델)입니다.

Gradient 모델:

τ_SGS ≈ C Δ² ∇⟨v⟩·∇⟨v⟩

Dynamic 모델: 해상된 스케일로부터 C를 동적으로 계산(Germano identity).

MHD LES의 도전: - SGS 자기장이 강한 역반응을 가질 수 있음(작은 스케일의 dynamo) - 표준 eddy 점성 모델이 helicity의 역 캐스케이드를 포착하지 못할 수 있음 - 활발한 연구 분야

5.3 강제와 경계 조건¶

강제:

통계적으로 정상 난류를 유지하기 위해, 대규모에서 에너지 주입:

f(x,t) = F(k, t)  for k in band [k_min, k_max]

일반적 방식: - 확률론적 강제: 무작위 위상, Gaussian 통계 - ABC 강제: Arnold-Beltrami-Childress 흐름(나선형) - 속도 강제: 특정 모드에 대해 |v̂(k)| 고정, 위상 무작위화

경계 조건:

주기적: 가장 간단, 많은 연구에 사용
문제: helicity 보존(플럭스 없음), 재앙적 quenching
열림(유출): Helicity 플럭스 허용
구현: 경계에서 외삽 또는 제로 구배
전도 벽: B_n 연속, E_t = 0 (또는 접선 방향으로 v×B = 0)

5.4 분석 도구¶

에너지 스펙트럼:

E_K(k) = (1/2) Σ_{|k'| ≈ k} |v̂(k')|²
E_B(k) = (1/2μ₀) Σ_{|k'| ≈ k} |B̂(k')|²

Helicity 스펙트럼:

H_K(k) = Σ_{|k'| ≈ k} Re(v̂*(k')·(ik' × v̂(k')))
H_B(k) = Σ_{|k'| ≈ k} Re(Â*(k')·B̂(k'))

구조 함수:

S_p(r) = ⟨|v(x+r) - v(x)|^p⟩

간헐성 측정: Kolmogorov의 경우, S_p(r) ~ r^{ζ_p}이고 ζ_p = p/3; 이탈은 간헐성을 나타냄.

자기장 PDF:

P(B) = probability distribution of field strength

일반적으로 비Gaussian, 지수 또는 stretched-지수 꼬리(간헐성).

6. 난류 Dynamo의 응용¶

6.1 성간 매질(ISM)¶

맥락: - ISM은 고도로 난류: 초신성 폭발, 항성풍, 열 불안정성 - 관측된 자기장: B ~ μG - Pm ≫ 1 (무충돌 플라즈마)

Dynamo 메커니즘: - 소규모 dynamo: 씨앗 장을 μG 수준으로 증폭 - 난류 운동 에너지와 거의 동등분배에서 포화 - 자기장 구조: 필라멘트형, 간헐적

관측 테스트: - Faraday 회전 측정(RM): 시선을 따라 자기장 탐사 - Synchrotron 방출: 총 강도와 편광 - Zeeman 분리: 직접 B 측정(밀집 영역에 제한)

수치 발견: - 소규모 dynamo가 일반적 ISM 난류에 대해 B ~ 3-10 μG에서 포화 - 나선 팔, 별 형성 영역의 관측과 일치

6.2 은하단¶

맥락: - 은하단간 매질(ICM): 뜨겁고 희박한 플라즈마 - 합병, AGN 피드백에 의해 구동되는 난류 - 관측된 자기장: B ~ μG (RM, 전파 헤일로로부터)

Dynamo 메커니즘: - 소규모 dynamo가 은하단 형성 동안 씨앗 장 증폭 - Pm ≫ 1 (무충돌) - 빠른 성장: τ_dyn ~ Gyr

도전: - 전도가 소규모 변동을 억제할 수 있음(Braginski 점성) - 우주선이 dynamo에 영향을 미칠 수 있음

시뮬레이션: - Vazza et al., Miniati, Ryu: MHD를 가진 은하단 형성 시뮬레이션 - Dynamo로부터 B ~ 0.1 - 1 μG 발견

6.3 강착 원반¶

맥락: - Magnetorotational 불안정성(MRI)이 난류 생성(Lesson 12 참조) - 난류 dynamo가 자기장 증폭 및 유지

Dynamo 메커니즘: - 소규모(MRI 난류)와 대규모(MRI 구동 α-효과로부터의 dynamo) 모두 - 원반을 관통하는 수직 장이 증폭될 수 있음 - 원시행성 원반(dead zones)에서 Pm ≪ 1, 뜨거운 원반에서 Pm ~ 1

포화: - 자기 응력: ⟨B_rB_φ⟩/μ₀ ~ α ⟨p⟩이고 α ~ 0.01 - 0.1 - B ~ √(αp) → 열 압력 이하에 해당

관측 함의: - 제트 발사: 대규모 극성 장 필요(dynamo + 이류) - 원반 바람: 환상 장의 압력

6.4 초기 우주¶

맥락: - 원시 플라즈마의 씨앗 자기장 - 상전이, 원시 밀도 변동으로부터의 난류

Dynamo: - 복사 시대(재결합 전) 동안 소규모 dynamo - 증폭 인자: 약한 씨앗 장으로부터 10^{30} 도달 가능 - 자기장 결맞음 길이: 지평선 또는 감쇠 스케일에 의해 제한

관련성: - 공백과 높은 적색편이 은하에서 관측된 nG 장 설명 - 구조 형성에 영향(자기 압력 지지)

7. Python 구현¶

7.1 Kazantsev 스펙트럼 모델¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def kazantsev_spectrum():
    """
    Model magnetic energy spectrum in small-scale dynamo.

    Kazantsev prediction: E_B(k) ∝ k^{3/2} in kinematic regime.
    """
    # Wavenumber range
    k = np.logspace(-1, 2, 100)

    # Kinetic energy spectrum (Kolmogorov)
    E_K = k**(-5/3)

    # Magnetic energy spectrum (Kazantsev kinematic)
    E_B_kinematic = k**(3/2)

    # Magnetic energy spectrum (saturated, example: k^{-3/2})
    E_B_saturated = k**(-3/2)

    # Normalize
    E_K /= E_K[len(E_K)//2]
    E_B_kinematic /= E_B_kinematic[len(E_B_kinematic)//2]
    E_B_saturated /= E_B_saturated[len(E_B_saturated)//2]

    # Plot
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.loglog(k, E_K, 'b-', linewidth=2, label='$E_K(k) \propto k^{-5/3}$ (Kolmogorov)')
    plt.loglog(k, E_B_kinematic, 'r--', linewidth=2, label='$E_B(k) \propto k^{3/2}$ (Kazantsev kinematic)')
    plt.loglog(k, E_B_saturated, 'g-.', linewidth=2, label='$E_B(k) \propto k^{-3/2}$ (Saturated)')

    plt.xlabel('Wavenumber $k$', fontsize=14)
    plt.ylabel('Energy spectrum $E(k)$', fontsize=14)
    plt.title('Kazantsev Spectrum: Small-Scale Dynamo', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True, which='both', alpha=0.3)
    plt.savefig('kazantsev_spectrum.png', dpi=150)
    plt.show()

kazantsev_spectrum()

7.2 소규모 Dynamo 성장 시뮬레이션¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

def small_scale_dynamo_growth():
    """
    Simulate kinematic growth of magnetic energy in small-scale dynamo.

    Model:
      dE_B/dt = 2γ E_B - (E_B/τ_η)

    where:
      γ = growth rate from turbulent stretching
      τ_η = resistive dissipation timescale
    """
    # Parameters
    u_rms = 1.0       # RMS velocity
    ell = 1.0         # Correlation scale
    eta_vals = [0.001, 0.005, 0.01, 0.02]  # Magnetic diffusivity

    # Time array
    t = np.linspace(0, 10, 1000)

    plt.figure(figsize=(12, 6))

    for eta in eta_vals:
        Rm = u_rms * ell / eta
        Rm_c = 60  # Critical magnetic Reynolds number

        if Rm > Rm_c:
            # Growth rate (simplified Kazantsev)
            gamma = (u_rms / ell) * np.sqrt((Rm - Rm_c) / Rm_c) * 0.1
        else:
            gamma = 0  # No dynamo

        # Resistive timescale
        tau_eta = ell**2 / eta

        # Differential equation: dE_B/dt = 2*gamma*E_B - E_B/tau_eta
        def dE_dt(E, t):
            return 2 * gamma * E - E / tau_eta

        # Initial condition
        E0 = 1e-6

        # Solve ODE
        E_B = odeint(dE_dt, E0, t)

        # Plot
        plt.semilogy(t, E_B, linewidth=2, label=f'Rm={Rm:.1f}, γ={gamma:.3f}')

    plt.xlabel('Time $t$ (in $\ell/u_{rms}$)', fontsize=14)
    plt.ylabel('Magnetic Energy $E_B$', fontsize=14)
    plt.title('Small-Scale Dynamo: Kinematic Growth', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True)
    plt.savefig('small_scale_dynamo_growth.png', dpi=150)
    plt.show()

small_scale_dynamo_growth()

7.3 자기 Helicity 진화¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def magnetic_helicity_evolution():
    """
    Simulate evolution of magnetic helicity in a turbulent dynamo.

    Model helicity production, dissipation, and flux:
      dH_B/dt = Production - Dissipation - Flux
    """
    # Parameters
    L = 1.0           # Domain size
    eta = 0.01        # Magnetic diffusivity
    alpha0 = 0.1      # Alpha effect (helicity production rate coefficient)
    flux_rate = 0.05  # Helicity flux rate (if boundaries are open)

    # Time array
    t = np.linspace(0, 100, 1000)
    dt = t[1] - t[0]

    # Two scenarios: closed vs open boundaries
    scenarios = {
        'Closed (no flux)': 0.0,
        'Open (with flux)': flux_rate
    }

    plt.figure(figsize=(12, 8))

    for i, (label, flux) in enumerate(scenarios.items()):
        # Initialize
        H_B = np.zeros(len(t))
        B_rms = np.zeros(len(t))

        H_B[0] = 0.0
        B_rms[0] = 0.01

        # Time evolution
        for n in range(len(t) - 1):
            # Helicity production (from alpha effect and field growth)
            production = alpha0 * B_rms[n]**2

            # Resistive dissipation
            dissipation = (2 * eta / L**2) * H_B[n]

            # Helicity flux (for open boundaries)
            flux_term = flux * H_B[n]

            # Update helicity
            dH_dt = production - dissipation - flux_term
            H_B[n+1] = H_B[n] + dt * dH_dt

            # Simple model for field growth with helicity constraint
            # α-quenching: α_eff = α0 / (1 + |H_B| / H_sat)
            H_sat = 0.1
            alpha_eff = alpha0 / (1 + np.abs(H_B[n]) / H_sat)

            # Field growth (simplified)
            gamma = alpha_eff - eta / L**2
            dB_dt = gamma * B_rms[n]
            B_rms[n+1] = B_rms[n] + dt * dB_dt

        # Plot
        plt.subplot(2, 1, 1)
        plt.plot(t, H_B, linewidth=2, label=label)

        plt.subplot(2, 1, 2)
        plt.plot(t, B_rms, linewidth=2, label=label)

    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.xlabel('Time $t$', fontsize=14)
    plt.ylabel('Magnetic Helicity $H_B$', fontsize=14)
    plt.title('Magnetic Helicity Evolution', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True)

    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.xlabel('Time $t$', fontsize=14)
    plt.ylabel('RMS Magnetic Field $B_{rms}$', fontsize=14)
    plt.title('Magnetic Field Evolution', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('helicity_evolution.png', dpi=150)
    plt.show()

magnetic_helicity_evolution()

7.4 Dynamo가 있는 난류 캐스케이드¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def turbulent_cascade_with_dynamo():
    """
    Simulate energy cascade in MHD turbulence with dynamo.

    Model shell-averaged energy equations:
      dE_K(k)/dt = T_K(k) + F_K(k) - ν k² E_K(k) - M(k)
      dE_B(k)/dt = T_B(k) + Dynamo(k) - η k² E_B(k) + M(k)

    where:
      T_K, T_B: nonlinear transfer (cascade)
      F_K: forcing
      M: magnetic-kinetic energy exchange
      Dynamo: energy input from stretching
    """
    # Wavenumber bins (logarithmic)
    N_bins = 20
    k = np.logspace(0, 2, N_bins)
    dk = np.diff(np.log(k))
    dk = np.append(dk, dk[-1])

    # Parameters
    nu = 0.01      # Viscosity
    eta = 0.005    # Magnetic diffusivity
    forcing_k = 2  # Forcing wavenumber index

    # Time stepping
    dt = 0.001
    Nt = 5000

    # Initialize
    E_K = np.zeros(N_bins)
    E_B = np.zeros(N_bins)

    # Initial kinetic energy (inject at large scales)
    E_K[forcing_k] = 1.0

    # Storage
    E_K_hist = []
    E_B_hist = []

    for n in range(Nt):
        # Forcing
        F_K = np.zeros(N_bins)
        F_K[forcing_k] = 0.1  # Constant energy injection

        # Nonlinear transfer (simplified cascade model)
        # T_K(k) ~ -d/dk(k² E_K)  (dimensional, forward cascade)
        T_K = np.zeros(N_bins)
        T_B = np.zeros(N_bins)

        for i in range(1, N_bins - 1):
            # Forward cascade for kinetic
            T_K[i] = -0.5 * (E_K[i] - E_K[i-1]) / dk[i]

            # Forward cascade for magnetic (Iroshnikov-Kraichnan)
            T_B[i] = -0.3 * (E_B[i] - E_B[i-1]) / dk[i]

        # Dynamo effect: kinetic energy → magnetic energy at small scales
        Dynamo = np.zeros(N_bins)
        for i in range(N_bins):
            if k[i] > k[forcing_k]:
                # Stretching proportional to strain rate ~ k E_K^{1/2}
                Dynamo[i] = 0.1 * k[i] * np.sqrt(E_K[i]) * (1 - E_B[i] / (E_K[i] + 1e-10))

        # Magnetic-kinetic coupling (Lorentz force back-reaction)
        M = 0.05 * E_B * np.sqrt(E_K + 1e-10)

        # Dissipation
        D_K = nu * k**2 * E_K
        D_B = eta * k**2 * E_B

        # Update
        dE_K_dt = T_K + F_K - D_K - M
        dE_B_dt = T_B + Dynamo - D_B + M

        E_K += dt * dE_K_dt
        E_B += dt * dE_B_dt

        # Prevent negative energies
        E_K = np.maximum(E_K, 0)
        E_B = np.maximum(E_B, 0)

        # Store snapshots
        if n % 100 == 0:
            E_K_hist.append(E_K.copy())
            E_B_hist.append(E_B.copy())

    # Plot final spectra
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.loglog(k, E_K, 'b-o', linewidth=2, markersize=5, label='Kinetic $E_K(k)$')
    plt.loglog(k, E_B, 'r-s', linewidth=2, markersize=5, label='Magnetic $E_B(k)$')

    # Reference slopes
    k_ref = k[5:15]
    plt.loglog(k_ref, 0.1 * k_ref**(-5/3), 'k--', linewidth=1, label='$k^{-5/3}$ (Kolmogorov)')
    plt.loglog(k_ref, 0.01 * k_ref**(-3/2), 'g--', linewidth=1, label='$k^{-3/2}$ (IK or saturated dynamo)')

    plt.xlabel('Wavenumber $k$', fontsize=14)
    plt.ylabel('Energy $E(k)$', fontsize=14)
    plt.title('Energy Spectra in MHD Turbulence with Dynamo', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True, which='both', alpha=0.3)
    plt.savefig('turbulent_cascade_dynamo.png', dpi=150)
    plt.show()

    # Animate evolution
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
    for i in range(0, len(E_K_hist), max(1, len(E_K_hist)//10)):
        ax.clear()
        ax.loglog(k, E_K_hist[i], 'b-o', linewidth=2, markersize=5, label='Kinetic')
        ax.loglog(k, E_B_hist[i], 'r-s', linewidth=2, markersize=5, label='Magnetic')
        ax.set_xlabel('Wavenumber $k$', fontsize=14)
        ax.set_ylabel('Energy $E(k)$', fontsize=14)
        ax.set_title(f'Energy Spectra (t = {i*100*dt:.2f})', fontsize=16)
        ax.legend(fontsize=12)
        ax.grid(True, which='both', alpha=0.3)
        plt.pause(0.1)

    plt.show()

turbulent_cascade_with_dynamo()

7.5 Dynamo 시작의 Pm 의존성¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def Pm_dependence_dynamo():
    """
    Plot critical Rm vs Pm for small-scale dynamo onset.

    Empirical fits from simulations:
      - High Pm: Rm_c ~ 100 (const)
      - Low Pm: Rm_c ~ C * Pm^{-α} (increases as Pm decreases)
    """
    Pm = np.logspace(-3, 2, 100)

    # Empirical model (Schekochihin et al.)
    Rm_c = np.zeros_like(Pm)

    for i, pm in enumerate(Pm):
        if pm >= 1:
            # High Pm regime
            Rm_c[i] = 100
        else:
            # Low Pm regime (example: Rm_c ~ 100 * Pm^{-1/2})
            Rm_c[i] = 100 * pm**(-0.5)

    plt.figure(figsize=(10, 6))
    plt.loglog(Pm, Rm_c, 'b-', linewidth=2.5, label='Critical $Rm_c(Pm)$')

    # Reference lines
    plt.axhline(100, color='k', linestyle='--', linewidth=1, label='$Rm_c \\approx 100$ (High Pm)')
    plt.loglog(Pm[Pm < 1], 100 * Pm[Pm < 1]**(-0.5), 'r--', linewidth=1, label='$Rm_c \propto Pm^{-1/2}$ (Low Pm)')

    plt.xlabel('Magnetic Prandtl Number $Pm = \\nu/\\eta$', fontsize=14)
    plt.ylabel('Critical Magnetic Reynolds Number $Rm_c$', fontsize=14)
    plt.title('Dynamo Onset: Dependence on Magnetic Prandtl Number', fontsize=16)
    plt.legend(fontsize=12)
    plt.grid(True, which='both', alpha=0.3)
    plt.savefig('Pm_dependence_dynamo.png', dpi=150)
    plt.show()

Pm_dependence_dynamo()

8. 요약¶

난류 dynamos는 광범위한 천체물리학 시스템에서 자기장 생성을 이해하는 데 필수적입니다:

소규모 dynamo:
난류 강제 스케일 ≤ 스케일에서 자기장 증폭
난류 연신에 의해 구동(Lyapunov 지수)
Kazantsev 이론: Rm > Rm_c에 대해 kinematic 성장률 γ ~ (u/ℓ) (Rm/Rm_c)^{1/2}
Kazantsev 스펙트럼: E_B(k) ∝ k^{3/2} (kinematic), 포화 시 평탄화
임계 Rm_c ~ 50-200, Pm에 의존
자기 Prandtl 수(Pm = ν/η):
높은 Pm(Pm ≫ 1): 효율적 dynamo, 거의 동등분배 포화
낮은 Pm(Pm ≪ 1): 더 높은 Rm_c, 동등분배 이하 포화
대부분의 천체물리학 플라즈마가 Pm ≪ 1을 가지지만, 효과적 난류 Pm은 ~ 1일 수 있음
대규모 dynamo:
강제 > 스케일에서 장을 생성하기 위해 helicity(운동 또는 자기) 필요
자기 helicity의 역 캐스케이드가 결맞는 대규모 장 구축
Helicity 제약: 닫힌 시스템에서, helicity 보존이 재앙적 α-quenching으로 이어짐
해결책: 열린 경계 → helicity 플럭스가 quenching 완화
포화 메커니즘:
Lorentz 힘 역반응이 난류 연신 감소
평균장 그림에서 α-quenching
균형: dynamo 생성 ≈ 저항 소산 + helicity 플럭스
수치 시뮬레이션:
DNS: 모든 스케일 해상, Re, Rm ≲ 10^4로 제한
LES: 서브그리드 스케일 모델, 더 높은 Re, Rm 도달
도전: 낮은 Pm은 η_K와 η_R 둘 다의 해상 필요
응용:
ISM: 소규모 dynamo → μG 장(관측됨)
은하단: 합병 동안 소규모 dynamo
강착 원반: MRI 구동 난류 dynamo
초기 우주: 씨앗 장 증폭

난류 dynamos는 포화, helicity 플럭스, 그리고 소규모에서 대규모 dynamos로의 전환을 이해하는 데 있어 진행 중인 연구가 있는 활발한 연구 분야입니다.

연습 문제¶

Kazantsev 성장률: u_rms = 10 m/s, ℓ = 10⁶ m, η = 10⁴ m²/s인 난류의 경우, Rm을 계산하고 Rm_c = 100이라고 가정하여 성장률을 추정하십시오.
낮은 Pm에 대한 임계 Rm: Pm < 1에 대해 Rm_c ~ 100 Pm^{-1/2}인 경우, Pm = 10^{-5}인 액체 나트륨에 대해 Rm_c는 무엇입니까?
저항 스케일: Re = 10⁴와 Pm = 0.01의 경우, 비 η_R / η_K를 계산하십시오. 어느 것이 더 작은 스케일에서 소산됩니까?
동등분배 장: ρ = 10^{-21} kg/m³, v = 10 km/s인 ISM에서, 동등분배 자기장을 Gauss로 계산하십시오.
Helicity 소산: L = 1 kpc와 η = 10^{26} cm²/s(ISM)인 영역의 경우, 자기 helicity의 저항 붕괴 시간 척도를 추정하십시오.
Kazantsev 스펙트럼: Kinematic 소규모 dynamo에 대해 예상되는 E_B(k)를 그리고 E_B(k) ∝ k^{-3/2}인 포화 상태와 비교하십시오. 어떤 파수에서 교차합니까?
Pm 스케일링: 낮은 Pm에 대해 포화 장 강도가 B_sat ∝ Pm^{1/2}로 스케일링되는 경우, Pm = 1에서 Pm = 10^{-6}로 갈 때 B_sat는 얼마나 감소합니까?
Python 연습: 소규모 dynamo 성장 코드를 수정하여 γ(B) = γ₀(1 - B²/B_eq²)를 통해 포화를 포함하십시오. 지수 성장 → 포화 전환을 관찰하십시오.
Helicity 플럭스: 자기 helicity 진화 코드에서, 플럭스율을 증가시키고 자기장의 포화 수준에 어떻게 영향을 미치는지 관찰하십시오.
고급: Dynamo가 있는 MHD 난류를 위한 간단한 shell-모델을 구현하십시오. 로그적으로 간격을 둔 파수 shells를 사용하고 shells 사이의 비선형 전달을 모델링하십시오. Rm이 변함에 따라 에너지 캐스케이드와 dynamo 시작을 연구하십시오.

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