9. 충돌 동역학
9. 충돌 동역학¶
학습 목표¶
- Boltzmann 충돌 연산자와 그 물리적 의미 이해
- 플라즈마의 Coulomb 충돌에 대한 Fokker-Planck 방정식 유도
- 효율적인 충돌 계산을 위한 Rosenbluth potential 공식화 습득
- 자화 플라즈마에서 Braginskii 수송 이론과 수송 계수 학습
- 토로이달 confinement 장치에서 neoclassical 수송 regime 이해
- 입자 감속 및 저항성과 같은 실제 문제에 충돌 연산자 적용
서론¶
이전 강의에서는 플라즈마를 Vlasov 방정식으로 지배되는 무충돌 시스템으로 다루었습니다. 그러나 실제 플라즈마는 중성 기체보다 훨씬 낮은 비율이지만 충돌을 경험합니다. 충돌은 다음 측면에서 중요합니다:
- 열화(thermalization) 및 평형으로의 접근
- 전기 저항성 및 에너지 소산
- 자기장을 가로지르는 입자, 운동량, 에너지의 수송
- 토로이달 confinement의 neoclassical 효과
플라즈마 충돌 이론의 과제는 전자기적(Coulomb) 상호작용이 장거리라는 것입니다. 중성 기체의 hard-sphere 충돌과 달리, 하전 입자는 $1/r^2$ 전기장을 통해 먼 거리에서 상호작용합니다. 이는 큰 각도의 "hard" 충돌보다 작은 각도 편향이 우세하게 됩니다.
이 강의에서는 일반 Boltzmann 연산자에서 시작하여 플라즈마에 대한 Fokker-Planck 방정식으로 특수화하고 실용적인 응용을 위한 수송 계수를 유도하여 충돌의 운동 이론을 개발합니다.
1. Boltzmann 충돌 연산자¶
1.1 일반 공식화¶
충돌을 포함한 완전한 운동 방정식은:
$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} + \mathbf{a}\cdot\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$
여기서 $\mathbf{a}$는 외부 장으로부터의 가속도입니다. 충돌 항은 이진 충돌로 인한 $f$의 순 변화율을 나타냅니다.
단면적 $\sigma(\mathbf{v}, \mathbf{v}_1; \mathbf{v}', \mathbf{v}_1')$을 가진 이진 충돌에 대해 Boltzmann 충돌 연산자는:
$$\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} = \int\int\int \left[f(\mathbf{v}')f(\mathbf{v}_1') - f(\mathbf{v})f(\mathbf{v}_1)\right] |\mathbf{v}-\mathbf{v}_1| \sigma(\Omega)\, d\Omega\, d^3v_1$$
물리적 해석: - 획득 항: $f(\mathbf{v}')f(\mathbf{v}_1')$ - $(\mathbf{v}', \mathbf{v}_1')$로부터 속도 $\mathbf{v}$로 산란된 입자 - 손실 항: $f(\mathbf{v})f(\mathbf{v}_1)$ - 속도 $\mathbf{v}$에서 산란된 입자 - $|\mathbf{v}-\mathbf{v}_1|$ - 상대 속도가 충돌률을 결정 - 모든 충돌 파트너 $\mathbf{v}_1$ 및 산란 각 $\Omega$에 대한 적분
프라임은 충돌 후 속도를 나타냅니다. 보존 법칙의 제약: - 운동량: $\mathbf{v} + \mathbf{v}_1 = \mathbf{v}' + \mathbf{v}_1'$ - 에너지: $v^2 + v_1^2 = v'^2 + v_1'^2$
1.2 충돌 불변량과 보존 법칙¶
양 $\psi(\mathbf{v})$가 충돌 불변량이 되려면:
$$\int \psi(\mathbf{v}) C[f]\, d^3v = 0$$
모든 분포 $f$에 대해 성립하며, 여기서 $C[f]$는 충돌 연산자입니다.
합 불변량(summational invariants)은 다음을 만족합니다: $$\psi(\mathbf{v}) + \psi(\mathbf{v}_1) = \psi(\mathbf{v}') + \psi(\mathbf{v}_1')$$
다섯 가지 합 불변량은: 1. 질량: $\psi = m$ (입자 보존) 2. 운동량: $\psi = m\mathbf{v}$ (세 성분) 3. 에너지: $\psi = \frac{1}{2}mv^2$
이들은 보존 법칙으로 이어집니다:
Particle number: ∫ C[f] d³v = 0
Momentum: ∫ mv C[f] d³v = 0
Energy: ∫ (½mv²) C[f] d³v = 0
1.3 Boltzmann의 H-정리¶
H-함수를 정의합니다: $$H(t) = \int f(\mathbf{v},t) \ln f(\mathbf{v},t)\, d^3v$$
Boltzmann은 상세 균형을 만족하는 모든 충돌 연산자에 대해 $dH/dt \leq 0$임을 증명했습니다. 이것이 엔트로피 $S = -k_B H$가 항상 증가함을 보여주는 H-정리입니다.
증명은 다음에 의존합니다: $$\frac{dH}{dt} = \int (\ln f + 1) C[f]\, d^3v$$
충돌 적분의 대칭성과 부등식 $\ln x \leq x - 1$을 사용하여, 다음 조건일 때만 등호가 성립하는 $dH/dt \leq 0$을 보입니다:
$$f(\mathbf{v})f(\mathbf{v}_1) = f(\mathbf{v}')f(\mathbf{v}_1')$$
모든 충돌 쌍에 대해. 이 조건은 Maxwellian 분포에 의해 만족됩니다:
$$f_M(\mathbf{v}) = n\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2k_B T}\right)$$
따라서 충돌은 모든 분포를 Maxwellian 평형으로 이끕니다.
1.4 충돌 주파수 추정¶
대략적인 추정을 위해, 차원 분석은 다음을 제공합니다:
$$\nu_{\text{coll}} \sim n \sigma v_{\text{th}}$$
Coulomb 충돌의 경우, 유효 단면적은: $$\sigma \sim \pi b_{90}^2$$
여기서 $b_{90}$는 90° 편향에 대한 충돌 매개변수입니다: $$b_{90} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 m v_{\text{th}}^2}$$
이는 다음을 제공합니다: $$\nu_{ei} \sim \frac{n e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 m_e v_{\text{th}}^3} \sim \frac{n e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 (k_B T)^{3/2} m_e^{1/2}}$$
Coulomb 로그 $\ln\Lambda$는 충돌 매개변수에 대한 적분에서 발생합니다: $$\ln\Lambda = \ln\left(\frac{\lambda_D}{b_{90}}\right) \approx 10-20$$
대부분의 플라즈마에 대해. 전형적인 값들: - 핵융합 플라즈마 (ITER): $\ln\Lambda \approx 17$ - 태양 코로나: $\ln\Lambda \approx 20$ - 실험실 플라즈마: $\ln\Lambda \approx 10-15$
2. 플라즈마에 대한 Fokker-Planck 방정식¶
2.1 작은 각도 산란으로부터의 유도¶
Coulomb 충돌은 드문 큰 각도 충돌보다 많은 작은 각도 편향에 의해 지배됩니다. 시간 $\Delta t$ 동안 많은 약한 산란의 누적 효과를 고려합니다:
$$\Delta \mathbf{v} = \sum_{i=1}^{N} \Delta \mathbf{v}_i$$
여기서 $N \sim n \sigma v \Delta t$는 충돌 횟수입니다.
작은 편향의 경우: - 평균 편향: $\langle \Delta \mathbf{v} \rangle \sim N \langle \Delta v_i \rangle \propto \Delta t$ - 분산: $\langle (\Delta \mathbf{v})^2 \rangle \sim N \langle (\Delta v_i)^2 \rangle \propto \Delta t$
많은 상관되지 않은 산란이 발생하므로 중심극한정리가 적용됩니다. 분포 함수의 변화는 다음과 같이 전개할 수 있습니다:
$$f(\mathbf{v} + \Delta\mathbf{v}, t + \Delta t) - f(\mathbf{v}, t) = \Delta t \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$
왼쪽을 2차까지 전개하면 (분산이 $\Delta t$에서 1차이므로):
$$f(\mathbf{v},t) + \frac{\partial f}{\partial v_i}\langle\Delta v_i\rangle + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial v_i \partial v_j}\langle\Delta v_i \Delta v_j\rangle - f(\mathbf{v},t) = \Delta t \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}}$$
이는 Fokker-Planck 충돌 연산자를 제공합니다:
$$\boxed{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\text{coll}} = -\frac{\partial}{\partial v_i}\left[f \langle\Delta v_i\rangle\right] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial v_i \partial v_j}\left[f \langle\Delta v_i \Delta v_j\rangle\right]}$$
(반복되는 인덱스에 대한 Einstein 합 규약이 암시됨.)
두 항은 다음을 나타냅니다: 1. 동역학적 마찰 (항력): $\langle\Delta v_i\rangle$ - 체계적 감속 2. 속도 확산: $\langle\Delta v_i \Delta v_j\rangle$ - 속도 공간에서 무작위 보행
2.2 Rosenbluth Potentials¶
Coulomb 산란으로부터 $\langle\Delta v_i\rangle$와 $\langle\Delta v_i \Delta v_j\rangle$를 직접 계산하는 것은 번거롭습니다. Rosenbluth (1957)는 이들이 두 개의 포텐셜로 표현될 수 있음을 보였습니다.
정의: $$\boxed{h(\mathbf{v}) = \int \frac{f(\mathbf{v}')}{|\mathbf{v}-\mathbf{v}'|}\, d^3v'}$$
$$\boxed{g(\mathbf{v}) = \int |\mathbf{v}-\mathbf{v}'| f(\mathbf{v}')\, d^3v'}$$
이들이 Rosenbluth potentials입니다 (일부 문헌에서는 $H$와 $G$로도 불림).
마찰 및 확산 계수는:
$$\langle\Delta v_i\rangle = -\Gamma \frac{\partial g}{\partial v_i}$$
$$\langle\Delta v_i \Delta v_j\rangle = \Gamma \frac{\partial^2 h}{\partial v_i \partial v_j}$$
여기서 $\Gamma = \frac{e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 m^2}$는 상수입니다.
Fokker-Planck 연산자는:
$$\boxed{C[f] = \Gamma \frac{\partial}{\partial v_i}\left[f \frac{\partial g}{\partial v_i} + \frac{\partial}{\partial v_j}\left(f \frac{\partial^2 h}{\partial v_i \partial v_j}\right)\right]}$$
이 형태는 계산적으로 효율적입니다: $h$와 $g$를 적분을 통해 한 번 계산한 다음 미분을 평가합니다.
2.3 동종 입자 및 이종 입자 충돌¶
여러 종(전자, 이온)을 가진 플라즈마의 경우 다음을 고려해야 합니다:
전자-전자 충돌: $C_{ee}[f_e]$ 이온-이온 충돌: $C_{ii}[f_i]$ 전자-이온 충돌: $C_{ei}[f_e]$ 및 $C_{ie}[f_i]$
질량비 $m_i/m_e \approx 1836$ (양성자의 경우)는 전자-이온 충돌을 단순화합니다: - 전자는 이온에게 에너지를 천천히 잃음 (열화하는 데 많은 충돌 필요) - 이온은 전자로부터 에너지를 거의 얻지 못하지만 운동량 항력을 경험
종 간 에너지 교환율은:
$$\frac{dT_e}{dt} \bigg|_{\text{coll}} = -\nu_{eq}(T_e - T_i)$$
여기서 평형화 주파수는:
$$\nu_{eq} = \frac{m_e}{m_i} \nu_{ei} \sim \frac{1}{1836} \nu_{ei}$$
이는 많은 플라즈마에서 전자와 이온 온도가 크게 다를 수 있는 이유를 설명합니다.
2.4 Fokker-Planck 연산자의 Landau 형태¶
대안적 형태는 텐서 구조를 강조합니다. 다음을 정의합니다:
$$\mathbf{A}(\mathbf{v}) = \int \frac{(\mathbf{v}-\mathbf{v}')}{|\mathbf{v}-\mathbf{v}'|^3} f(\mathbf{v}')\, d^3v'$$
$$\overleftrightarrow{B}(\mathbf{v}) = \int \frac{\overleftrightarrow{I} - \hat{\mathbf{v}}\hat{\mathbf{v}}}{|\mathbf{v}-\mathbf{v}'|} f(\mathbf{v}')\, d^3v'$$
여기서 $\overleftrightarrow{I}$는 단위 텐서이고 $\hat{\mathbf{v}} = (\mathbf{v}-\mathbf{v}')/|\mathbf{v}-\mathbf{v}'|$입니다.
그러면: $$C[f] = \Gamma \nabla_v \cdot \left[f \mathbf{A} + \nabla_v \cdot (f \overleftrightarrow{B})\right]$$
이것이 해석적 계산에 유용한 Landau 형태입니다.
3. 시험 입자 감속¶
3.1 Maxwellian 배경에서 전자 감속¶
핵융합 알파 입자, 도주 전자(runaway electrons) 또는 NBI로부터의 빠른 전자가 열 배경 플라즈마에서 감속하는 것을 고려합니다.
열 속도 $v_{\text{th}}$보다 훨씬 큰 속도 $\mathbf{v}$를 가진 시험 입자의 경우, 마찰력은 단순화됩니다:
$$\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -\nu_s \frac{\mathbf{v}}{v}$$
여기서 감속 주파수는:
$$\nu_s = \frac{n e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 m_e^2 v^3} \cdot \Phi\left(\frac{v}{v_{\text{th}}}\right)$$
$v \gg v_{\text{th}}$의 경우, $\Phi \approx 1$이므로:
$$\frac{dv}{dt} = -\nu_s \propto -\frac{1}{v^3}$$
풀면: $$v^4 - v_0^4 = -4\nu_s' t$$
$v_0$에서 $v_{\text{th}}$까지의 감속 시간은:
$$\tau_s = \frac{v_0^3}{4\nu_s(v_0)} \sim \frac{4\pi\epsilon_0^2 m_e^2 v_0^3}{n e^4 \ln\Lambda}$$
핵융합 플라즈마에서 3.5 MeV 알파 입자의 경우: - $n = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T = 10$ keV - $\tau_s \approx 1$ 초
이는 많은 장치의 confinement 시간보다 훨씬 길므로 알파가 플라즈마를 효과적으로 가열할 수 있습니다.
3.2 임계 속도¶
빠른 입자가 감속할 때, 전자와 이온 모두에 에너지를 전달합니다. 임계 속도 $v_c$는 전자에 대한 항력이 이온에 대한 항력과 같은 곳입니다:
$$\nu_e(v_c) = \nu_i(v_c)$$
$v > v_c$의 경우: 주로 전자 가열 $v < v_c$의 경우: 주로 이온 가열
임계 속도는:
$$v_c \approx v_{\text{th},e} \left(\frac{m_i}{m_e}\right)^{1/3} Z^{2/3}$$
중수소 플라즈마 ($Z=1$)의 경우: $$v_c \approx 12.2 \, v_{\text{th},e}$$
이는 다음 에너지에 해당합니다: $$E_c = \frac{1}{2}m_e v_c^2 \approx 14.8 \, T_e$$
$E > E_c$를 가진 입자는 전자를 가열하고, $E < E_c$는 이온을 가열합니다.
3.3 도주 전자¶
전기장 $E$의 존재 하에서 힘의 균형은:
$$eE = m_e \nu_s v$$
높은 속도에서 $\nu_s \propto v^{-3}$이므로 마찰은 속도와 함께 감소합니다. $eE$가 최대 마찰력을 초과하면, 전자는 임의로 높은 에너지로 도주합니다.
Dreicer 장은:
$$E_D = \frac{n e^3 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 k_B T_e}$$
$E > E_D$의 경우, 상당한 비율의 전자가 도주합니다. 이는 토카막에서 위험합니다: - 붕괴(disruption) 동안 $E$가 급증 - 도주 전자가 10-100 MeV로 가속 - 플라즈마 대면 구성요소를 손상시킬 수 있음
완화 전략: 대량 가스 주입, shattered pellet 주입.
4. Braginskii 수송 이론¶
4.1 모멘트 접근법¶
완전한 Fokker-Planck 방정식을 푸는 대신, 속도 모멘트를 취하여 충돌 항이 있는 유체 방정식을 유도할 수 있습니다.
모멘트 정의: - 밀도: $n = \int f\, d^3v$ - 유동 속도: $\mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\, d^3v$ - 압력 텐서: $\overleftrightarrow{P} = m \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\, d^3v$ - 열 플럭스: $\mathbf{q} = \frac{m}{2} \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})^2 (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\, d^3v$
운동 방정식의 모멘트를 취하면 위계를 얻습니다:
Continuity: ∂n/∂t + ∇·(nu) = 0
Momentum: mn(∂u/∂t + u·∇u) = -∇·P + F_coll
Energy: ∂/∂t(3nT/2) + ∇·q = Q_coll
충돌 항 $F_{\text{coll}}$과 $Q_{\text{coll}}$은 $C[f]$의 모멘트를 포함합니다.
Braginskii (1965)는 Maxwellian으로부터의 작은 편차를 가정하여 Fokker-Planck 방정식을 섭동적으로 풀어 수송 계수를 유도했습니다.
4.2 평행 수송¶
자기장 선을 따라 입자는 자유롭게 흐릅니다 (충돌은 약함). 평행 수송 계수는:
평행 점성: $$\eta_{\parallel} = 0.96 \, n T \tau$$
여기서 $\tau = 1/\nu$는 충돌 시간입니다.
평행 열전도도: $$\kappa_{\parallel,e} = 3.16 \, \frac{n T \tau}{m_e}$$
$$\kappa_{\parallel,i} = 3.9 \, \frac{n T \tau}{m_i}$$
전기 전도도 (저항성의 역수): $$\sigma_{\parallel} = \frac{n e^2 \tau}{m_e} = \frac{1.96 \, n e^2 \tau}{m_e}$$
고전적 저항성은: $$\eta_{\text{classical}} = \frac{1}{\sigma_{\parallel}} = \frac{m_e}{1.96 \, n e^2 \tau} \propto T^{-3/2}$$
수치 값: $$\eta_{\text{classical}} \approx 5.2 \times 10^{-5} \frac{\ln\Lambda}{T_e^{3/2}} \quad (\Omega\cdot\text{m}, \, T_e \text{ in eV})$$
4.3 수직 수송¶
자기장 선을 가로질러, 입자는 충돌을 통해 확산해야 합니다 (Larmor 궤도가 그들을 가둠). 수직 수송은 훨씬 더 약합니다.
수직 열전도도: $$\kappa_{\perp,e} = 4.66 \, \frac{n T}{m_e \omega_{ce}^2 \tau}$$
$$\kappa_{\perp,i} = 2.0 \, \frac{n T}{m_i \omega_{ci}^2 \tau}$$
평행 대 수직의 비율은:
$$\frac{\kappa_{\parallel}}{\kappa_{\perp}} \sim (\omega_c \tau)^2$$
핵융합 플라즈마 ($B = 5$ T, $T_e = 10$ keV, $n = 10^{20}$ m$^{-3}$)의 경우: - $\omega_{ce} \tau \approx 10^6$ - $\kappa_{\parallel}/\kappa_{\perp} \approx 10^{12}$
이 엄청난 비등방성은 열이 거의 전적으로 장 선을 따라 흐른다는 것을 의미합니다.
수직 점성: 다양한 응력 성분에 대해 여러 계수 $\eta_0, \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4$를 포함합니다. 핵심 결과는 수직 운동량 수송도 $(\omega_c \tau)^{-2}$에 의해 억제된다는 것입니다.
4.4 이상 수송¶
실제 실험에서 관찰된 수송은 종종 고전적 Braginskii 예측보다 수 자릿수 더 큽니다. 이것이 다음에 의한 이상 수송입니다:
- 난류 (drift waves, ITG, ETG modes)
- 자기장 섭동
- 비-Maxwellian 분포
경험적 스케일링 법칙 (예: ITER H-mode confinement): $$\tau_E \sim I_p^{0.93} B^{0.15} P^{-0.69} n^{0.41} M^{0.19} R^{1.97} \epsilon^{0.58} \kappa^{0.78}$$
여기서 $I_p$는 플라즈마 전류, $P$는 가열 전력, $M$은 질량, $R$은 주반경, $\epsilon$은 역 aspect ratio, $\kappa$는 elongation입니다.
이상 수송의 이해와 제어는 핵융합 연구의 중심 과제입니다.
5. Neoclassical 수송¶
5.1 토로이달 기하학 효과¶
토러스 (토카막, stellarator)에서 자기장 강도가 변합니다: $$B(\theta) = B_0 \left(1 + \epsilon \cos\theta\right)$$
여기서 $\epsilon = r/R$은 역 aspect ratio이고 $\theta$는 poloidal 각입니다.
작은 평행 속도를 가진 입자는 토러스 외부의 저장 영역에 포획될 수 있습니다. 그들은 앞뒤로 튀며 전체 poloidal 회로를 완성하지 못합니다.
포획된 입자의 비율은: $$f_{\text{trapped}} \sim \sqrt{\epsilon}$$
ITER ($\epsilon \sim 0.3$)의 경우: $f_{\text{trapped}} \sim 0.5$ (50% 포획).
5.2 바나나 궤도¶
포획된 입자는 바나나 궤도를 실행합니다: 그들의 드리프트 궤도는 poloidal 단면에서 바나나 모양의 영역을 형성합니다.
| Passing particles:
____|____ complete full poloidal circuit
/ | \
/ | \ Trapped particles:
| | | bounce in "banana" orbit
| __|__ | on outer side
\ / \ /
\_/ \_/
^
Low B region
바나나 폭은: $$\Delta_b \sim \rho_L \sqrt{\epsilon}$$
여기서 $\rho_L$은 Larmor 반경입니다.
5.3 충돌성 Regime¶
Neoclassical 수송은 충돌성 $\nu_* = \nu / \omega_b$에 의존하며, 여기서 $\omega_b$는 bounce 주파수입니다.
바나나 regime ($\nu_* \ll 1$): 입자가 충돌 전에 많은 bounce를 완성 - 수송: $D \sim D_{\text{classical}} / \epsilon^{3/2}$ - 고전적 대비 향상: $1/\epsilon^{3/2}$
고원 regime ($\nu_* \sim 1$): 충돌 주파수 $\sim$ bounce 주파수 - 수송: $D \sim D_{\text{classical}} / \epsilon$ - 중간 향상
Pfirsch-Schlüter regime ($\nu_* \gg 1$): bounce당 많은 충돌 - 수송: $D \sim D_{\text{classical}} \cdot q^2$ - 안전 인자 제곱에 의한 향상
전형적인 토카막 매개변수는 전자를 plateau/banana regime에, 이온을 banana regime에 배치합니다.
5.4 Bootstrap 전류¶
주목할 만한 neoclassical 효과: 자가 생성 전류가 외부 구동 없이 흐릅니다.
물리적 기원: 포획된 입자는 불균형한 마찰력을 가짐 - 내향 구간: 마찰이 입자를 감속 - 외향 구간: 다른 분포 → 다른 마찰 - 순 운동량 전달 → 전류
Bootstrap 전류는:
$$j_{\text{bs}} \sim \frac{n T}{eB_p} \left(\frac{d \ln p}{dr}\right) f_{\text{bs}}(\nu_*)$$
여기서 $B_p$는 poloidal 장이고 $f_{\text{bs}}$는 수치 함수입니다.
ITER 매개변수의 경우: - Bootstrap 비율: 전체 전류의 $\sim 20-30\%$ - 외부 전류 구동 필요성 감소
고급 시나리오는 $\sim 100\%$ bootstrap 전류를 목표로 합니다 (정상 상태 작동).
6. Python 구현¶
6.1 감속을 위한 Fokker-Planck 솔버¶
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
# Physical constants
e = 1.602e-19 # C
epsilon_0 = 8.854e-12 # F/m
m_e = 9.109e-31 # kg
k_B = 1.381e-23 # J/K
def slowing_down_frequency(v, n, T_e, ln_Lambda=15):
"""
Slowing-down frequency for test particle in thermal background.
Parameters:
-----------
v : float
Test particle velocity (m/s)
n : float
Background density (m^-3)
T_e : float
Background temperature (eV)
ln_Lambda : float
Coulomb logarithm
Returns:
--------
nu_s : float
Slowing-down frequency (s^-1)
"""
T_J = T_e * e # Convert to Joules
v_th = np.sqrt(2 * T_J / m_e)
# Coulomb collision frequency
Gamma = n * e**4 * ln_Lambda / (4 * np.pi * epsilon_0**2 * m_e**2)
# Slowing-down frequency (high-velocity limit)
if v > 3 * v_th:
nu_s = Gamma / v**3
else:
# Include thermal correction (approximate)
x = v / v_th
phi = (np.erf(x) - 2*x*np.exp(-x**2)/np.sqrt(np.pi)) / (2*x**2)
nu_s = Gamma * phi / v**3
return nu_s
def dv_dt(v, t, n, T_e, E_field=0):
"""
Time derivative of velocity including slowing down and electric field.
Parameters:
-----------
v : float
Current velocity (m/s)
t : float
Time (s)
n : float
Density (m^-3)
T_e : float
Temperature (eV)
E_field : float
Electric field (V/m)
Returns:
--------
dvdt : float
Rate of change of velocity
"""
if v <= 0:
return 0.0
nu_s = slowing_down_frequency(v, n, T_e)
# Slowing down plus electric field acceleration
dvdt = -nu_s * v + e * E_field / m_e
return dvdt
# Parameters for fusion plasma
n = 1e20 # m^-3
T_e = 10e3 # eV (10 keV)
v_th = np.sqrt(2 * T_e * e / m_e)
# Initial velocity of 3.5 MeV alpha particle
E_alpha = 3.5e6 * e # Joules
m_alpha = 4 * 1.673e-27 # kg (alpha particle)
v_0 = np.sqrt(2 * E_alpha / m_alpha)
print(f"Thermal velocity: {v_th/1e6:.2f} Mm/s")
print(f"Initial alpha velocity: {v_0/1e6:.2f} Mm/s")
print(f"Velocity ratio v_0/v_th: {v_0/v_th:.1f}")
# Time array
t = np.linspace(0, 2, 1000) # seconds
# Solve ODE
v_solution = odeint(dv_dt, v_0, t, args=(n, T_e))
v_solution = v_solution.flatten()
# Convert to energy
E_solution = 0.5 * m_alpha * v_solution**2 / e / 1e6 # MeV
# Find slowing-down time (when E drops to thermal energy)
E_thermal = 1.5 * T_e / 1e6 # MeV
idx_thermal = np.argmax(E_solution < E_thermal)
if idx_thermal > 0:
tau_s = t[idx_thermal]
print(f"Slowing-down time to thermal energy: {tau_s:.3f} s")
# Plot
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 8))
ax1.plot(t, v_solution/1e6, 'b-', linewidth=2, label='Test particle')
ax1.axhline(v_th/1e6, color='r', linestyle='--', label='$v_{th}$')
ax1.set_xlabel('Time (s)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Velocity (Mm/s)', fontsize=12)
ax1.set_title('Alpha Particle Slowing Down', fontsize=14)
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax2.semilogy(t, E_solution, 'b-', linewidth=2, label='Test particle')
ax2.axhline(E_thermal, color='r', linestyle='--', label='Thermal energy')
ax2.set_xlabel('Time (s)', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('Energy (MeV)', fontsize=12)
ax2.set_title('Energy vs Time', fontsize=14)
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('slowing_down.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
6.2 Braginskii 수송 계수¶
def braginskii_coefficients(n, T, B, Z=1, A=1, ln_Lambda=15):
"""
Compute Braginskii transport coefficients.
Parameters:
-----------
n : float or array
Density (m^-3)
T : float or array
Temperature (eV)
B : float or array
Magnetic field (T)
Z : int
Ion charge number
A : float
Ion mass number (in proton masses)
ln_Lambda : float
Coulomb logarithm
Returns:
--------
dict with transport coefficients
"""
# Convert to SI
T_J = T * e
m_i = A * 1.673e-27 # kg
# Collision time
tau_e = 12 * np.pi**(3/2) * epsilon_0**2 * m_e**(1/2) * T_J**(3/2) / \
(n * e**4 * ln_Lambda * np.sqrt(2))
tau_i = np.sqrt(m_i / m_e) * tau_e
# Cyclotron frequencies
omega_ce = e * B / m_e
omega_ci = Z * e * B / m_i
# Parallel coefficients
kappa_par_e = 3.16 * n * T_J * tau_e / m_e
kappa_par_i = 3.9 * n * T_J * tau_i / m_i
eta_par = 0.96 * n * T_J * tau_i
sigma_par = 1.96 * n * e**2 * tau_e / m_e
# Perpendicular coefficients
kappa_perp_e = 4.66 * n * T_J / (m_e * omega_ce**2 * tau_e)
kappa_perp_i = 2.0 * n * T_J / (m_i * omega_ci**2 * tau_i)
eta_perp_0 = 0.73 * n * T_J / (omega_ci**2 * tau_i)
# Anisotropy ratios
chi_e = kappa_par_e / kappa_perp_e
chi_i = kappa_par_i / kappa_perp_i
return {
'tau_e': tau_e,
'tau_i': tau_i,
'kappa_par_e': kappa_par_e,
'kappa_par_i': kappa_par_i,
'kappa_perp_e': kappa_perp_e,
'kappa_perp_i': kappa_perp_i,
'eta_par': eta_par,
'eta_perp_0': eta_perp_0,
'sigma_par': sigma_par,
'chi_e': chi_e,
'chi_i': chi_i,
'omega_ce_tau': omega_ce * tau_e,
'omega_ci_tau': omega_ci * tau_i
}
# ITER-like parameters
n = 1e20 # m^-3
T = np.logspace(2, 4, 100) # eV, 100 eV to 10 keV
B = 5.3 # T
results = braginskii_coefficients(n, T, B, Z=1, A=2) # Deuterium
fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
# Thermal conductivity
ax1.loglog(T, results['kappa_par_e'], 'b-', linewidth=2, label='$\\kappa_{\\parallel e}$')
ax1.loglog(T, results['kappa_perp_e'], 'b--', linewidth=2, label='$\\kappa_{\\perp e}$')
ax1.loglog(T, results['kappa_par_i'], 'r-', linewidth=2, label='$\\kappa_{\\parallel i}$')
ax1.loglog(T, results['kappa_perp_i'], 'r--', linewidth=2, label='$\\kappa_{\\perp i}$')
ax1.set_xlabel('Temperature (eV)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Thermal Conductivity (W/m/K)', fontsize=12)
ax1.set_title('Thermal Conductivity', fontsize=14)
ax1.legend()
ax1.grid(True, which='both', alpha=0.3)
# Anisotropy
ax2.loglog(T, results['chi_e'], 'b-', linewidth=2, label='Electrons')
ax2.loglog(T, results['chi_i'], 'r-', linewidth=2, label='Ions')
ax2.set_xlabel('Temperature (eV)', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('$\\kappa_{\\parallel} / \\kappa_{\\perp}$', fontsize=12)
ax2.set_title('Thermal Conductivity Anisotropy', fontsize=14)
ax2.legend()
ax2.grid(True, which='both', alpha=0.3)
# Resistivity
eta_classical = 1 / results['sigma_par']
ax3.loglog(T, eta_classical, 'b-', linewidth=2)
ax3.set_xlabel('Temperature (eV)', fontsize=12)
ax3.set_ylabel('Resistivity ($\\Omega\\cdot$m)', fontsize=12)
ax3.set_title('Classical Resistivity ($\\eta \\propto T^{-3/2}$)', fontsize=14)
ax3.grid(True, which='both', alpha=0.3)
# Collision time
ax4.loglog(T, results['tau_e']*1e6, 'b-', linewidth=2, label='Electrons')
ax4.loglog(T, results['tau_i']*1e6, 'r-', linewidth=2, label='Ions')
ax4.set_xlabel('Temperature (eV)', fontsize=12)
ax4.set_ylabel('Collision Time ($\\mu$s)', fontsize=12)
ax4.set_title('Collision Time', fontsize=14)
ax4.legend()
ax4.grid(True, which='both', alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('braginskii_coefficients.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
# Print some typical values
T_typical = 1e4 # 10 keV
idx = np.argmin(np.abs(T - T_typical))
print(f"\nTypical values at T = {T_typical/1e3:.1f} keV, B = {B} T:")
print(f" Electron collision time: {results['tau_e'][idx]*1e6:.2e} μs")
print(f" ωce τ: {results['omega_ce_tau'][idx]:.2e}")
print(f" κ_∥e / κ_⊥e: {results['chi_e'][idx]:.2e}")
print(f" Classical resistivity: {eta_classical[idx]:.2e} Ω·m")
print(f" Parallel thermal conductivity (e): {results['kappa_par_e'][idx]:.2e} W/m/K")
6.3 Neoclassical 수송 Regime¶
def neoclassical_diffusion(r, R, B_0, n, T, Z=1, A=1):
"""
Estimate neoclassical diffusion coefficient in different regimes.
Parameters:
-----------
r : float
Minor radius position (m)
R : float
Major radius (m)
B_0 : float
Magnetic field on axis (T)
n : float
Density (m^-3)
T : float
Temperature (eV)
Z : int
Ion charge
A : float
Ion mass number
Returns:
--------
dict with diffusion coefficients and collisionality
"""
epsilon = r / R # Inverse aspect ratio
m_i = A * 1.673e-27
T_J = T * e
# Larmor radius
v_th = np.sqrt(2 * T_J / m_i)
omega_ci = Z * e * B_0 / m_i
rho_L = v_th / omega_ci
# Collision frequency
ln_Lambda = 15
tau_i = 12 * np.pi**(3/2) * epsilon_0**2 * np.sqrt(m_i) * T_J**(3/2) / \
(n * Z**4 * e**4 * ln_Lambda * np.sqrt(2))
nu_ii = 1 / tau_i
# Bounce frequency
omega_b = v_th / (np.pi * R * np.sqrt(epsilon))
# Collisionality
nu_star = nu_ii / omega_b
# Classical diffusion
D_classical = rho_L**2 * nu_ii
# Neoclassical regimes
if nu_star < 0.1: # Banana regime
D_nc = D_classical / epsilon**(3/2)
regime = "Banana"
elif nu_star < 10: # Plateau regime
D_nc = D_classical / epsilon
regime = "Plateau"
else: # Pfirsch-Schlüter
q = r * B_0 / (R * (B_0 * r / R)) # Approximate safety factor
D_nc = D_classical * q**2
regime = "Pfirsch-Schlüter"
return {
'D_classical': D_classical,
'D_neoclassical': D_nc,
'nu_star': nu_star,
'regime': regime,
'epsilon': epsilon,
'rho_L': rho_L,
'omega_b': omega_b,
'nu_ii': nu_ii
}
# ITER parameters
R = 6.2 # m
a = 2.0 # m
B_0 = 5.3 # T
n = 1e20 # m^-3
r_array = np.linspace(0.1, a, 50)
T_array = np.array([1e3, 5e3, 10e3, 20e3]) # eV
fig, ((ax1, ax2), (ax3, ax4)) = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))
colors = ['blue', 'green', 'orange', 'red']
for i, T in enumerate(T_array):
D_class = []
D_nc = []
nu_star_array = []
for r in r_array:
result = neoclassical_diffusion(r, R, B_0, n, T, Z=1, A=2)
D_class.append(result['D_classical'])
D_nc.append(result['D_neoclassical'])
nu_star_array.append(result['nu_star'])
ax1.semilogy(r_array, D_nc, color=colors[i], linewidth=2,
label=f'T = {T/1e3:.0f} keV')
ax2.loglog(r_array, nu_star_array, color=colors[i], linewidth=2,
label=f'T = {T/1e3:.0f} keV')
ax3.semilogy(r_array, np.array(D_nc) / np.array(D_class),
color=colors[i], linewidth=2, label=f'T = {T/1e3:.0f} keV')
ax1.set_xlabel('Minor Radius (m)', fontsize=12)
ax1.set_ylabel('Neoclassical Diffusion ($m^2/s$)', fontsize=12)
ax1.set_title('Neoclassical Diffusion Coefficient', fontsize=14)
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)
ax2.axhline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.5, label='Regime boundaries')
ax2.axhline(10, color='k', linestyle='--', alpha=0.5)
ax2.text(0.5, 0.05, 'Banana', transform=ax2.transAxes, fontsize=11)
ax2.text(0.5, 0.3, 'Plateau', transform=ax2.transAxes, fontsize=11)
ax2.text(0.5, 0.7, 'Pfirsch-Schlüter', transform=ax2.transAxes, fontsize=11)
ax2.set_xlabel('Minor Radius (m)', fontsize=12)
ax2.set_ylabel('Collisionality $\\nu_*$', fontsize=12)
ax2.set_title('Collisionality Parameter', fontsize=14)
ax2.legend()
ax2.grid(True, which='both', alpha=0.3)
ax3.set_xlabel('Minor Radius (m)', fontsize=12)
ax3.set_ylabel('$D_{nc} / D_{classical}$', fontsize=12)
ax3.set_title('Neoclassical Enhancement Factor', fontsize=14)
ax3.legend()
ax3.grid(True, alpha=0.3)
# Bootstrap current coefficient
epsilon_array = r_array / R
L_p = 1.0 # Pressure scale length (m)
beta_p = 0.5 # Poloidal beta
j_bs_coeff = epsilon_array**(1/2) / (1 + epsilon_array**2)
ax4.plot(r_array, j_bs_coeff, 'b-', linewidth=2)
ax4.set_xlabel('Minor Radius (m)', fontsize=12)
ax4.set_ylabel('Bootstrap Current Coefficient', fontsize=12)
ax4.set_title('Bootstrap Current Profile Shape', fontsize=14)
ax4.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('neoclassical_transport.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
# Print regime information at r = a/2
r_mid = a / 2
for T in T_array:
result = neoclassical_diffusion(r_mid, R, B_0, n, T, Z=1, A=2)
print(f"\nAt T = {T/1e3:.0f} keV, r = {r_mid:.1f} m:")
print(f" Regime: {result['regime']}")
print(f" ν* = {result['nu_star']:.2f}")
print(f" D_nc / D_classical = {result['D_neoclassical']/result['D_classical']:.1f}")
요약¶
충돌 동역학은 무충돌 Vlasov 이론과 유체 기술 사이의 간격을 메웁니다:
Boltzmann 충돌 연산자: - 임의의 단면적을 가진 이진 충돌 설명 - 입자, 운동량, 에너지 보존이 내장됨 - H-정리: 엔트로피 증가, Maxwellian 평형으로 구동
Fokker-Planck 방정식: - Coulomb 충돌로 특수화: 많은 작은 각도 편향 - 동역학적 마찰 (항력) 및 속도 확산 - Rosenbluth potentials는 효율적인 계산 접근법 제공
시험 입자 동역학: - 감속: 빠른 입자에 대해 $dv/dt \propto -v^{-3}$ - 임계 속도는 전자 대 이온 가열을 분리 - 전기장이 Dreicer 한계를 초과할 때 도주 전자
Braginskii 수송: - 모멘트 접근법은 충돌 항이 있는 유체 방정식을 산출 - 평행 수송: 장 선을 따라 효율적 - 수직 수송: $(\omega_c \tau)^{-2} \sim 10^{-12}$ 인자로 억제 - 고전적 저항성: $\eta \propto T^{-3/2}$
Neoclassical 효과: - 토로이달 기하학이 바나나 궤도에 포획된 입자를 생성 - 세 regime: Pfirsch-Schlüter (높은 $\nu_*$), plateau, banana (낮은 $\nu_*$) - 고전적 수송 대비 향상: $q^2$ 또는 $\epsilon^{-3/2}$ 인자 - Bootstrap 전류: 압력 기울기로부터의 자가 생성 전류
이상 수송: - 실제 플라즈마는 고전적 예측의 100배 수송을 보임 - 충돌이 아닌 난류에 의해 발생 - 경험적 스케일링 법칙이 핵융합 반응로 설계를 안내
이러한 충돌 이론은 다음에 필수적입니다: - 핵융합 장치의 confinement 시간 예측 - 전류 구동 및 가열 메커니즘 이해 - 천체물리 플라즈마 분석 (태양 코로나, 강착 원반) - 진단 및 제어 시스템 설계
연습 문제¶
문제 1: 충돌 주파수¶
수소 플라즈마가 $n = 10^{19}$ m$^{-3}$, $T_e = T_i = 1$ keV를 가집니다.
(a) $\ln\Lambda = 15$를 사용하여 전자-전자 충돌 주파수 $\nu_{ee}$를 계산하시오.
(b) 전자-이온 충돌 주파수 $\nu_{ei}$를 계산하시오.
(c) 전자와 이온 사이의 에너지 평형화 시간 $\tau_{eq}$를 계산하시오.
(d) 충돌 시간을 플라즈마 주기 $2\pi/\omega_{pe}$ 및 1미터를 가로지르는 전자 열 통과 시간과 비교하시오. 이것이 플라즈마의 충돌성에 대해 무엇을 말합니까?
문제 2: 알파 입자 감속¶
3.5 MeV 알파 입자 (D-T 핵융합으로부터)가 $n = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, $T_e = 15$ keV, $T_i = 12$ keV를 가진 플라즈마에서 생성됩니다.
(a) 전자 및 이온 가열을 분리하는 임계 에너지 $E_c$를 계산하시오.
(b) 알파 에너지의 어느 비율이 전자 대 이온으로 갑니까?
(c) 생성 에너지에서 열 에너지까지의 감속 시간을 추정하시오.
(d) 에너지 confinement 시간이 $\tau_E = 3$ s인 경우, 알파가 손실되기 전에 열화될까요? 반응로에서 자체 가열에 대한 함의는 무엇입니까?
문제 3: 고전적 대 Neoclassical 수송¶
$R = 3$ m, $a = 1$ m, $B_0 = 2$ T, $n = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, $T_i = 5$ keV를 가진 토카막을 고려하시오.
(a) $r = 0.5$ m에서 중수소 이온에 대한 충돌성 $\nu_*$를 계산하시오.
(b) neoclassical regime (banana, plateau, 또는 Pfirsch-Schlüter)를 식별하시오.
(c) 비율 $D_{nc}/D_{classical}$을 계산하시오.
(d) 이상 수송이 $D_{anomalous} = 1$ m$^2$/s를 주는 경우, 이것이 고전적 및 neoclassical 예측과 어떻게 비교됩니까? 이것이 지배적인 수송 메커니즘에 대해 무엇을 말합니까?
문제 4: 수직 대 평행 수송¶
플라즈마가 $n = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T_e = 10$ keV, $B = 5$ T를 가집니다.
(a) 평행 열전도도 $\kappa_{\parallel,e}$를 계산하시오.
(b) 수직 열전도도 $\kappa_{\perp,e}$를 계산하시오.
(c) 장에 수직인 $dT/dx = 10^6$ K/m의 온도 기울기가 존재하는 경우, 교차장 열 플럭스는 무엇입니까?
(d) 장에 평행한 어떤 온도 기울기가 동일한 열 플럭스를 줄까요? 자기 confinement에서 온도 프로파일 제어에 대한 함의를 논의하시오.
문제 5: Bootstrap 전류¶
토카막이 $p(r) = p_0(1 - r^2/a^2)^2$, $p_0 = 5 \times 10^5$ Pa, $a = 2$ m의 압력 프로파일을 가집니다.
(a) $r = 1$ m에서 압력 기울기를 계산하시오.
(b) 근사 공식 $j_{bs} \sim \epsilon^{1/2}/(1+\epsilon^2) \cdot (n T/e B_p)(dp/dr)$를 사용하여 $r = 1$ m에서 bootstrap 전류 밀도를 추정하시오. $R = 6$ m, $B_p = 0.5$ T를 가정하시오.
(c) 전체 플라즈마 전류가 $I_p = 15$ MA인 경우, bootstrap 전류 비율을 추정하시오.
(d) 핵융합 반응로에 대해 높은 bootstrap 비율이 바람직한 이유는 무엇입니까?