2. Coulomb 충돌¶

학습 목표¶

전하 입자 간의 Coulomb 산란 물리를 이해하고 Rutherford 단면적 유도하기
전자-전자, 이온-이온, 전자-이온 상호작용에 대한 충돌 주파수 계산하기
Coulomb 로그를 유도하고 충돌 속도 결정에서의 역할 이해하기
Spitzer 저항률을 계산하고 온도 의존성 이해하기
Knudsen 수를 사용하여 충돌성 및 무충돌성 플라즈마 영역 구별하기
Python 도구를 적용하여 충돌 역학 및 수송 특성 분석하기

1. Coulomb 산란¶

1.1 이체 문제¶

전하 $q_1$과 $q_2$, 질량 $m_1$과 $m_2$를 가진 두 전하 입자가 Coulomb 힘을 통해 상호작용하는 경우를 고려합시다. 질량 중심 좌표계에서 이것은 환산 질량을 가진 단일 입자 문제로 축소됩니다:

$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$

입자는 Coulomb 퍼텐셜에서 움직입니다:

$$V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$$

1.2 산란 기하학¶

Scattering Geometry (Lab Frame):

              b (impact parameter)
              ↓
    ●→→→→→→→→→●→→→→→→→
   particle 1  ↑  scattered particle
            target
         (particle 2)

              χ = scattering angle

Classical orbit:
- Hyperbolic trajectory for repulsive force
- Deflection angle χ depends on impact parameter b
- Small b → large deflection
- Large b → small deflection

척력 Coulomb 상호작용($q_1 q_2 > 0$)의 경우, 산란각 $\chi$는 충격 매개변수 $b$와 다음 관계에 있습니다:

$$\tan\left(\frac{\chi}{2}\right) = \frac{b_{90}}{b}$$

여기서 $b_{90}$는 90° 산란의 충격 매개변수입니다:

$$b_{90} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{\mu v_0^2} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 E_{cm}}$$

여기서 $v_0$는 초기 상대 속도이고 $E_{cm} = \frac{1}{2}\mu v_0^2$는 질량 중심 운동 에너지입니다.

물리적 해석: $b_{90}$는 Coulomb 퍼텐셜 에너지가 운동 에너지와 같아지는 충격 매개변수입니다:

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2}{b_{90}} = \frac{1}{2}\mu v_0^2$$

1.3 Rutherford 단면적¶

미분 단면적은 각도 $\chi$에서 입체각 $d\Omega$으로 산란될 확률을 설명합니다:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{b_{90}}{2}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\chi/2)}$$

이것이 고전 산란 이론의 가장 중요한 결과 중 하나인 Rutherford 산란 공식입니다.

주요 특징: 1. 강한 전방 편향: $\chi \to 0$일 때 $d\sigma/d\Omega \to \infty$ (작은 각도 산란이 지배적) 2. 대칭성: $|\chi|$에만 의존 3. 발산: 전체 단면적 $\sigma_{total} = \int (d\sigma/d\Omega) d\Omega$가 발산!

발산은 다음과 같은 이유로 발생합니다: - 작은 각도 산란($\chi \ll 1$)이 지배적 - 장거리 Coulomb 힘은 임의로 큰 충격 매개변수를 허용 - 많은 약한 편향이 드문 큰 편향보다 더 중요

1.4 운동량 전달 단면적¶

수송 특성의 경우, $(1 - \cos\chi)$로 가중된 운동량 전달 단면적이 필요합니다:

$$\sigma_m = \int (1 - \cos\chi) \frac{d\sigma}{d\Omega} d\Omega$$

이 적분도 발산하지만, 발산은 더 완만합니다($\ln b_{max}$). Debye 차폐로 곧 이를 다루겠습니다.

2. Coulomb 로그¶

2.1 Coulomb 상호작용의 차단¶

Rutherford 공식은 무한 범위의 차폐되지 않은 Coulomb 퍼텐셜을 가정합니다. 플라즈마에서는 두 물리적 효과가 차단을 제공합니다:

1. 최대 충격 매개변수($b_{max}$): Debye 차폐

거리 $b > \lambda_D$에서 Coulomb 퍼텐셜은 지수적으로 차폐됩니다. 따라서:

$$b_{max} \sim \lambda_D = \sqrt{\frac{\epsilon_0 k_B T}{n e^2}}$$

2. 최소 충격 매개변수($b_{min}$): 고전적 최근접 거리 또는 양자 불확정성

최소 충격 매개변수는 다음 중 큰 값입니다:

(a) 고전적 최근접 $b_{90}$ (퍼텐셜 에너지가 운동 에너지와 같을 때)

(b) 양자 de Broglie 파장 $\lambda_{dB} = \hbar/(mv_{thermal})$ (파동 효과가 중요할 때)

대부분의 플라즈마의 경우, 고전적 한계가 지배합니다:

$$b_{min} \sim b_{90} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 \mu v_{th}^2}$$

여기서 $v_{th} = \sqrt{k_B T/m}$는 열속도입니다.

2.2 Coulomb 로그의 정의¶

Coulomb 로그는 다음과 같이 정의됩니다:

$$\ln\Lambda = \ln\left(\frac{b_{max}}{b_{min}}\right)$$

전자-이온 충돌의 경우:

$$\ln\Lambda_{ei} \approx \ln\left(\frac{12\pi n_e \lambda_D^3}{Z}\right)$$

$\lambda_D = \sqrt{\epsilon_0 k_B T_e/(n_e e^2)}$를 사용하면:

$$\ln\Lambda_{ei} \approx \begin{cases} 23 - \ln\left(\sqrt{n_e/10^6} \, Z \, T_e^{-3/2}\right) & T_e < 10 Z^2 \text{ eV} \\ 24 - \ln\left(\sqrt{n_e/10^6} \, T_e^{-1}\right) & T_e > 10 Z^2 \text{ eV} \end{cases}$$

여기서 $n_e$는 cm$^{-3}$ 단위이고 $T_e$는 eV 단위입니다.

일반적인 값: - 실험실 플라즈마: $\ln\Lambda \approx 10 - 15$ - 핵융합 플라즈마: $\ln\Lambda \approx 15 - 20$ - 천체물리 플라즈마: $\ln\Lambda \approx 20 - 30$

Physical Meaning of ln Λ:

ln Λ ≈ ln(number of particles in Debye sphere) ≈ ln(N_D)

    b_max ~ λ_D
       ↓
  ●───●───●───●     Debye sphere
  ●───●───●───●     contains ~N_D particles
  ●───●───●───●
       ↑
    b_min ~ b_90

ln Λ counts the "effective range" of Coulomb interactions
in units of logarithms (weak dependence on plasma parameters)

2.3 약한 로그 의존성¶

$\ln\Lambda$의 놀라운 특징은 플라즈마 매개변수에 대한 약한 의존성입니다. $n$과 $T$가 다른 플라즈마에서 많은 차수만큼 변하더라도 $\ln\Lambda$은 2-3배만 변합니다.

Plasma	$n$ [m$^{-3}$]	$T$ [eV]	$\ln\Lambda$
Tokamak core	$10^{20}$	10,000	17
Tokamak edge	$10^{19}$	100	15
Solar corona	$10^{14}$	100	19
Ionosphere	$10^{12}$	0.1	12
Glow discharge	$10^{16}$	2	10

이 약한 의존성 덕분에 많은 추정에서 $\ln\Lambda \approx 15$를 상수로 취급할 수 있습니다.

3. 충돌 주파수¶

3.1 운동량 전달 충돌 주파수¶

충돌 주파수 $\nu$는 입자가 운동량 변화 충돌을 겪는 속도입니다. 다음과 같이 정의됩니다:

$$\nu = n \sigma_m v_{th}$$

여기서 $\sigma_m$은 운동량 전달 단면적입니다.

Coulomb 충돌의 경우, 차단을 가진 Rutherford 공식을 적분하면:

$$\sigma_m \sim \pi b_{90}^2 \ln\Lambda$$

3.2 전자-이온 충돌 주파수¶

전자-이온 충돌 주파수는 다음과 같습니다:

$$\nu_{ei} = \frac{n_i Z^2 e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 m_e^2 v_e^3}$$

전자 열속도 $v_e = \sqrt{k_B T_e/m_e}$를 사용하면:

$$\nu_{ei} = \frac{n_i Z^2 e^4 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 m_e^{1/2} (k_B T_e)^{3/2}}$$

수치 공식:

$$\nu_{ei} \approx 2.91 \times 10^{-6} \, \frac{n_e[\text{m}^{-3}] \, Z \, \ln\Lambda}{T_e[\text{eV}]^{3/2}} \quad [\text{s}^{-1}]$$

주요 스케일링: $\nu_{ei} \propto n T^{-3/2}$

충돌은 밀도에 따라 증가(더 많은 표적)
충돌은 온도에 따라 급격히 감소(더 빠른 입자는 충돌 영역에서 더 적은 시간을 보냄)

3.3 전자-전자 충돌 주파수¶

같은 입자 충돌(전자-전자 또는 이온-이온)의 경우, 운동학이 다릅니다. 충돌 주파수는 다음과 같습니다:

$$\nu_{ee} \approx \nu_{ei}$$

(1차 수치 인수를 가진 동일한 차수).

더 정확하게:

$$\nu_{ee} = \frac{n_e e^4 \ln\Lambda}{8\pi\epsilon_0^2 m_e^{1/2} (k_B T_e)^{3/2}} \approx 1.45 \times 10^{-6} \, \frac{n_e[\text{m}^{-3}] \, \ln\Lambda}{T_e[\text{eV}]^{3/2}} \quad [\text{s}^{-1}]$$

3.4 이온-이온 충돌 주파수¶

마찬가지로 이온의 경우:

$$\nu_{ii} = \frac{n_i Z^4 e^4 \ln\Lambda}{8\pi\epsilon_0^2 m_i^{1/2} (k_B T_i)^{3/2}}$$

전자 충돌 주파수와의 비교:

$$\frac{\nu_{ii}}{\nu_{ei}} \sim \sqrt{\frac{m_e}{m_i}} \left(\frac{T_e}{T_i}\right)^{3/2}$$

$T_e \sim T_i$이고 수소 플라즈마의 경우:

$$\nu_{ii} \sim \frac{\nu_{ei}}{43}$$

이온은 전자보다 훨씬 덜 자주 충돌합니다(느린 열속도).

3.5 충돌 주파수의 순서¶

$T_e \sim T_i$이고 $m_i \gg m_e$인 일반적인 플라즈마의 경우:

$$\nu_{ee} \sim \nu_{ei} \gg \nu_{ie} \gg \nu_{ii}$$

여기서 $\nu_{ie}$는 이온-전자 충돌 주파수입니다.

물리적 해석: - 전자는 전자 및 이온과 자주 충돌 - 이온은 주로 이온과 충돌; 전자는 너무 빠르고 가벼워서 이온을 크게 편향시키지 못함 - 종 간의 운동량 및 에너지 교환은 느린 이온 시간 스케일에서 발생

4. Spitzer 저항률¶

4.1 충돌 주파수로부터의 유도¶

전기 저항률은 전류를 운반하는 전자와 정지해 있는 이온 사이의 운동량 전달로부터 발생합니다.

간단한 Drude 모델에서 전도도는 다음과 같습니다:

$$\sigma_{\parallel} = \frac{n_e e^2}{m_e \nu_{ei}}$$

Spitzer 저항률은 다음과 같습니다:

$$\eta = \frac{1}{\sigma_{\parallel}} = \frac{m_e \nu_{ei}}{n_e e^2}$$

$\nu_{ei}$를 대입하면:

$$\eta = \frac{Z \, m_e e^2 \ln\Lambda}{4\pi\epsilon_0^2 (k_B T_e)^{3/2}}$$

수치 공식:

$$\eta \approx 5.2 \times 10^{-5} \, \frac{Z \, \ln\Lambda}{T_e[\text{eV}]^{3/2}} \quad [\Omega \cdot \text{m}]$$

4.2 온도 의존성¶

핵심 결과는 강한 온도 의존성입니다:

$$\eta \propto T_e^{-3/2}$$

의미: - 뜨거운 플라즈마는 훌륭한 도체(낮은 저항률) - 저항률은 가열에 따라 급격히 감소 - 핵융합 플라즈마($T_e \sim 10$ keV)의 경우, $\eta \sim 10^{-8}$ Ω·m (실온 구리와 비슷!)

Resistivity vs Temperature:

η [Ω⋅m]
 ↑
10⁻⁴│         .
     │       .
10⁻⁵│      .
     │    .
10⁻⁶│   .
     │  .
10⁻⁷│ .
     │.
10⁻⁸│
     └─────────────────→ T_e [eV]
     10   100   1000  10000

Spitzer: η ∝ T^(-3/2)

4.3 충돌 가열¶

저항률은 전기 에너지를 열로 소산시킵니다. 출력 밀도는 다음과 같습니다:

$$P_{Ohmic} = \eta J^2 = \eta \frac{I^2}{A^2}$$

여기서 $J$는 전류 밀도이고 $I$는 총 전류입니다.

토카막에서 Ohmic 가열은 낮은 온도에서 지배적이지만 $T^{-3/2}$ 스케일링으로 인해 높은 $T$에서는 비효과적이 됩니다.

4.4 고전 저항률과의 비교¶

Spitzer 저항률을 고전 금속과 비교:

Material	$\eta$ [Ω·m] at 300 K
Copper	$1.7 \times 10^{-8}$
Aluminum	$2.7 \times 10^{-8}$
Plasma ($T_e=10$ keV)	$\sim 10^{-8}$

뜨거운 플라즈마는 금속만큼 전도성이 좋습니다! 그러나 물리적 메커니즘은 다릅니다: - 금속: 전자-포논 산란 - 플라즈마: 전자-이온 Coulomb 충돌

5. 평균 자유 경로 및 충돌성¶

5.1 평균 자유 경로¶

평균 자유 경로 $\lambda_{mfp}$는 입자가 충돌 사이에 이동하는 평균 거리입니다:

$$\lambda_{mfp} = \frac{v_{th}}{\nu}$$

전자의 경우:

$$\lambda_{mfp,e} = \frac{v_{te}}{\nu_{ei}} = \frac{\sqrt{k_B T_e/m_e}}{\nu_{ei}}$$

수치 추정:

$$\lambda_{mfp,e} \approx 3.44 \times 10^{11} \, \frac{T_e[\text{eV}]^2}{n_e[\text{m}^{-3}] \, Z \, \ln\Lambda} \quad [\text{m}]$$

5.2 Knudsen 수¶

Knudsen 수는 평균 자유 경로를 시스템 크기 $L$과 비교합니다:

$$Kn = \frac{\lambda_{mfp}}{L}$$

충돌성 영역:

충돌성(유체 유사): $Kn \ll 1$
시스템 크기 내에서 많은 충돌 발생
국소 열역학적 평형(LTE)
유체(MHD) 설명이 유효
무충돌성(운동학적): $Kn \gg 1$
시스템 크기 내에서 충돌이 거의 없거나 전혀 없음
분포 함수가 비Maxwellian
운동학적(Vlasov) 설명 필요
전이: $Kn \sim 1$
어느 한계도 적용 불가
모델링하기 가장 어려운 영역

5.3 예제¶

Tokamak 중심부: - $n_e = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T_e = 10$ keV, $L = 1$ m, $\ln\Lambda = 17$ - $\nu_{ei} \approx 1.7 \times 10^4$ s$^{-1}$ - $v_{te} \approx 4.2 \times 10^7$ m/s - $\lambda_{mfp} \approx 2500$ m $\gg L$ - $Kn \approx 2500$ → 무충돌성

자기권 플라즈마: - $n \sim 10^6$ m$^{-3}$, $T \sim 1$ keV, $L \sim 10^7$ m - $\lambda_{mfp} \sim 10^{15}$ m $\gg L$ - 극도로 무충돌성

글로우 방전: - $n \sim 10^{16}$ m$^{-3}$, $T \sim 2$ eV, $L \sim 0.1$ m - $\lambda_{mfp} \sim 1$ m $\gtrsim L$ - 전이 영역

6. 에너지 균등분배¶

6.1 종 간 에너지 교환¶

$T_e \ne T_i$일 때, 충돌을 통해 종 사이에 에너지가 전달됩니다. 에너지 교환 주파수는 다음과 같습니다:

$$\nu_{E,ei} = \frac{2m_e}{m_i} \nu_{ei}$$

인자 $2m_e/m_i \ll 1$은 질량이 매우 다른 입자 간 충돌에서의 비효율적인 에너지 전달을 반영합니다.

6.2 균등분배 시간¶

균등분배 시간은 온도가 평형을 이루는 시간입니다:

$$\tau_{eq} = \frac{1}{\nu_{E,ei}} = \frac{m_i}{2m_e \nu_{ei}}$$

수치 추정:

$$\tau_{eq} \approx 1.09 \times 10^{13} \, \frac{A \, T_e[\text{eV}]^{3/2}}{n_e[\text{m}^{-3}] \, Z \, \ln\Lambda} \quad [\text{s}]$$

여기서 $A$는 이온 질량수입니다.

토카막의 수소 플라즈마($A=1$)의 경우: - $n_e = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T_e = 10$ keV - $\tau_{eq} \approx 1$ s

이것은 에너지 제약 시간($\sim 0.1$ s)에 비해 길기 때문에 $T_e$와 $T_i$가 크게 다를 수 있습니다.

6.3 전자 대 이온 가열¶

핵융합 실험에서: - 전자 가열(예: ECRH, Ohmic): $T_e$를 직접 가열 - 이온 가열(예: 중성빔 주입, ICRH): $T_i$를 직접 가열

느린 균등분배($\tau_{eq} \gg \tau_E$)로 인해 $T_e$와 $T_i$의 별도 제어가 가능합니다. 일반적인 토카막 프로파일은 중심부에서 $T_e \gtrsim T_i$를 보여줍니다.

7. 계산 예제¶

7.1 충돌 주파수 계산기¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Constants
e = 1.602176634e-19
m_e = 9.1093837015e-31
m_p = 1.672621898e-27
epsilon_0 = 8.8541878128e-12
k_B = 1.380649e-23
eV_to_K = 11604.518

def coulomb_logarithm(n_e, T_e, Z=1):
    """
    Calculate Coulomb logarithm.

    Parameters:
    -----------
    n_e : float
        Electron density [m^-3]
    T_e : float
        Electron temperature [eV]
    Z : int
        Ion charge state

    Returns:
    --------
    ln_Lambda : float
        Coulomb logarithm
    """
    n_e_cgs = n_e * 1e-6  # Convert to cm^-3

    if T_e < 10 * Z**2:
        ln_Lambda = 23 - np.log(np.sqrt(n_e_cgs) * Z * T_e**(-1.5))
    else:
        ln_Lambda = 24 - np.log(np.sqrt(n_e_cgs) * T_e**(-1))

    return ln_Lambda

def nu_ei(n_e, T_e, Z=1, ln_Lambda=None):
    """
    Electron-ion collision frequency.

    Returns: frequency [s^-1]
    """
    if ln_Lambda is None:
        ln_Lambda = coulomb_logarithm(n_e, T_e, Z)

    return 2.91e-6 * n_e * Z * ln_Lambda / T_e**1.5

def nu_ee(n_e, T_e, ln_Lambda=None):
    """
    Electron-electron collision frequency.

    Returns: frequency [s^-1]
    """
    if ln_Lambda is None:
        ln_Lambda = coulomb_logarithm(n_e, T_e)

    return 1.45e-6 * n_e * ln_Lambda / T_e**1.5

def nu_ii(n_i, T_i, Z=1, A=1, ln_Lambda=None):
    """
    Ion-ion collision frequency.

    Returns: frequency [s^-1]
    """
    if ln_Lambda is None:
        ln_Lambda = coulomb_logarithm(n_i, T_i, Z)

    # Conversion factor
    factor = 1.45e-6 * np.sqrt(m_e / (A * m_p))
    return factor * n_i * Z**4 * ln_Lambda / T_i**1.5

def spitzer_resistivity(T_e, Z=1, ln_Lambda=None):
    """
    Spitzer resistivity.

    Parameters:
    -----------
    T_e : float
        Electron temperature [eV]
    Z : int
        Ion charge
    ln_Lambda : float, optional
        Coulomb logarithm

    Returns:
    --------
    eta : float
        Resistivity [Ohm*m]
    """
    if ln_Lambda is None:
        ln_Lambda = 15  # Typical value

    return 5.2e-5 * Z * ln_Lambda / T_e**1.5

def mean_free_path(n_e, T_e, Z=1, ln_Lambda=None):
    """
    Electron mean free path.

    Returns: lambda_mfp [m]
    """
    if ln_Lambda is None:
        ln_Lambda = coulomb_logarithm(n_e, T_e, Z)

    return 3.44e11 * T_e**2 / (n_e * Z * ln_Lambda)

# Demonstration
if __name__ == "__main__":
    print("="*70)
    print("COLLISION FREQUENCY ANALYSIS")
    print("="*70)

    # Example: Tokamak parameters
    n_e = 1e20  # m^-3
    T_e = 10000  # eV
    T_i = 8000   # eV
    Z = 1
    A = 2  # Deuterium

    ln_Lambda = coulomb_logarithm(n_e, T_e, Z)

    print(f"\nPlasma Parameters:")
    print(f"  n_e = {n_e:.2e} m^-3")
    print(f"  T_e = {T_e:.0f} eV")
    print(f"  T_i = {T_i:.0f} eV")
    print(f"  Z   = {Z}, A = {A}")
    print(f"  ln Λ = {ln_Lambda:.2f}")
    print("-"*70)

    nu_ei_val = nu_ei(n_e, T_e, Z, ln_Lambda)
    nu_ee_val = nu_ee(n_e, T_e, ln_Lambda)
    nu_ii_val = nu_ii(n_e, T_i, Z, A, ln_Lambda)

    print(f"\nCollision Frequencies:")
    print(f"  ν_ei = {nu_ei_val:.3e} s^-1  (period: {1/nu_ei_val:.3e} s)")
    print(f"  ν_ee = {nu_ee_val:.3e} s^-1  (period: {1/nu_ee_val:.3e} s)")
    print(f"  ν_ii = {nu_ii_val:.3e} s^-1  (period: {1/nu_ii_val:.3e} s)")
    print(f"  Ratio ν_ei/ν_ii = {nu_ei_val/nu_ii_val:.1f}")
    print("-"*70)

    eta = spitzer_resistivity(T_e, Z, ln_Lambda)
    print(f"\nSpitzer Resistivity:")
    print(f"  η = {eta:.3e} Ω·m")
    print(f"  (Copper at 300 K: 1.7e-8 Ω·m)")
    print("-"*70)

    lambda_mfp = mean_free_path(n_e, T_e, Z, ln_Lambda)
    v_te = np.sqrt(k_B * T_e * eV_to_K / m_e)

    print(f"\nMean Free Path:")
    print(f"  λ_mfp = {lambda_mfp:.2e} m")
    print(f"  v_te  = {v_te:.3e} m/s")
    print(f"  For system size L = 1 m:")
    print(f"    Knudsen number Kn = {lambda_mfp/1:.0f}")
    print(f"    Regime: {'Collisionless' if lambda_mfp > 1 else 'Collisional'}")
    print("-"*70)

    # Energy equipartition time
    tau_eq = (A * m_p) / (2 * m_e * nu_ei_val)
    print(f"\nEnergy Equipartition:")
    print(f"  τ_eq = {tau_eq:.3e} s = {tau_eq*1000:.1f} ms")
    print("="*70)

7.2 온도에 대한 저항률¶

def plot_resistivity_vs_temperature():
    """Plot Spitzer resistivity as a function of temperature."""

    T_vals = np.logspace(0, 4, 100)  # 1 eV to 10 keV
    Z_vals = [1, 2, 6]  # H, He, C

    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

    # Linear-log plot
    for Z in Z_vals:
        eta_vals = [spitzer_resistivity(T, Z, ln_Lambda=15) for T in T_vals]
        ax1.loglog(T_vals, eta_vals, linewidth=2, label=f'Z={Z}')

    # Add reference: T^(-3/2) scaling
    eta_ref = spitzer_resistivity(10, Z=1) * (T_vals/10)**(-1.5)
    ax1.loglog(T_vals, eta_ref, 'k--', alpha=0.5, linewidth=1.5,
               label=r'$\propto T^{-3/2}$')

    # Copper resistivity (room temp)
    ax1.axhline(y=1.7e-8, color='brown', linestyle=':', linewidth=2,
                label='Copper (300 K)')

    ax1.set_xlabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=12)
    ax1.set_ylabel(r'Resistivity $\eta$ [Ω·m]', fontsize=12)
    ax1.set_title('Spitzer Resistivity vs Temperature', fontsize=13, fontweight='bold')
    ax1.legend(fontsize=10)
    ax1.grid(True, alpha=0.3)
    ax1.set_xlim(1, 1e4)
    ax1.set_ylim(1e-9, 1e-4)

    # Conductivity plot
    for Z in Z_vals:
        sigma_vals = [1/spitzer_resistivity(T, Z, ln_Lambda=15) for T in T_vals]
        ax2.loglog(T_vals, sigma_vals, linewidth=2, label=f'Z={Z}')

    ax2.set_xlabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=12)
    ax2.set_ylabel(r'Conductivity $\sigma$ [S/m]', fontsize=12)
    ax2.set_title('Electrical Conductivity vs Temperature', fontsize=13, fontweight='bold')
    ax2.legend(fontsize=10)
    ax2.grid(True, alpha=0.3)
    ax2.set_xlim(1, 1e4)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('spitzer_resistivity.png', dpi=150)
    plt.show()

plot_resistivity_vs_temperature()

7.3 충돌 주파수 스케일링¶

def plot_collision_frequency_scaling():
    """Visualize scaling of collision frequencies with n and T."""

    fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

    # Scan 1: Vary density at fixed T
    n_vals = np.logspace(14, 22, 100)
    T_fixed = 100  # eV

    nu_ei_vals = [nu_ei(n, T_fixed) for n in n_vals]
    nu_ee_vals = [nu_ee(n, T_fixed) for n in n_vals]

    ax = axes[0, 0]
    ax.loglog(n_vals, nu_ei_vals, 'b-', linewidth=2, label=r'$\nu_{ei}$')
    ax.loglog(n_vals, nu_ee_vals, 'r--', linewidth=2, label=r'$\nu_{ee}$')
    ax.set_xlabel(r'Density $n_e$ [m$^{-3}$]', fontsize=11)
    ax.set_ylabel(r'Collision Frequency [s$^{-1}$]', fontsize=11)
    ax.set_title(f'Collision Frequency vs Density (T={T_fixed} eV)', fontsize=12)
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    # Scan 2: Vary temperature at fixed n
    T_vals = np.logspace(0, 4, 100)
    n_fixed = 1e19  # m^-3

    nu_ei_vals = [nu_ei(n_fixed, T) for T in T_vals]
    nu_ee_vals = [nu_ee(n_fixed, T) for T in T_vals]

    ax = axes[0, 1]
    ax.loglog(T_vals, nu_ei_vals, 'b-', linewidth=2, label=r'$\nu_{ei}$')
    ax.loglog(T_vals, nu_ee_vals, 'r--', linewidth=2, label=r'$\nu_{ee}$')

    # Reference line: T^(-3/2)
    nu_ref = nu_ei(n_fixed, 100) * (T_vals/100)**(-1.5)
    ax.loglog(T_vals, nu_ref, 'k:', linewidth=1.5, alpha=0.7,
              label=r'$\propto T^{-3/2}$')

    ax.set_xlabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=11)
    ax.set_ylabel(r'Collision Frequency [s$^{-1}$]', fontsize=11)
    ax.set_title(f'Collision Frequency vs Temperature (n={n_fixed:.0e} m⁻³)',
                 fontsize=12)
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    # Scan 3: Mean free path vs temperature
    lambda_vals = [mean_free_path(n_fixed, T) for T in T_vals]

    ax = axes[1, 0]
    ax.loglog(T_vals, lambda_vals, 'g-', linewidth=2)
    ax.axhline(y=1, color='red', linestyle='--', linewidth=1.5,
               label='L = 1 m (device size)')
    ax.set_xlabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=11)
    ax.set_ylabel(r'Mean Free Path $\lambda_{mfp}$ [m]', fontsize=11)
    ax.set_title(f'Mean Free Path vs Temperature (n={n_fixed:.0e} m⁻³)',
                 fontsize=12)
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    # Scan 4: Coulomb logarithm landscape
    n_range = np.logspace(14, 22, 50)
    T_range = np.logspace(0, 4, 50)
    N, T = np.meshgrid(n_range, T_range)

    ln_Lambda_map = np.zeros_like(N)
    for i in range(len(T_range)):
        for j in range(len(n_range)):
            ln_Lambda_map[i, j] = coulomb_logarithm(N[i, j], T[i, j])

    ax = axes[1, 1]
    contour = ax.contourf(N, T, ln_Lambda_map, levels=20, cmap='viridis')
    cbar = plt.colorbar(contour, ax=ax, label=r'$\ln\Lambda$')

    cs = ax.contour(N, T, ln_Lambda_map, levels=[10, 15, 20, 25],
                    colors='white', linewidths=1.5, alpha=0.7)
    ax.clabel(cs, inline=True, fontsize=9)

    ax.set_xlabel(r'Density $n_e$ [m$^{-3}$]', fontsize=11)
    ax.set_ylabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=11)
    ax.set_xscale('log')
    ax.set_yscale('log')
    ax.set_title('Coulomb Logarithm Landscape', fontsize=12, fontweight='bold')

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('collision_frequency_scaling.png', dpi=150)
    plt.show()

plot_collision_frequency_scaling()

7.4 충돌성 맵¶

def plot_collisionality_map():
    """
    Create a map showing collisional vs collisionless regimes
    for various system sizes.
    """
    n_range = np.logspace(14, 24, 100)
    T_range = np.logspace(0, 4, 100)
    N, T = np.meshgrid(n_range, T_range)

    # Mean free path
    lambda_mfp_map = 3.44e11 * T**2 / (N * 15)  # ln Λ ≈ 15

    fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 6))

    # Plot 1: Mean free path contours
    ax = axes[0]
    levels = [1e-3, 1e-2, 1e-1, 1, 10, 100, 1000, 1e4]
    contour = ax.contourf(N, T, lambda_mfp_map, levels=levels,
                          cmap='RdYlGn', norm=plt.matplotlib.colors.LogNorm())
    cbar = plt.colorbar(contour, ax=ax, label=r'Mean Free Path $\lambda_{mfp}$ [m]')

    cs = ax.contour(N, T, lambda_mfp_map, levels=levels,
                    colors='black', linewidths=1, alpha=0.4)
    ax.clabel(cs, inline=True, fontsize=9, fmt='%g m')

    # Mark typical system sizes
    system_sizes = {
        'Tokamak': 1,
        'Lab device': 0.1,
        'Magnetosphere': 1e7,
    }

    for name, L in system_sizes.items():
        # Line where lambda_mfp = L (Kn = 1)
        T_Kn1 = np.sqrt(N * 15 * L / 3.44e11)
        valid = (T_Kn1 >= T_range.min()) & (T_Kn1 <= T_range.max())
        ax.plot(N[valid], T_Kn1[valid], 'r--', linewidth=2.5, alpha=0.8)

        # Label
        idx = len(N) // 2
        if valid[idx]:
            ax.annotate(f'Kn=1 (L={L}m)', (N[idx], T_Kn1[idx]),
                       fontsize=10, color='red', fontweight='bold',
                       bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='white', alpha=0.8))

    ax.set_xlabel(r'Density $n_e$ [m$^{-3}$]', fontsize=12)
    ax.set_ylabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=12)
    ax.set_xscale('log')
    ax.set_yscale('log')
    ax.set_title('Mean Free Path Landscape', fontsize=13, fontweight='bold')
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    # Plot 2: Knudsen number for L=1m
    L_ref = 1.0  # m
    Kn_map = lambda_mfp_map / L_ref

    ax = axes[1]
    levels_Kn = [1e-3, 1e-2, 1e-1, 1, 10, 100, 1000]
    contour = ax.contourf(N, T, Kn_map, levels=levels_Kn,
                          cmap='coolwarm', norm=plt.matplotlib.colors.LogNorm())
    cbar = plt.colorbar(contour, ax=ax, label=f'Knudsen Number (L={L_ref}m)')

    # Mark Kn = 1 (boundary)
    cs_boundary = ax.contour(N, T, Kn_map, levels=[1],
                             colors='black', linewidths=3)
    ax.clabel(cs_boundary, inline=True, fontsize=12, fmt='Kn=1')

    # Shade regions
    ax.text(1e15, 1e3, 'Collisionless\n(Kn >> 1)',
           fontsize=14, ha='center', fontweight='bold',
           bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightblue', alpha=0.7))
    ax.text(1e23, 10, 'Collisional\n(Kn << 1)',
           fontsize=14, ha='center', fontweight='bold',
           bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightcoral', alpha=0.7))

    ax.set_xlabel(r'Density $n_e$ [m$^{-3}$]', fontsize=12)
    ax.set_ylabel(r'Temperature $T_e$ [eV]', fontsize=12)
    ax.set_xscale('log')
    ax.set_yscale('log')
    ax.set_title(f'Collisionality Regime (L={L_ref} m)', fontsize=13, fontweight='bold')
    ax.grid(True, alpha=0.3)

    plt.tight_layout()
    plt.savefig('collisionality_map.png', dpi=150)
    plt.show()

plot_collisionality_map()

요약¶

Coulomb 충돌은 전하 입자 간의 장거리 전자기 상호작용으로부터 발생하며 플라즈마 수송 및 역학에 심대한 영향을 미칩니다:

Rutherford 산란은 이진 Coulomb 충돌을 설명하며, 미분 단면적이 전방 방향으로 강하게 편향됩니다.
Coulomb 로그 $\ln\Lambda \approx 10-20$은 Debye 차폐(최대 충격 매개변수)와 양자/고전 효과(최소 충격 매개변수)를 고려하여 발산을 정규화합니다.
충돌 주파수는 $\nu \propto n T^{-3/2}$로 스케일되며, 전자는 낮은 질량으로 인해 이온보다 훨씬 더 자주 충돌합니다.
Spitzer 저항률 $\eta \propto T_e^{-3/2}$는 온도에 따라 급격히 감소하여 뜨거운 플라즈마를 훌륭한 도체로 만듭니다.
충돌성 영역은 Knudsen 수 $Kn = \lambda_{mfp}/L$로 특성화되며, 핵융합 플라즈마는 일반적으로 무충돌성($Kn \gg 1$)이고 운동학적 설명이 필요합니다.
에너지 균등분배는 전자와 이온 사이에서 느린 시간 스케일 $\tau_{eq} \sim (m_i/m_e)\nu_{ei}^{-1}$로 발생하여, 보조 가열 플라즈마에서 별도의 온도 진화를 허용합니다.

충돌 역학을 이해하는 것은 수송, 가열, 전류 구동, 그리고 운동학적 설명과 유체 설명 사이의 전이를 모델링하는 데 필수적입니다.

연습 문제¶

문제 1: 글로우 방전의 충돌 주파수¶

네온 글로우 방전이 $n_e = 10^{16}$ m$^{-3}$, $T_e = 2$ eV, $T_i = 0.05$ eV입니다.

(a) Coulomb 로그를 계산하세요.

(b) 전자-이온 충돌 주파수 $\nu_{ei}$와 충돌 주기를 계산하세요.

(d) 전자-전자 충돌 주파수를 계산하고 $\nu_{ei}$와 비교하세요.

문제 2: Tokamak의 Spitzer 저항률¶

다음 매개변수를 가진 중수소 토카막을 고려하세요: - 중심부: $n_e = 5 \times 10^{19}$ m$^{-3}$, $T_e = 12$ keV - 가장자리: $n_e = 2 \times 10^{18}$ m$^{-3}$, $T_e = 100$ eV

(a) 두 위치에서 Spitzer 저항률을 계산하세요.

(b) 전류 밀도 $J = 1$ MA/m$^2$가 중심부를 통과하면, Ohmic 가열 출력 밀도 $P = \eta J^2$를 계산하세요.

(d) 중심부와 가장자리 모두에 대해 10 m 토로이달 경로를 따라 전압 강하를 추정하세요.

문제 3: 온도 평형¶

전자 사이클로트론 공명 가열(ECRH) 시스템이 $n_e = 10^{20}$ m$^{-3}$, $T_e = 5$ keV, $T_i = 3$ keV, 부피 $V = 10$ m$^3$인 중수소 플라즈마의 전자에 1 MW를 주입합니다.

(a) 에너지 균등분배 시간 $\tau_{eq}$를 계산하세요.

(b) 전자에서 이온으로의 에너지 전달 속도(와트)를 추정하세요.

(d) 모든 입력 출력이 수송을 통해 손실된다고 가정하고 정상 상태 전자 및 이온 온도를 구하세요(복사 및 기타 손실 무시). 출력 균형이 다음을 준다는 사실을 사용하세요: $$P_{ECRH} = P_{ei} + P_{loss,e}$$ $$P_{ei} = P_{loss,i}$$ 여기서 $P_{ei} \propto (T_e - T_i)/\tau_{eq}$이고 $P_{loss} \propto 3nT/\tau_E$입니다.

문제 4: 충격 매개변수 추정¶

$T_e = 10$ eV와 $n_e = 10^{18}$ m$^{-3}$인 수소 플라즈마에서 전자-이온 충돌의 경우:

(a) Debye 길이 $\lambda_D$를 계산하세요.

(b) 열속도를 사용하여 90° 산란 충격 매개변수 $b_{90}$를 계산하세요.

(d) $\ln\Lambda = \ln(b_{max}/b_{min})$를 계산하고 표준 공식과 비교하세요.

문제 5: 충돌성 영역¶

축을 따라 $B = 0.5$ T인 자기화된 플라즈마 기둥이 길이 $L_\parallel = 2$ m와 반경 $r = 0.1$ m입니다.

(a) $n_e = 10^{18}$ m$^{-3}$과 $T_e = 50$ eV에 대해 평행 및 수직 평균 자유 경로를 계산하세요. (힌트: $\lambda_{\parallel} = v_{th,\parallel}/\nu$이고 $r_L \ll \lambda_{mfp}$이면 $\lambda_\perp \sim r_L$)

(b) Knudsen 수 $Kn_\parallel = \lambda_{mfp}/L_\parallel$과 $Kn_\perp = \lambda_{mfp}/r$를 계산하세요.

(d) $n_e = 10^{20}$ m$^{-3}$과 $T_e = 1$ keV에 대해 반복하세요. 충돌성이 어떻게 변합니까?

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