07. 푸리에 급수 (Fourier Series)

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07. 푸리에 급수 (Fourier Series)

학습 목표

  • 주기 함수(periodic function)를 삼각 함수의 급수로 분해하는 푸리에 급수의 개념과 수학적 기반(직교성)을 이해한다
  • 푸리에 계수 $a_0, a_n, b_n$을 계산하고, 구형파·톱니파 등 대표적인 파형에 적용할 수 있다
  • 디리클레 조건, 점별·균등 수렴, 깁스 현상(Gibbs phenomenon)을 이해하고, 수렴 거동을 분석할 수 있다
  • 반구간 전개(half-range expansion)와 파르세발 정리(Parseval's theorem)를 활용하여 물리 문제를 풀 수 있다
  • 진동하는 현, 열전도, 전자기파 등 물리학 응용에서 푸리에 급수가 핵심 도구로 쓰이는 방식을 이해한다

1. 푸리에 급수의 기본 개념

1.1 주기 함수와 직교성

주기 함수(periodic function)는 양의 상수 $T > 0$에 대해 다음을 만족하는 함수이다:

$$f(x + T) = f(x) \quad \text{for all } x$$

여기서 $T$를 주기(period)라 한다. 가장 작은 양의 주기를 기본 주기(fundamental period)라 부른다.

대표적인 주기 함수로는 $\sin x$ (주기 $2\pi$), $\cos x$ (주기 $2\pi$), $\tan x$ (주기 $\pi$) 등이 있다.

직교성(orthogonality)은 푸리에 급수의 핵심 개념이다. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 구간 $[a, b]$에서 직교(orthogonal)한다는 것은:

$$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = 0$$

이를 만족하는 것을 뜻한다. 이것은 벡터의 내적 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$인 직교 조건을 함수 공간으로 확장한 것이다.

1.2 삼각 함수의 직교성

구간 $[-\pi, \pi]$ (또는 임의의 한 주기 구간)에서 삼각 함수 집합 $\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots\}$는 서로 직교한다:

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \cos(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi & m = n \neq 0 \\ 2\pi & m = n = 0 \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi & m = n \neq 0 \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx = 0 \quad \text{(모든 } m, n \text{에 대해)}$$

이 직교 관계는 $\cos(mx)$와 $\sin(nx)$가 서로 다른 "방향"을 가리키는 기저 벡터(basis vector)와 같다는 것을 의미한다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 삼각 함수의 직교성 수치적 검증 ---
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000)
dx = x[1] - x[0]

# cos(mx) * cos(nx) 적분
print("=== cos(mx) * cos(nx) 직교성 검증 ===")
for m in range(0, 4):
    for n in range(0, 4):
        integral = np.trapz(np.cos(m * x) * np.cos(n * x), x)
        if abs(integral) > 1e-10:
            print(f"  m={m}, n={n}: {integral:.4f}")

# cos(mx) * sin(nx) 적분 (항상 0)
print("\n=== cos(mx) * sin(nx) 직교성 검증 ===")
for m in range(1, 4):
    for n in range(1, 4):
        integral = np.trapz(np.cos(m * x) * np.sin(n * x), x)
        print(f"  m={m}, n={n}: {integral:.6f}")  # 모두 ≈ 0

# 출력:
# === cos(mx) * cos(nx) 직교성 검증 ===
#   m=0, n=0: 6.2832  (= 2*pi)
#   m=1, n=1: 3.1416  (= pi)
#   m=2, n=2: 3.1416  (= pi)
#   m=3, n=3: 3.1416  (= pi)
# === cos(mx) * sin(nx) 직교성 검증 ===
#   m=1, n=1: 0.000000
#   ...

1.3 푸리에 급수의 정의

주기 $2\pi$인 함수 $f(x)$의 푸리에 급수(Fourier series)는:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right]$$

여기서 $a_0/2$는 $f(x)$의 평균값에 해당한다. 계수 $a_n$, $b_n$은 직교성을 이용하여 결정한다.

일반적으로 주기 $2L$인 함수에 대해서는:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \right]$$

2. 푸리에 계수 계산

2.1 $a_0$, $a_n$, $b_n$ 공식

직교성 관계를 이용하면, 주기 $2\pi$인 함수 $f(x)$의 푸리에 계수는:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \quad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$

유도 과정: 양변에 $\cos(mx)$를 곱하고 $[-\pi, \pi]$에서 적분하면, 직교성에 의해 $n = m$인 항만 남아:

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(mx) \, dx = a_m \cdot \pi \quad \Rightarrow \quad a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(mx) \, dx$$

$b_n$도 같은 방법으로 $\sin(mx)$를 곱하여 유도한다.

주기 $2L$인 함수의 경우:

$$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx, \quad b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$$

2.2 계산 예제: 구형파 (Square Wave)

주기 $2\pi$인 구형파(square wave)를 다음과 같이 정의하자:

$$f(x) = \begin{cases} 1 & 0 < x < \pi \\ -1 & -\pi < x < 0 \end{cases}$$

$f(x)$는 기함수(odd function)이므로 $a_0 = 0$, $a_n = 0$이다 (기함수 $\times$ 우함수 = 기함수이므로 대칭 구간에서 적분이 0).

$b_n$을 계산하면:

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}$$

$$= \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} & n \text{ 홀수} \\ 0 & n \text{ 짝수} \end{cases}$$

따라서 구형파의 푸리에 급수는:

$$f(x) = \frac{4}{\pi} \left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots \right) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sin\left[(2k+1)x\right]}{2k+1}$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 구형파의 푸리에 급수 수렴 시각화 ---
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 2000)

# 원래 구형파 (주기 2*pi)
square_wave = np.sign(np.sin(x))

# 푸리에 급수 부분합 (N항까지)
def fourier_square(x, N):
    """구형파의 푸리에 급수 부분합 (N개의 사인 항)"""
    result = np.zeros_like(x)
    for k in range(N):
        n = 2 * k + 1  # 홀수만
        result += np.sin(n * x) / n
    return (4 / np.pi) * result

fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 8))
terms = [1, 3, 10, 50]

for ax, N in zip(axes.flat, terms):
    ax.plot(x, square_wave, 'k--', alpha=0.3, linewidth=1, label='원래 함수')
    ax.plot(x, fourier_square(x, N), 'b-', linewidth=1.5, label=f'N={N}')
    ax.set_title(f'구형파 푸리에 급수: {N}항')
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('f(x)')
    ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
    ax.legend(loc='upper right')
    ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('fourier_square_wave.png', dpi=150)
plt.show()

2.3 계산 예제: 톱니파 (Sawtooth Wave)

주기 $2\pi$인 톱니파(sawtooth wave):

$$f(x) = x \quad (-\pi < x < \pi)$$

이것 역시 기함수이므로 $a_0 = 0$, $a_n = 0$이다.

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(nx) \, dx$$

부분적분을 수행하면:

$$= \frac{2}{\pi} \left[-\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \cdot \left(-\frac{\pi \cos(n\pi)}{n}\right) = -\frac{2 \cos(n\pi)}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$$

따라서:

$$f(x) = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import symbols, sin, cos, pi, integrate, simplify

# --- SymPy를 이용한 해석적 계수 계산 ---
x_sym, n_sym = symbols('x n', real=True)

# 톱니파의 b_n 계수
b_n_expr = (1 / pi) * integrate(x_sym * sin(n_sym * x_sym), (x_sym, -pi, pi))
print(f"b_n = {simplify(b_n_expr)}")
# 출력: b_n = -2*cos(pi*n)/n = 2*(-1)^(n+1)/n

# --- 톱니파 푸리에 급수 시각화 ---
x = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 2000)

# 원래 톱니파 (주기 2*pi)
sawtooth = x - 2 * np.pi * np.round(x / (2 * np.pi))

def fourier_sawtooth(x, N):
    """톱니파의 푸리에 급수 부분합"""
    result = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, N + 1):
        result += ((-1) ** (n + 1) / n) * np.sin(n * x)
    return 2 * result

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
ax.plot(x, sawtooth, 'k--', alpha=0.3, linewidth=1, label='원래 함수')
for N, color in [(3, 'blue'), (10, 'green'), (50, 'red')]:
    ax.plot(x, fourier_sawtooth(x, N), color=color, linewidth=1.2, label=f'N={N}')

ax.set_title('톱니파의 푸리에 급수')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('f(x)')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('fourier_sawtooth_wave.png', dpi=150)
plt.show()

3. 수렴과 깁스 현상

3.1 디리클레 조건 (Dirichlet Conditions)

함수 $f(x)$의 푸리에 급수가 수렴하기 위한 충분조건을 디리클레 조건(Dirichlet conditions)이라 한다:

  1. $f(x)$는 한 주기 내에서 유한 개의 불연속점만 갖는다
  2. $f(x)$는 한 주기 내에서 유한 개의 극값(maxima and minima)만 갖는다
  3. $\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)| \, dx < \infty$ (절대적분가능, absolutely integrable)

이 조건을 만족하면: - 연속인 점 $x$에서: 푸리에 급수는 $f(x)$로 수렴 - 불연속인 점 $x_0$에서: 푸리에 급수는 좌극한과 우극한의 산술평균으로 수렴

$$S(x_0) = \frac{f(x_0^+) + f(x_0^-)}{2}$$

물리과학에서 다루는 대부분의 함수는 디리클레 조건을 만족한다.

3.2 점별 수렴과 균등 수렴

점별 수렴(pointwise convergence): 각 점 $x$에서 개별적으로 $S_N(x) \to f(x)$

$$\forall x, \forall \varepsilon > 0, \exists N_0(x, \varepsilon): N > N_0 \Rightarrow |S_N(x) - f(x)| < \varepsilon$$

여기서 $N_0$가 $x$에 따라 달라질 수 있다.

균등 수렴(uniform convergence): 모든 점에서 동시에, $x$에 무관하게 수렴

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N_0(\varepsilon): N > N_0 \Rightarrow |S_N(x) - f(x)| < \varepsilon \quad \forall x$$

불연속점이 있는 함수의 푸리에 급수는 점별 수렴하지만 균등 수렴하지 않는다 (깁스 현상 때문). 연속이고 구간별 매끄러운(piecewise smooth) 함수의 푸리에 급수는 균등 수렴한다.

3.3 깁스 현상 (Gibbs Phenomenon)

불연속점 근처에서 푸리에 급수의 부분합은 원래 함수값을 약 9% 초과하여 진동(overshoot)하며, 이 초과분은 항의 수를 아무리 늘려도 사라지지 않는다. 이를 깁스 현상(Gibbs phenomenon)이라 한다.

정확한 초과 비율:

$$\text{overshoot} \approx \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \frac{\sin t}{t} \, dt - 1 \approx 0.0895 \approx 8.95\%$$

이것은 불연속의 크기(점프 크기)에 대한 비율이다. 구형파의 경우, 점프 크기가 2이므로 $S_N$의 최대 overshoot은 약 $1 + 2 \times 0.0895 = 1.179$이다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad

# --- 깁스 현상 시각화 ---
x = np.linspace(-0.5, 0.5, 5000)

def fourier_square_detail(x, N):
    """구형파의 부분합 (불연속점 x=0 근처 확대)"""
    result = np.zeros_like(x)
    for k in range(N):
        n = 2 * k + 1
        result += np.sin(n * x) / n
    return (4 / np.pi) * result

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# (좌) 다양한 N에 대한 불연속점 근처 거동
for N in [10, 50, 200, 1000]:
    axes[0].plot(x, fourier_square_detail(x, N), linewidth=1, label=f'N={N}')
axes[0].axhline(y=1, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
axes[0].axhline(y=-1, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
axes[0].set_title('깁스 현상: 불연속점(x=0) 근처')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('$S_N(x)$')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# (우) 이론적 overshoot 계산
# Si(pi) = integral_0^pi sin(t)/t dt
Si_pi, _ = quad(lambda t: np.sin(t) / t, 0, np.pi)
overshoot = 2 * Si_pi / np.pi - 1
print(f"이론적 overshoot: {overshoot:.4f} ({overshoot*100:.2f}%)")

# N에 따른 최대값 변화
N_values = np.arange(5, 505, 5)
max_values = []
x_fine = np.linspace(0.0001, 0.5, 10000)
for N in N_values:
    S_N = fourier_square_detail(x_fine, N)
    max_values.append(np.max(S_N))

axes[1].plot(N_values, max_values, 'b-', linewidth=1)
axes[1].axhline(y=1 + overshoot * 2, color='r', linestyle='--',
                label=f'이론값: {1 + overshoot*2:.4f}')
axes[1].axhline(y=1, color='k', linestyle='--', alpha=0.3)
axes[1].set_title('항의 수(N)에 따른 최대값')
axes[1].set_xlabel('N (항의 수)')
axes[1].set_ylabel('$\\max S_N(x)$')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('gibbs_phenomenon.png', dpi=150)
plt.show()

4. 반구간 전개와 대칭성

4.1 우함수와 코사인 급수

$f(x)$가 우함수(even function), 즉 $f(-x) = f(x)$이면:

  • $f(x) \sin(nx)$는 기함수이므로 $b_n = 0$
  • 푸리에 급수는 코사인 급수(cosine series)만 포함:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$$

$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$

예제: $f(x) = |x|$ (주기 $2\pi$)

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \, dx = \pi$$

$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos(nx) \, dx = \frac{2}{n^2\pi} (\cos(n\pi) - 1) = \begin{cases} -\frac{4}{n^2\pi} & n \text{ 홀수} \\ 0 & n \text{ 짝수} \end{cases}$$

$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{\cos 3x}{9} + \frac{\cos 5x}{25} + \cdots\right)$$

4.2 기함수와 사인 급수

$f(x)$가 기함수(odd function), 즉 $f(-x) = -f(x)$이면:

  • $f(x) \cos(nx)$는 기함수이므로 $a_n = 0$ (모든 $n \ge 0$)
  • 푸리에 급수는 사인 급수(sine series)만 포함:

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$$

$$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

앞에서 다룬 구형파와 톱니파가 바로 기함수의 사인 급수 예제이다.

4.3 반구간 전개 (Half-Range Expansion)

구간 $[0, L]$에서만 정의된 함수 $f(x)$를 전체 구간 $[-L, L]$로 확장하는 방법은 두 가지이다:

  1. 우함수 확장 (even extension): $f(-x) = f(x)$로 확장 → 코사인 급수
  2. 기함수 확장 (odd extension): $f(-x) = -f(x)$로 확장 → 사인 급수

물리 문제에서는 경계 조건에 따라 적절한 확장을 선택한다: - 디리클레 경계조건 ($f(0) = f(L) = 0$): 사인 급수 사용 - 노이만 경계조건 ($f'(0) = f'(L) = 0$): 코사인 급수 사용

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 반구간 전개 시각화 ---
# f(x) = x(pi - x), 0 < x < pi 에서 정의

x_half = np.linspace(0, np.pi, 500)
f_half = x_half * (np.pi - x_half)

# 우함수 확장 (코사인 급수)
def cosine_expansion(x, N):
    """f(x) = x(pi - x)의 코사인 급수"""
    # a_0 = (2/pi) * integral_0^pi x(pi-x) dx = pi^2/3
    a0 = np.pi**2 / 3
    result = a0 / 2 * np.ones_like(x)
    for n in range(1, N + 1):
        # a_n 계산: a_n = (2/pi) * integral_0^pi x(pi-x)*cos(nx) dx
        if n % 2 == 0:
            a_n = -4 / (n**2)
        else:
            a_n = -4 / (n**2)
        # 정확한 계산: a_n = -4/(n^2) (모든 n에 대해 -2(1 + (-1)^n)/(n^2))
        a_n = -2 * (1 + (-1)**n) / (n**2)
        result += a_n * np.cos(n * x)
    return result

# 기함수 확장 (사인 급수)
def sine_expansion(x, N):
    """f(x) = x(pi - x)의 사인 급수"""
    result = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, N + 1):
        # b_n = (2/pi) * integral_0^pi x(pi-x)*sin(nx) dx
        if n % 2 == 1:
            b_n = 8 / (n**3 * np.pi)
        else:
            b_n = 0
        result += b_n * np.sin(n * x)
    return result

x_full = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
N = 20

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# 우함수 확장
f_even = np.abs(x_full) * (np.pi - np.abs(x_full))
axes[0].plot(x_full, f_even, 'k--', alpha=0.3, label='우함수 확장 원본')
axes[0].plot(x_full, cosine_expansion(x_full, N), 'b-', label=f'코사인 급수 (N={N})')
axes[0].set_title('우함수 확장 → 코사인 급수')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 기함수 확장
f_odd = np.where(x_full >= 0,
                 x_full * (np.pi - x_full),
                 -(-x_full) * (np.pi - (-x_full)))
axes[1].plot(x_full, f_odd, 'k--', alpha=0.3, label='기함수 확장 원본')
axes[1].plot(x_full, sine_expansion(x_full, N), 'r-', label=f'사인 급수 (N={N})')
axes[1].set_title('기함수 확장 → 사인 급수')
axes[1].set_xlabel('x')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('half_range_expansion.png', dpi=150)
plt.show()

5. 파르세발 정리

5.1 에너지와 파르세발 등식

파르세발 정리(Parseval's theorem)는 함수의 "에너지"가 시간/공간 영역과 주파수 영역에서 동일하다는 것을 표현한다:

$$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$

물리적 해석: - 좌변: 한 주기에 걸친 함수의 "평균 제곱"(에너지에 비례) - 우변: 각 주파수 성분의 에너지(진폭의 제곱)의 합 - 전체 에너지는 각 주파수 성분의 에너지를 모두 합한 것과 같다

이것은 피타고라스 정리의 무한차원 확장이다: 벡터의 길이 제곱이 각 성분 제곱의 합인 것처럼, 함수의 "노름(norm) 제곱"은 각 푸리에 성분의 제곱합이다.

5.2 응용: 급수의 합 계산

파르세발 정리를 이용하면 특정 급수의 합을 계산할 수 있다.

예제 1: 구형파에 대한 파르세발 정리 적용

구형파 $f(x) = \pm 1$에 대해: - 좌변: $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, dx = 2$ - 우변: $\sum_{k=0}^{\infty} b_{2k+1}^2 = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{4}{(2k+1)\pi}\right)^2 = \frac{16}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2}$

따라서:

$$2 = \frac{16}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} \quad \Rightarrow \quad \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$$

이로부터 유명한 결과를 얻을 수 있다:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$$

(홀수 항의 합 $\pi^2/8$에 짝수 항의 합 $= \frac{1}{4}\sum 1/n^2$을 더하면 유도된다.)

예제 2: 톱니파 $f(x) = x$에 파르세발 정리 적용

$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{2\pi^2}{3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2} \quad \Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

import numpy as np

# --- 파르세발 정리 수치 검증 ---
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100000)
dx = x[1] - x[0]

# 구형파
f_square = np.sign(np.sin(x + 1e-15))
lhs = np.trapz(f_square**2, x) / np.pi
print(f"구형파 |f|^2 적분 / pi = {lhs:.6f}")

# 우변: 푸리에 계수의 제곱합
rhs = 0
for k in range(10000):
    n = 2 * k + 1
    b_n = 4 / (n * np.pi)
    rhs += b_n**2
print(f"sum b_n^2 = {rhs:.6f}")
print(f"오차: {abs(lhs - rhs):.2e}")

# 급수의 합 계산
series_sum = sum(1 / (2*k+1)**2 for k in range(100000))
print(f"\nsum 1/(2k+1)^2 = {series_sum:.10f}")
print(f"pi^2/8         = {np.pi**2/8:.10f}")

series_all = sum(1 / n**2 for n in range(1, 100001))
print(f"\nsum 1/n^2      = {series_all:.10f}")
print(f"pi^2/6         = {np.pi**2/6:.10f}")

# 출력:
# 구형파 |f|^2 적분 / pi = 2.000000
# sum b_n^2 = 1.999999
# 오차: 5.07e-05
# sum 1/(2k+1)^2 = 1.2337005501
# pi^2/8         = 1.2337005501
# sum 1/n^2      = 1.6449240669
# pi^2/6         = 1.6449340668

6. 복소 푸리에 급수

6.1 복소 지수 형태

오일러 공식 $e^{inx} = \cos(nx) + i\sin(nx)$를 이용하면, 푸리에 급수를 더 간결한 복소 지수(complex exponential) 형태로 쓸 수 있다:

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \, e^{inx}$$

여기서 복소 푸리에 계수 $c_n$은:

$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, e^{-inx} \, dx$$

실수 계수와의 관계:

$$c_0 = \frac{a_0}{2}, \quad c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}, \quad c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2} = c_n^* \quad (n > 0)$$

$f(x)$가 실수 함수이면 $c_{-n} = c_n^*$ (켤레복소수)이 성립한다.

복소 형태의 장점: - 수학적으로 더 간결하고 대칭적 - 양과 음의 주파수를 동시에 표현 - 연속 푸리에 변환(Fourier transform)으로의 자연스러운 확장

6.2 주파수 스펙트럼

주파수 스펙트럼(frequency spectrum)은 각 주파수 성분의 크기를 나타내는 그래프이다:

  • 진폭 스펙트럼(amplitude spectrum): $|c_n|$ vs. $n$
  • 위상 스펙트럼(phase spectrum): $\arg(c_n)$ vs. $n$
  • 파워 스펙트럼(power spectrum): $|c_n|^2$ vs. $n$

파르세발 정리의 복소 형태:

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 복소 푸리에 계수와 주파수 스펙트럼 ---
# 구형파, 톱니파, 삼각파의 스펙트럼 비교

x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000, endpoint=False)
dx = x[1] - x[0]

# 파형 정의
square = np.sign(np.sin(x + 1e-15))
sawtooth = x / np.pi  # 정규화
triangle = 1 - 2 * np.abs(x) / np.pi

# 복소 푸리에 계수 수치 계산
def compute_cn(f, x, n_max):
    """복소 푸리에 계수 c_n을 수치적으로 계산"""
    cn = {}
    for n in range(-n_max, n_max + 1):
        integrand = f * np.exp(-1j * n * x)
        cn[n] = np.trapz(integrand, x) / (2 * np.pi)
    return cn

n_max = 20
cn_square = compute_cn(square, x, n_max)
cn_sawtooth = compute_cn(sawtooth, x, n_max)
cn_triangle = compute_cn(triangle, x, n_max)

# 스펙트럼 시각화
fig, axes = plt.subplots(2, 3, figsize=(15, 8))
waveforms = [('구형파', cn_square), ('톱니파', cn_sawtooth), ('삼각파', cn_triangle)]

for j, (name, cn) in enumerate(waveforms):
    ns = sorted(cn.keys())
    amplitudes = [np.abs(cn[n]) for n in ns]
    phases = [np.angle(cn[n]) for n in ns]

    # 진폭 스펙트럼
    axes[0, j].stem(ns, amplitudes, linefmt='b-', markerfmt='bo', basefmt='k-')
    axes[0, j].set_title(f'{name} - 진폭 스펙트럼')
    axes[0, j].set_xlabel('n (주파수)')
    axes[0, j].set_ylabel('$|c_n|$')
    axes[0, j].grid(True, alpha=0.3)

    # 위상 스펙트럼
    # 진폭이 매우 작은 성분의 위상은 의미 없으므로 필터링
    significant = [n for n in ns if np.abs(cn[n]) > 1e-10]
    sig_phases = [np.angle(cn[n]) for n in significant]
    axes[1, j].stem(significant, sig_phases, linefmt='r-', markerfmt='ro', basefmt='k-')
    axes[1, j].set_title(f'{name} - 위상 스펙트럼')
    axes[1, j].set_xlabel('n (주파수)')
    axes[1, j].set_ylabel('$\\arg(c_n)$')
    axes[1, j].set_ylim(-np.pi - 0.3, np.pi + 0.3)
    axes[1, j].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('frequency_spectra.png', dpi=150)
plt.show()

7. 물리학 응용

7.1 진동하는 현 (Standing Waves)

양 끝이 고정된 길이 $L$의 현(string)의 진동은 파동 방정식(wave equation)으로 기술된다:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

경계 조건 $u(0, t) = u(L, t) = 0$과 초기 조건 $u(x, 0) = f(x)$, $\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0$이 주어지면, 변수분리법(separation of variables)에 의해:

$$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \cos\!\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)$$

여기서 $b_n$은 초기 변위 $f(x)$의 사인 급수(반구간 전개) 계수이다:

$$b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$$

물리적 의미: - $n = 1$: 기본 진동수(fundamental frequency) $f_1 = c/(2L)$ - $n = 2, 3, \ldots$: 고조파(harmonics) $f_n = n f_1$ - 각 $b_n$의 크기가 해당 고조파의 기여도를 결정

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# --- 진동하는 현: 초기 변위의 푸리에 분해 ---
L = 1.0  # 현의 길이
c = 1.0  # 파동 속도
N = 20   # 고조파 수

# 초기 변위: 삼각형 (중앙을 잡아당긴 형태)
def initial_displacement(x, L):
    """삼각형 초기 변위: 중앙에서 최대"""
    return np.where(x <= L/2, 2*x/L, 2*(L-x)/L)

# 사인 급수 계수 계산
x_int = np.linspace(0, L, 10000)
f_init = initial_displacement(x_int, L)

b_n = np.zeros(N + 1)
for n in range(1, N + 1):
    integrand = f_init * np.sin(n * np.pi * x_int / L)
    b_n[n] = 2 / L * np.trapz(integrand, x_int)

print("고조파 계수 b_n:")
for n in range(1, 8):
    print(f"  b_{n} = {b_n[n]:+.6f}")

# 시간 t에서의 변위
def string_displacement(x, t, b_n, L, c):
    u = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, len(b_n)):
        u += b_n[n] * np.sin(n * np.pi * x / L) * np.cos(n * np.pi * c * t / L)
    return u

# 여러 시점에서의 현의 모양 시각화
x = np.linspace(0, L, 500)
times = [0, 0.1, 0.25, 0.4, 0.5]

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

for t in times:
    u = string_displacement(x, t, b_n, L, c)
    axes[0].plot(x, u, label=f't = {t:.2f}')

axes[0].set_title('진동하는 현의 시간 변화')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('u(x, t)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 고조파 스펙트럼
axes[1].bar(range(1, N + 1), np.abs(b_n[1:]), color='steelblue', alpha=0.7)
axes[1].set_title('고조파 계수 $|b_n|$')
axes[1].set_xlabel('고조파 번호 n')
axes[1].set_ylabel('$|b_n|$')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('vibrating_string.png', dpi=150)
plt.show()

7.2 열전도 문제의 초기 조건

길이 $L$인 1차원 막대의 열 방정식(heat equation):

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

여기서 $\alpha$는 열확산율(thermal diffusivity)이다.

경계 조건 $u(0, t) = u(L, t) = 0$ (양 끝 온도 고정)과 초기 조건 $u(x, 0) = f(x)$에 대한 해:

$$u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \exp\!\left(-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}\right)$$

파동 방정식과 달리, 열 방정식에서는 고조파 성분이 $n^2$에 비례하는 속도로 지수적 감쇠(exponential decay)한다. 따라서: - 고주파 성분은 빠르게 소멸 - 시간이 지나면 기본 모드($n = 1$)만 남음 - 이것이 열이 "퍼지는" 현상의 수학적 표현

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 열전도 문제의 푸리에 급수 해 ---
L = 1.0
alpha = 0.01  # 열확산율

# 초기 온도 분포: 중앙에 집중된 열원
def initial_temp(x, L):
    """가우시안 형태의 초기 온도"""
    return np.exp(-50 * (x - L/2)**2)

# 사인 급수 계수
x_int = np.linspace(0, L, 10000)
f_init = initial_temp(x_int, L)
N = 50

b_n = np.zeros(N + 1)
for n in range(1, N + 1):
    integrand = f_init * np.sin(n * np.pi * x_int / L)
    b_n[n] = 2 / L * np.trapz(integrand, x_int)

# 열전도 해
def heat_solution(x, t, b_n, L, alpha):
    u = np.zeros_like(x)
    for n in range(1, len(b_n)):
        decay = np.exp(-n**2 * np.pi**2 * alpha * t / L**2)
        u += b_n[n] * np.sin(n * np.pi * x / L) * decay
    return u

# 시각화
x = np.linspace(0, L, 500)
times = [0, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0]

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

for t in times:
    u = heat_solution(x, t, b_n, L, alpha)
    axes[0].plot(x, u, label=f't = {t:.1f}')

axes[0].set_title('열전도: 온도 분포의 시간 변화')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('u(x, t)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 각 모드의 감쇠
t_range = np.linspace(0, 10, 200)
for n in [1, 2, 3, 5, 10]:
    decay = np.abs(b_n[n]) * np.exp(-n**2 * np.pi**2 * alpha * t_range / L**2)
    axes[1].plot(t_range, decay, label=f'n={n} (|b_{n}|={np.abs(b_n[n]):.3f})')

axes[1].set_title('고조파 모드의 지수적 감쇠')
axes[1].set_xlabel('시간 t')
axes[1].set_ylabel('$|b_n| e^{-n^2 \\pi^2 \\alpha t / L^2}$')
axes[1].legend()
axes[1].set_yscale('log')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('heat_conduction_fourier.png', dpi=150)
plt.show()

7.3 전자기파의 주파수 분석

주기적인 전자기 신호의 주파수 성분 분석은 푸리에 급수의 중요한 응용이다.

AM 변조 신호(Amplitude Modulated signal):

$$s(t) = [1 + m \cos(\omega_m t)] \cos(\omega_c t)$$

여기서 $\omega_c$는 반송파 주파수(carrier frequency), $\omega_m$은 변조 주파수(modulation frequency), $m$은 변조 지수(modulation index)이다.

삼각함수 곱을 전개하면:

$$s(t) = \cos(\omega_c t) + \frac{m}{2}\cos[(\omega_c + \omega_m)t] + \frac{m}{2}\cos[(\omega_c - \omega_m)t]$$

이처럼 시간 영역의 곱은 주파수 영역에서 합과 차의 주파수 성분으로 나타난다.

비주기적 펄스 열(pulse train)의 푸리에 급수:

주기 $T$, 폭 $\tau$인 구형 펄스 열:

$$f(t) = \frac{\tau}{T} + \frac{2}{T}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\pi\tau/T)}{n\pi/T} \cos\!\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)$$

여기서 $\text{sinc}$ 함수 모양의 포락선(envelope)이 주파수 스펙트럼을 결정한다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- 전자기파 주파수 분석 ---
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# (1) AM 변조 신호
t = np.linspace(0, 1, 10000)
fc = 50   # 반송파 주파수 (Hz)
fm = 5    # 변조 주파수 (Hz)
m = 0.7   # 변조 지수

signal = (1 + m * np.cos(2 * np.pi * fm * t)) * np.cos(2 * np.pi * fc * t)

axes[0, 0].plot(t[:2000], signal[:2000], 'b-', linewidth=0.5)
axes[0, 0].set_title('AM 변조 신호 (시간 영역)')
axes[0, 0].set_xlabel('시간 (s)')
axes[0, 0].set_ylabel('s(t)')
axes[0, 0].grid(True, alpha=0.3)

# FFT를 이용한 스펙트럼 분석
N_fft = len(t)
freq = np.fft.fftfreq(N_fft, d=t[1] - t[0])
S = np.fft.fft(signal) / N_fft

# 양의 주파수만 표시
pos_mask = freq > 0
axes[0, 1].plot(freq[pos_mask], 2 * np.abs(S[pos_mask]), 'r-', linewidth=1)
axes[0, 1].set_title('AM 변조 신호 (주파수 스펙트럼)')
axes[0, 1].set_xlabel('주파수 (Hz)')
axes[0, 1].set_ylabel('진폭')
axes[0, 1].set_xlim(0, 100)
axes[0, 1].grid(True, alpha=0.3)
# 반송파(fc), 상측파대(fc+fm), 하측파대(fc-fm) 표시
for f_label, label in [(fc, '$f_c$'), (fc+fm, '$f_c+f_m$'), (fc-fm, '$f_c-f_m$')]:
    axes[0, 1].axvline(x=f_label, color='gray', linestyle='--', alpha=0.5)
    axes[0, 1].text(f_label, 0.45, label, ha='center', fontsize=9)

# (2) 구형 펄스 열의 스펙트럼
T_pulse = 0.1    # 주기 (s)
tau = 0.02        # 펄스 폭 (s)
t2 = np.linspace(0, 0.5, 10000)

# 구형 펄스 열 생성
pulse_train = np.zeros_like(t2)
for k in range(int(0.5 / T_pulse) + 1):
    center = k * T_pulse
    pulse_train[(t2 >= center) & (t2 < center + tau)] = 1.0

axes[1, 0].plot(t2, pulse_train, 'b-', linewidth=1)
axes[1, 0].set_title(f'구형 펄스 열 (T={T_pulse}s, τ={tau}s)')
axes[1, 0].set_xlabel('시간 (s)')
axes[1, 0].set_ylabel('f(t)')
axes[1, 0].set_ylim(-0.2, 1.4)
axes[1, 0].grid(True, alpha=0.3)

# 구형 펄스 열의 FFT
N_fft2 = len(t2)
freq2 = np.fft.fftfreq(N_fft2, d=t2[1] - t2[0])
S2 = np.fft.fft(pulse_train) / N_fft2

pos_mask2 = freq2 > 0
axes[1, 1].stem(freq2[pos_mask2][:50], 2 * np.abs(S2[pos_mask2][:50]),
                linefmt='r-', markerfmt='ro', basefmt='k-')
axes[1, 1].set_title('구형 펄스 열의 주파수 스펙트럼')
axes[1, 1].set_xlabel('주파수 (Hz)')
axes[1, 1].set_ylabel('진폭')
axes[1, 1].grid(True, alpha=0.3)

# sinc 포락선 표시
f_env = np.linspace(0.1, freq2[pos_mask2][49], 500)
envelope = tau / T_pulse * np.abs(np.sinc(f_env * tau))
axes[1, 1].plot(f_env, 2 * envelope, 'b--', alpha=0.5, linewidth=2, label='sinc 포락선')
axes[1, 1].legend()

plt.tight_layout()
plt.savefig('em_wave_fourier.png', dpi=150)
plt.show()

연습 문제

문제 1: 푸리에 계수 계산

주기 $2\pi$인 함수 $f(x) = x^2$ ($-\pi < x < \pi$)의 푸리에 급수를 구하시오.

힌트: $f(x) = x^2$는 우함수이므로 코사인 급수만 남는다. 부분적분을 두 번 수행하라.

기대 결과: $x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$

문제 2: 파르세발 정리 응용

문제 1의 결과에 파르세발 정리를 적용하여 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$의 값을 구하시오.

힌트: $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4 \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum a_n^2$에서 출발하라.

기대 결과: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$

문제 3: 반구간 전개

구간 $[0, \pi]$에서 $f(x) = \cos x$를 사인 급수로 전개하시오.

힌트: 기함수 확장 후 $b_n$을 계산한다. $n = 1$일 때와 $n \neq 1$일 때를 구분하라.

문제 4: 깁스 현상 분석

톱니파 $f(x) = x$ ($-\pi < x < \pi$)의 푸리에 급수에서, $N$항 부분합의 $x = \pi$ 근처 overshoot이 $\text{Si}(\pi) \approx 1.8519$와 관련됨을 보이시오.

힌트: $S_N(x)$를 적분 형태로 쓰고, $x \to \pi^-$에서의 극한을 분석하라.

문제 5: 물리 응용 — 진동하는 현

길이 $L = 1$ m인 현이 $f(x) = A\sin(\pi x/L)\sin(3\pi x/L)$의 초기 변위를 갖고 정지 상태에서 놓아진다.

(a) 초기 변위를 사인 급수로 전개하시오. (곱을 차로 변환하는 삼각함수 공식 활용)

(b) $u(x, t)$를 구하고, 이 진동이 두 개의 정상파(standing wave)의 합임을 보이시오.

문제 6: 열전도

길이 $L$인 막대의 초기 온도가 $u(x, 0) = u_0$(상수)이고, $t > 0$에서 양 끝이 $0$°C로 유지된다.

(a) $u_0$의 사인 급수 전개를 구하시오.

(b) $t \to \infty$에서 온도가 0에 접근하는 속도를 분석하시오. (기본 모드의 감쇠 시간 상수 $\tau_1 = L^2 / (\pi^2 \alpha)$)

# --- 연습 문제 풀이 보조 코드 ---
import numpy as np
from sympy import symbols, cos, sin, pi, integrate, simplify, Rational

x, n = symbols('x n', real=True, positive=True)

# 문제 1: f(x) = x^2의 푸리에 계수
print("=== 문제 1: f(x) = x^2 ===")
a0 = (1 / pi) * integrate(x**2, (x, -pi, pi))
print(f"a_0 = {a0}")

a_n = (1 / pi) * integrate(x**2 * cos(n * x), (x, -pi, pi))
a_n_simplified = simplify(a_n)
print(f"a_n = {a_n_simplified}")

# 문제 2: 파르세발 정리 적용
print("\n=== 문제 2: 파르세발 정리 ===")
lhs = (1 / pi) * integrate(x**4, (x, -pi, pi))
print(f"(1/pi) * integral x^4 dx = {lhs}")

# a_0^2/2 + sum a_n^2 = 2*pi^4/5
# pi^4/9/2 + 16 * sum 1/n^4 = 2*pi^4/5
# => sum 1/n^4 = (2*pi^4/5 - pi^4/18) / 16 = pi^4/90
print(f"sum 1/n^4 = pi^4/90 = {float(pi**4/90):.10f}")
print(f"수치 검증: {sum(1/k**4 for k in range(1, 100001)):.10f}")

참고 자료

교재

  1. Boas, M. L. (2005). Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd ed., Chapter 7. Wiley.
  2. 본 레슨의 주요 참고서
  3. Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2012). Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Chapter 19. Academic Press.
  4. 보다 엄밀한 수학적 처리
  5. Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics, 10th ed., Chapters 11-12. Wiley.
  6. 공학적 관점의 푸리에 해석

온라인 자료

  1. 3Blue1Brown: But what is a Fourier series? — 직관적인 시각화
  2. MIT OCW 18.03: Fourier Series 강의
  3. Paul's Online Math Notes: Fourier Series 참고
  4. Wolfram MathWorld: Fourier Series 정의 및 공식

핵심 공식 요약

공식 수식
푸리에 급수 $f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)]$
$a_n$ $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx$
$b_n$ $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx$
복소 형태 $f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}$
파르세발 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum(a_n^2 + b_n^2)$

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06. 푸리에 변환 (Fourier Transforms)에서는 주기 함수에 국한된 푸리에 급수를 비주기 함수로 확장하는 푸리에 변환(Fourier transform)을 다룹니다. 연속 푸리에 변환, 이산 푸리에 변환(DFT), 고속 푸리에 변환(FFT), 그리고 컨볼루션 정리를 학습합니다.

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