01. 무한급수와 수렴 (Infinite Series and Convergence)

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01. 무한급수와 수렴 (Infinite Series and Convergence)

학습 목표

  • 급수의 수렴과 발산을 정의하고, 부분합(partial sum)을 통해 수렴을 판별할 수 있다
  • 비교 판정법, 비율 판정법, 근 판정법, 적분 판정법, 교대급수 판정법 등 주요 수렴 판정법을 적용할 수 있다
  • 멱급수 (power series) 의 수렴 반경을 구하고, 항별 미분/적분을 수행할 수 있다
  • 테일러 급수와 매클로린 급수를 이용하여 함수를 근사하고, 물리학 문제에 적용할 수 있다
  • 점근 급수 (asymptotic series) 와 스털링 근사의 개념을 이해하고 물리학적 응용에 활용할 수 있다

1. 급수의 기본 개념

1.1 수열과 급수

수열 (sequence) 은 자연수에서 실수(또는 복소수)로의 함수입니다:

$$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$$

수열 $\{a_n\}$이 특정 값 $L$에 수렴한다는 것은:

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

즉, $n$이 충분히 클 때 $a_n$이 $L$에 임의로 가까워진다는 의미입니다.

급수 (series) 는 수열의 항들의 합입니다:

$$S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$$

급수가 수렴하기 위한 필요조건: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

주의: 이것은 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다. 조화급수 $\sum(1/n)$은 $a_n \to 0$이지만 발산합니다.

1.2 부분합과 수렴

부분합 (partial sum) $S_N$은 급수의 처음 $N$개 항의 합입니다:

$$S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$$

급수의 수렴 (convergence): 부분합의 수열 $\{S_N\}$이 유한한 값 $S$에 수렴하면, 급수 $\sum a_n = S$로 수렴한다고 합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 예제: 기하급수 (geometric series)의 부분합
# sum_{n=0}^{inf} r^n = 1/(1-r)  (|r| < 1)

def geometric_partial_sums(r, N_max):
    """기하급수의 부분합을 계산합니다."""
    n_values = np.arange(N_max + 1)
    terms = r ** n_values
    partial_sums = np.cumsum(terms)
    return n_values, partial_sums

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# 수렴하는 경우: |r| < 1
r_conv = 0.5
n_vals, S_n = geometric_partial_sums(r_conv, 20)
exact = 1 / (1 - r_conv)
axes[0].plot(n_vals, S_n, 'bo-', markersize=4, label=f'S_N (r={r_conv})')
axes[0].axhline(y=exact, color='r', linestyle='--', label=f'S = {exact:.4f}')
axes[0].set_xlabel('N')
axes[0].set_ylabel('S_N')
axes[0].set_title(f'수렴하는 기하급수 (r = {r_conv})')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 조화급수 vs p-급수 비교
N_max = 100
n = np.arange(1, N_max + 1)
harmonic = np.cumsum(1.0 / n)           # p = 1 (발산)
p2_series = np.cumsum(1.0 / n**2)       # p = 2 (수렴)
p3_series = np.cumsum(1.0 / n**3)       # p = 3 (수렴)

axes[1].plot(n, harmonic, 'r-', label='p=1 (조화급수, 발산)')
axes[1].plot(n, p2_series, 'b-', label=f'p=2 (수렴, pi^2/6 = {np.pi**2/6:.4f})')
axes[1].plot(n, p3_series, 'g-', label='p=3 (수렴)')
axes[1].axhline(y=np.pi**2/6, color='b', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[1].set_xlabel('N')
axes[1].set_ylabel('S_N')
axes[1].set_title('p-급수 비교: sum(1/n^p)')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('series_convergence.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

핵심 급수 정리:

급수 수렴 조건 합 (수렴 시)
기하급수 $\sum r^n$ $|r| < 1$ $1/(1-r)$
p-급수 $\sum 1/n^p$ $p > 1$ $\zeta(p)$
조화급수 $\sum 1/n$ 발산 -

2. 수렴 판정법

2.1 비교 판정법 (Comparison Test)

$0 \leq a_n \leq b_n$ (충분히 큰 $n$에 대해) 이면:

  • $\sum b_n$ 수렴 $\Rightarrow$ $\sum a_n$ 수렴
  • $\sum a_n$ 발산 $\Rightarrow$ $\sum b_n$ 발산

극한 비교 판정법 (Limit Comparison Test): $a_n > 0$, $b_n > 0$이고

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L \quad (0 < L < \infty)$$

이면 $\sum a_n$과 $\sum b_n$은 동시에 수렴하거나 동시에 발산합니다.

2.2 비율 판정법 (Ratio Test)

$$\rho = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$

  • $\rho < 1$ 이면 절대 수렴 (absolutely convergent)
  • $\rho > 1$ 이면 발산
  • $\rho = 1$ 이면 판정 불능 (다른 판정법 사용)

물리학 팁: 비율 판정법은 팩토리얼이나 지수 함수가 포함된 급수에 특히 유용합니다.

2.3 근 판정법 (Root Test)

$$\rho = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

  • $\rho < 1$ 이면 절대 수렴
  • $\rho > 1$ 이면 발산
  • $\rho = 1$ 이면 판정 불능

2.4 적분 판정법 (Integral Test)

$f(x)$가 $[1, \infty)$에서 양수, 연속, 감소 함수이고 $f(n) = a_n$이면:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 과 } \int_1^{\infty} f(x) \, dx \text{ 는 동시에 수렴 또는 발산}$$

예제: p-급수의 수렴 조건 유도

$$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^{\infty}$$

$p > 1$이면 적분이 수렴하므로 $\sum(1/n^p)$도 수렴합니다.

2.5 교대급수 판정법 (Alternating Series Test)

교대급수 $\sum (-1)^n b_n$ ($b_n > 0$)이 다음 조건을 만족하면 수렴합니다:

  1. $b_{n+1} \leq b_n$ (단조감소)
  2. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

교대급수의 오차 한계: $|S - S_N| \leq b_{N+1}$ (다음 항의 절대값 이하)

import numpy as np
import sympy as sp

# 수렴 판정법 자동 적용 도구
def test_convergence(a_n_func, name="급수"):
    """주어진 급수에 대해 비율 판정법과 근 판정법을 적용합니다."""
    n = sp.Symbol('n', positive=True, integer=True)
    a_n = a_n_func(n)

    print(f"=== {name}: sum a_n, a_n = {a_n} ===\n")

    # 비율 판정법
    ratio = sp.simplify(a_n_func(n + 1) / a_n)
    rho_ratio = sp.limit(sp.Abs(ratio), n, sp.oo)
    print(f"비율 판정법: |a_(n+1)/a_n| -> {rho_ratio}")
    if rho_ratio < 1:
        print("  => 절대 수렴\n")
    elif rho_ratio > 1:
        print("  => 발산\n")
    else:
        print("  => 판정 불능\n")

    # 근 판정법
    root = sp.Abs(a_n) ** (sp.Rational(1, n))
    rho_root = sp.limit(root, n, sp.oo)
    print(f"근 판정법: |a_n|^(1/n) -> {rho_root}")
    if rho_root < 1:
        print("  => 절대 수렴\n")
    elif rho_root > 1:
        print("  => 발산\n")
    else:
        print("  => 판정 불능\n")

# 테스트 예제들
n = sp.Symbol('n', positive=True, integer=True)

# 1) sum n! / n^n  (수렴)
test_convergence(lambda n: sp.factorial(n) / n**n, "n!/n^n")

# 2) sum 1/n^2  (수렴)
test_convergence(lambda n: 1 / n**2, "1/n^2")

# 3) sum n^2 / 2^n  (수렴)
test_convergence(lambda n: n**2 / 2**n, "n^2/2^n")

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 교대급수 시각화: ln(2) = sum_{n=1}^{inf} (-1)^{n+1} / n
N = 30
n = np.arange(1, N + 1)
terms = (-1.0) ** (n + 1) / n
partial_sums = np.cumsum(terms)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(n, partial_sums, 'bo-', markersize=5, label='부분합 S_N')
plt.axhline(y=np.log(2), color='r', linestyle='--',
            label=f'ln(2) = {np.log(2):.6f}')

# 오차 범위 표시
for i in range(len(n)):
    error_bound = 1.0 / (n[i] + 1)
    plt.plot([n[i], n[i]],
             [partial_sums[i] - error_bound, partial_sums[i] + error_bound],
             'g-', alpha=0.3, linewidth=2)

plt.xlabel('N')
plt.ylabel('S_N')
plt.title('교대급수: ln(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig('alternating_series.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

3. 멱급수 (Power Series)

3.1 수렴 반경

멱급수 (power series) 는 다음과 같은 형태의 급수입니다:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$$

여기서 $a$는 전개 중심 (center), $c_n$은 계수 (coefficients) 입니다.

수렴 반경 (radius of convergence) $R$:

$$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| \quad \text{또는} \quad R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} |c_n|^{1/n}}$$

  • $|x - a| < R$ 이면 절대 수렴
  • $|x - a| > R$ 이면 발산
  • $|x - a| = R$ 이면 별도 조사 필요

수렴 구간 (interval of convergence):

      발산        수렴         발산
  -------|========|========|--------->  x
        a-R       a       a+R
         <---- R ---->

3.2 항별 미분과 적분

수렴 구간 내에서, 멱급수는 항별 미분 (term-by-term differentiation) 과 항별 적분 (term-by-term integration) 이 가능합니다:

$$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot c_n \cdot (x-a)^{n-1}$$

$$\int f(x) \, dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n \cdot (x-a)^{n+1}}{n+1}$$

미분과 적분 후에도 수렴 반경은 동일합니다 (경계점 수렴 여부는 달라질 수 있음).

import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')

# 멱급수의 수렴 반경 계산 예제
print("=== 멱급수의 수렴 반경 ===\n")

# 1) sum x^n / n!  (지수함수)
n = sp.Symbol('n', positive=True, integer=True)
c_n = 1 / sp.factorial(n)
c_n1 = 1 / sp.factorial(n + 1)
R1 = sp.limit(sp.Abs(c_n / c_n1), n, sp.oo)
print(f"sum x^n/n!: R = {R1}  (모든 x에서 수렴)")

# 2) sum n * x^n  (R = 1)
c_n = n
c_n1 = n + 1
R2 = sp.limit(sp.Abs(c_n / c_n1), n, sp.oo)
print(f"sum n*x^n: R = {R2}")

# 3) sum n! * x^n  (R = 0, x=0에서만 수렴)
c_n = sp.factorial(n)
c_n1 = sp.factorial(n + 1)
R3 = sp.limit(sp.Abs(c_n / c_n1), n, sp.oo)
print(f"sum n!*x^n: R = {R3}  (x=0에서만 수렴)")

# 항별 미분 시각화
print("\n=== 항별 미분: d/dx [1/(1-x)] = 1/(1-x)^2 ===")
# 1/(1-x) = sum x^n  =>  미분하면  1/(1-x)^2 = sum n*x^{n-1}
x_vals = np.linspace(-0.9, 0.9, 200)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# 원래 함수와 급수
for N in [3, 5, 10, 20]:
    series_sum = sum(x_vals**k for k in range(N))
    axes[0].plot(x_vals, series_sum, alpha=0.7, label=f'N={N}')

axes[0].plot(x_vals, 1/(1-x_vals), 'k--', linewidth=2, label='1/(1-x)')
axes[0].set_ylim(-5, 15)
axes[0].set_title('1/(1-x) = sum x^n')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 미분한 함수와 급수
for N in [3, 5, 10, 20]:
    deriv_sum = sum(k * x_vals**(k-1) for k in range(1, N))
    axes[1].plot(x_vals, deriv_sum, alpha=0.7, label=f'N={N}')

axes[1].plot(x_vals, 1/(1-x_vals)**2, 'k--', linewidth=2, label='1/(1-x)^2')
axes[1].set_ylim(-5, 30)
axes[1].set_title('1/(1-x)^2 = sum n*x^{n-1}')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('power_series_differentiation.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

4. 테일러 급수와 매클로린 급수

4.1 테일러 전개

함수 $f(x)$가 $x = a$ 근방에서 무한 번 미분가능하면, 테일러 급수 (Taylor series) 로 전개할 수 있습니다:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$$

$$= f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

$a = 0$인 경우를 매클로린 급수 (Maclaurin series) 라고 합니다.

테일러 나머지 (remainder) $R_N$: $N$차까지 전개한 후의 오차

$$R_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!} (x-a)^{N+1} \quad \text{(라그랑주 나머지, } a < c < x\text{)}$$

4.2 주요 함수의 급수 표현

물리학에서 가장 빈번하게 사용되는 급수 전개:

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \text{(모든 } x\text{)}$$

$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \quad \text{(모든 } x\text{)}$$

$$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \quad \text{(모든 } x\text{)}$$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (-1 < x \leq 1)$$

$$(1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2!} x^2 + \cdots \quad (|x| < 1, \text{ 이항급수})$$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x| < 1)$$

$$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots \quad (|x| \leq 1)$$

import numpy as np
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

# SymPy를 이용한 테일러 전개
x = sp.Symbol('x')

functions = {
    'e^x': sp.exp(x),
    'sin(x)': sp.sin(x),
    'cos(x)': sp.cos(x),
    'ln(1+x)': sp.ln(1 + x),
}

print("=== 주요 함수의 테일러 급수 (a=0, 6차까지) ===\n")
for name, func in functions.items():
    taylor = sp.series(func, x, 0, n=7)
    print(f"{name} = {taylor}\n")

# 테일러 급수의 수렴 시각화
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(12, 10))

x_vals = np.linspace(-2 * np.pi, 2 * np.pi, 500)

# sin(x)의 테일러 근사
ax = axes[0, 0]
ax.plot(x_vals, np.sin(x_vals), 'k-', linewidth=2, label='sin(x)')
for N in [1, 3, 5, 7, 9]:
    approx = sum((-1)**k * x_vals**(2*k+1) / np.math.factorial(2*k+1)
                 for k in range(N))
    ax.plot(x_vals, approx, alpha=0.7, label=f'{2*N-1}차')
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_title('sin(x)의 테일러 근사')
ax.legend(fontsize=8)
ax.grid(True, alpha=0.3)

# cos(x)의 테일러 근사
ax = axes[0, 1]
ax.plot(x_vals, np.cos(x_vals), 'k-', linewidth=2, label='cos(x)')
for N in [1, 2, 4, 6, 8]:
    approx = sum((-1)**k * x_vals**(2*k) / np.math.factorial(2*k)
                 for k in range(N))
    ax.plot(x_vals, approx, alpha=0.7, label=f'{2*N-2}차')
ax.set_ylim(-2, 2)
ax.set_title('cos(x)의 테일러 근사')
ax.legend(fontsize=8)
ax.grid(True, alpha=0.3)

# e^x의 테일러 근사
x_exp = np.linspace(-3, 3, 300)
ax = axes[1, 0]
ax.plot(x_exp, np.exp(x_exp), 'k-', linewidth=2, label='e^x')
for N in [1, 2, 4, 6, 10]:
    approx = sum(x_exp**k / np.math.factorial(k) for k in range(N + 1))
    ax.plot(x_exp, approx, alpha=0.7, label=f'{N}차')
ax.set_ylim(-5, 20)
ax.set_title('e^x의 테일러 근사')
ax.legend(fontsize=8)
ax.grid(True, alpha=0.3)

# ln(1+x)의 테일러 근사
x_ln = np.linspace(-0.95, 2, 300)
ax = axes[1, 1]
ax.plot(x_ln, np.log(1 + x_ln), 'k-', linewidth=2, label='ln(1+x)')
for N in [1, 3, 5, 10, 20]:
    x_series = np.linspace(-0.95, 0.95, 300)  # 수렴 구간 내
    approx = sum((-1)**(k+1) * x_series**k / k for k in range(1, N + 1))
    ax.plot(x_series, approx, alpha=0.7, label=f'{N}차')
ax.axvline(x=1, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5, label='x=1 (경계)')
ax.axvline(x=-1, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5, label='x=-1 (경계)')
ax.set_ylim(-4, 2)
ax.set_title('ln(1+x)의 테일러 근사')
ax.legend(fontsize=8)
ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('taylor_series_visualization.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

4.3 급수를 이용한 근사

물리학에서 급수 전개의 가장 중요한 응용은 소량 근사 (small-quantity approximation) 입니다.

$\epsilon \ll 1$ 일 때:

$$(1 + \epsilon)^p \approx 1 + p\epsilon + \frac{p(p-1)}{2} \epsilon^2 + \cdots$$

$$e^\epsilon \approx 1 + \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2} + \cdots$$

$$\sin(\epsilon) \approx \epsilon - \frac{\epsilon^3}{6} + \cdots$$

$$\cos(\epsilon) \approx 1 - \frac{\epsilon^2}{2} + \cdots$$

$$\tan(\epsilon) \approx \epsilon + \frac{\epsilon^3}{3} + \cdots$$

$$\frac{1}{1+\epsilon} \approx 1 - \epsilon + \epsilon^2 - \cdots$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 소량 근사의 정확도 비교
epsilon = np.linspace(0, 1, 100)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# sqrt(1 + epsilon) = (1+epsilon)^{1/2} 의 근사
exact = np.sqrt(1 + epsilon)
order1 = 1 + epsilon / 2                       # 1차 근사
order2 = 1 + epsilon / 2 - epsilon**2 / 8      # 2차 근사
order3 = 1 + epsilon/2 - epsilon**2/8 + epsilon**3/16  # 3차

axes[0].plot(epsilon, exact, 'k-', linewidth=2, label='정확값')
axes[0].plot(epsilon, order1, 'b--', label='1차: 1 + e/2')
axes[0].plot(epsilon, order2, 'r--', label='2차: 1 + e/2 - e^2/8')
axes[0].plot(epsilon, order3, 'g--', label='3차')
axes[0].set_xlabel('epsilon')
axes[0].set_ylabel('sqrt(1 + epsilon)')
axes[0].set_title('이항급수 근사: (1+e)^{1/2}')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 상대 오차
rel_err1 = np.abs(order1 - exact) / exact * 100
rel_err2 = np.abs(order2 - exact) / exact * 100
rel_err3 = np.abs(order3 - exact) / exact * 100

axes[1].semilogy(epsilon, rel_err1, 'b-', label='1차 근사')
axes[1].semilogy(epsilon, rel_err2, 'r-', label='2차 근사')
axes[1].semilogy(epsilon, rel_err3, 'g-', label='3차 근사')
axes[1].set_xlabel('epsilon')
axes[1].set_ylabel('상대 오차 (%)')
axes[1].set_title('근사 차수에 따른 상대 오차')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('approximation_error.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

5. 점근 급수 (Asymptotic Series)

5.1 발산하지만 유용한 급수

점근 급수 (asymptotic series) 는 무한히 더해 나가면 발산하지만, 유한한 항까지의 부분합이 함수의 훌륭한 근사를 제공하는 급수입니다.

함수 $f(x)$에 대한 점근 전개:

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{x^n} \quad (x \to \infty)$$

이것은 $N$개 항까지의 부분합에 대해 다음이 성립한다는 의미입니다:

$$\lim_{x \to \infty} x^N \left[f(x) - \sum_{n=0}^{N} \frac{a_n}{x^n}\right] = 0 \quad \text{(각 } N\text{에 대해)}$$

핵심: 급수 전체는 발산하지만, 최적 항 수 (optimal truncation) 에서 끊으면 매우 좋은 근사를 얻습니다. 일반적으로 항들의 크기가 감소하다가 다시 증가하기 시작하는 지점에서 끊는 것이 최적입니다.

5.2 스털링 근사

스털링 근사 (Stirling's approximation) 는 팩토리얼의 점근 근사입니다:

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \quad (n \to \infty)$$

$$\ln(n!) \sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)$$

이 근사는 통계역학에서 볼츠만 엔트로피 계산, 조합론적 문제 등에 핵심적으로 사용됩니다.

더 정밀한 스털링 급수:

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} + \cdots\right)$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma, factorial

# 스털링 근사의 정확도
n_vals = np.arange(1, 51)

# 정확한 ln(n!)
exact_lnfact = np.array([np.sum(np.log(np.arange(1, n+1))) for n in n_vals])

# 스털링 근사 (여러 차수)
stirling_0 = n_vals * np.log(n_vals) - n_vals  # 가장 간단한 형태
stirling_1 = stirling_0 + 0.5 * np.log(2 * np.pi * n_vals)  # 1차 보정
stirling_2 = stirling_1 + 1 / (12 * n_vals)  # 2차 보정

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# 절대값 비교
axes[0].plot(n_vals, exact_lnfact, 'k-', linewidth=2, label='ln(n!) 정확값')
axes[0].plot(n_vals, stirling_0, 'b--', label='n*ln(n) - n')
axes[0].plot(n_vals, stirling_1, 'r--', label='+ (1/2)ln(2*pi*n)')
axes[0].set_xlabel('n')
axes[0].set_ylabel('ln(n!)')
axes[0].set_title('스털링 근사')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 상대 오차
rel_err0 = np.abs(stirling_0 - exact_lnfact) / exact_lnfact * 100
rel_err1 = np.abs(stirling_1 - exact_lnfact) / exact_lnfact * 100
rel_err2 = np.abs(stirling_2 - exact_lnfact) / exact_lnfact * 100

axes[1].semilogy(n_vals, rel_err0, 'b-', label='0차: n*ln(n)-n')
axes[1].semilogy(n_vals, rel_err1, 'r-', label='1차: + ln(sqrt(2*pi*n))')
axes[1].semilogy(n_vals, rel_err2, 'g-', label='2차: + 1/(12n)')
axes[1].set_xlabel('n')
axes[1].set_ylabel('상대 오차 (%)')
axes[1].set_title('스털링 근사의 상대 오차')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('stirling_approximation.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# 통계역학 응용: 볼츠만 엔트로피
print("=== 통계역학 응용: 이상기체 엔트로피 ===\n")
print("N개 입자가 W개 미시상태를 가질 때:")
print("S = k_B * ln(W)")
print("스털링 근사를 사용하면:")
print("ln(N!) ~ N*ln(N) - N")
print()
print("예: N = 10^23 (아보가드로 수 규모)")
N = 1e23
print(f"ln(N!) ~ N*ln(N) - N = {N * np.log(N) - N:.4e}")
print("직접 계산은 불가능하지만, 스털링 근사로 쉽게 계산 가능!")

6. 물리학에서의 응용

6.1 진자의 주기 (급수 전개)

단진자의 정확한 주기는 완전 타원 적분으로 주어집니다:

$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} K\left(\sin\frac{\theta_0}{2}\right)$$

여기서 $K(k)$는 제1종 완전 타원 적분입니다. 이를 급수로 전개하면:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \left[1 + \frac{1}{4}\sin^2\frac{\theta_0}{2} + \frac{9}{64}\sin^4\frac{\theta_0}{2} + \cdots\right]$$

$$\approx T_0 \left[1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\theta_0^4}{3072} + \cdots\right]$$

여기서 $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$는 소각 근사에서의 주기입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import ellipk

# 단진자의 주기: 정확값 vs 급수 근사
g = 9.81  # m/s^2
L = 1.0   # m
T0 = 2 * np.pi * np.sqrt(L / g)  # 소각 근사 주기

theta0 = np.linspace(0.01, np.pi * 0.95, 200)  # 초기 각도 (rad)
k = np.sin(theta0 / 2)

# 정확한 주기 (완전 타원 적분)
T_exact = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(k**2)

# 급수 근사 (소각 근사부터 고차항까지)
T_approx0 = T0 * np.ones_like(theta0)                          # 0차 (소각)
T_approx2 = T0 * (1 + (1/4) * k**2)                           # 2차
T_approx4 = T0 * (1 + (1/4)*k**2 + (9/64)*k**4)               # 4차
T_approx6 = T0 * (1 + (1/4)*k**2 + (9/64)*k**4 + (25/256)*k**6)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# 주기 비교
theta_deg = np.degrees(theta0)
axes[0].plot(theta_deg, T_exact / T0, 'k-', linewidth=2, label='정확값')
axes[0].plot(theta_deg, T_approx0 / T0, 'b--', label='0차 (소각근사)')
axes[0].plot(theta_deg, T_approx2 / T0, 'r--', label='2차 보정')
axes[0].plot(theta_deg, T_approx4 / T0, 'g--', label='4차 보정')
axes[0].plot(theta_deg, T_approx6 / T0, 'm--', label='6차 보정')
axes[0].set_xlabel('초기 각도 (도)')
axes[0].set_ylabel('T / T_0')
axes[0].set_title('단진자 주기: 급수 전개 근사')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 상대 오차
axes[1].semilogy(theta_deg, np.abs(T_approx0 - T_exact)/T_exact * 100,
                 'b-', label='0차 (소각)')
axes[1].semilogy(theta_deg, np.abs(T_approx2 - T_exact)/T_exact * 100,
                 'r-', label='2차')
axes[1].semilogy(theta_deg, np.abs(T_approx4 - T_exact)/T_exact * 100,
                 'g-', label='4차')
axes[1].semilogy(theta_deg, np.abs(T_approx6 - T_exact)/T_exact * 100,
                 'm-', label='6차')
axes[1].set_xlabel('초기 각도 (도)')
axes[1].set_ylabel('상대 오차 (%)')
axes[1].set_title('급수 근사의 상대 오차')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('pendulum_period.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# 수치 결과
print("=== 단진자 주기 비교 (L=1m) ===\n")
print(f"{'각도':>6s}  {'정확값(s)':>10s}  {'소각근사(s)':>12s}  {'오차(%)':>8s}")
print("-" * 45)
for angle_deg in [5, 10, 30, 45, 60, 90, 120, 150]:
    angle_rad = np.radians(angle_deg)
    k_val = np.sin(angle_rad / 2)
    T_ex = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(k_val**2)
    err = (T0 - T_ex) / T_ex * 100
    print(f"{angle_deg:>5d}   {T_ex:>10.6f}  {T0:>12.6f}  {err:>8.3f}")

6.2 상대론적 에너지의 비상대론적 근사

아인슈타인의 상대론적 에너지-운동량 관계:

$$E = \gamma mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

운동 에너지 $K = E - mc^2$를 급수 전개하면 ($\beta = v/c \ll 1$):

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 1 + \frac{1}{2}\beta^2 + \frac{3}{8}\beta^4 + \frac{5}{16}\beta^6 + \cdots$$

$$K = mc^2(\gamma - 1)$$

$$= \frac{1}{2}mv^2 + \frac{3}{8}\frac{mv^4}{c^2} + \frac{5}{16}\frac{mv^6}{c^4} + \cdots$$

여기서 첫 번째 항이 뉴턴 역학, 두 번째 항이 상대론적 보정(1차)입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 상대론적 운동 에너지의 급수 근사
beta = np.linspace(0.001, 0.99, 500)  # v/c

# 정확한 상대론적 운동 에너지: K/(mc^2) = gamma - 1
gamma = 1 / np.sqrt(1 - beta**2)
K_exact = gamma - 1  # mc^2 단위

# 급수 근사 (이항급수 전개)
K_order2 = 0.5 * beta**2                                         # 뉴턴 역학
K_order4 = 0.5 * beta**2 + (3/8) * beta**4                      # 1차 보정
K_order6 = 0.5 * beta**2 + (3/8) * beta**4 + (5/16) * beta**6  # 2차 보정

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# 운동 에너지 비교
axes[0].plot(beta, K_exact, 'k-', linewidth=2, label='상대론적 (정확)')
axes[0].plot(beta, K_order2, 'b--', label='뉴턴: (1/2)mv^2')
axes[0].plot(beta, K_order4, 'r--', label='1차 보정')
axes[0].plot(beta, K_order6, 'g--', label='2차 보정')
axes[0].set_xlabel('beta = v/c')
axes[0].set_ylabel('K / (mc^2)')
axes[0].set_title('운동 에너지: 상대론 vs 뉴턴')
axes[0].set_ylim(0, 5)
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 뉴턴 역학의 상대 오차
beta_low = np.linspace(0.001, 0.5, 300)
gamma_low = 1 / np.sqrt(1 - beta_low**2)
K_exact_low = gamma_low - 1
K_newton = 0.5 * beta_low**2
K_corr1 = 0.5 * beta_low**2 + (3/8) * beta_low**4

rel_err_newton = np.abs(K_newton - K_exact_low) / K_exact_low * 100
rel_err_corr1 = np.abs(K_corr1 - K_exact_low) / K_exact_low * 100

axes[1].semilogy(beta_low, rel_err_newton, 'b-', label='뉴턴 역학 오차')
axes[1].semilogy(beta_low, rel_err_corr1, 'r-', label='1차 보정 후 오차')
axes[1].axhline(y=1, color='gray', linestyle=':', alpha=0.5, label='1% 오차선')
axes[1].set_xlabel('beta = v/c')
axes[1].set_ylabel('상대 오차 (%)')
axes[1].set_title('뉴턴 역학의 유효 범위')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('relativistic_energy.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# 결과 출력
print("=== 뉴턴 역학이 유효한 속도 범위 ===\n")
print(f"{'v/c':>6s}  {'상대론적 K':>12s}  {'뉴턴 K':>10s}  {'오차(%)':>8s}")
print("-" * 42)
for b in [0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]:
    g = 1 / np.sqrt(1 - b**2)
    K_rel = g - 1
    K_new = 0.5 * b**2
    err = abs(K_new - K_rel) / K_rel * 100
    print(f"{b:>6.2f}  {K_rel:>12.6f}  {K_new:>10.6f}  {err:>8.3f}")

6.3 전기 다중극 전개

점전하 $q$가 원점에서 거리 $d$인 곳에 있을 때, 원점에서 멀리 떨어진 점($r \gg d$)에서의 전위를 급수로 전개합니다.

    관측점 P(r, theta)
    *
    |\
    | \  r
    |  \
    |   \
    |theta\
    |------*--- 전하 q (거리 d, z축 위)
    |
    원점 O

관측점까지의 거리:

$$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{d}|} = \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} \left(\frac{d}{r}\right)^l P_l(\cos\theta)$$

여기서 $P_l$은 르장드르 다항식 (Legendre polynomials)입니다.

전기 쌍극자 (dipole)의 경우 ($+q$와 $-q$가 거리 $d$만큼 떨어져 있을 때):

$$V(r, \theta) \approx \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p\cos\theta}{r^2} \quad (r \gg d)$$

여기서 $p = qd$는 쌍극자 모멘트 (dipole moment)입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import legendre

# 다중극 전개 (Multipole Expansion) 시각화
# 전하 q가 z축 위 d = 1에 있을 때, 1/|r - d*z_hat|의 급수 전개

def exact_potential_ratio(r, theta, d=1.0):
    """정확한 전위 비율: r / |r - d*z_hat| (1/r 제외한 부분)"""
    # |r - d*z_hat|^2 = r^2 - 2*r*d*cos(theta) + d^2
    dist = np.sqrt(r**2 - 2*r*d*np.cos(theta) + d**2)
    return r / dist

def multipole_approx(r, theta, d=1.0, L_max=5):
    """다중극 전개: sum_{l=0}^{L_max} (d/r)^l * P_l(cos(theta))"""
    result = np.zeros_like(r)
    cos_theta = np.cos(theta)
    for l in range(L_max + 1):
        Pl = legendre(l)
        result += (d / r)**l * Pl(cos_theta)
    return result

# r/d 비율에 따른 다중극 전개의 정확도
r_values = np.linspace(1.5, 10, 200)
theta = np.pi / 4  # 45도

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

exact = exact_potential_ratio(r_values, theta)

for L_max in [0, 1, 2, 5, 10]:
    approx = multipole_approx(r_values, theta, L_max=L_max)
    axes[0].plot(r_values, approx, label=f'L_max = {L_max}')

axes[0].plot(r_values, exact, 'k--', linewidth=2, label='정확값')
axes[0].set_xlabel('r/d')
axes[0].set_ylabel('r * V(r) / (kq)')
axes[0].set_title(f'다중극 전개 (theta = 45도)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# 쌍극자 전위 패턴 (2D)
r_grid = np.linspace(0.5, 5, 200)
theta_grid = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
R, Theta = np.meshgrid(r_grid, theta_grid)
X = R * np.sin(Theta)
Z = R * np.cos(Theta)

# 쌍극자 전위: V ~ cos(theta)/r^2 (단위 생략)
V_dipole = np.cos(Theta) / R**2

axes[1].contourf(X, Z, V_dipole, levels=np.linspace(-2, 2, 41),
                 cmap='RdBu_r', extend='both')
axes[1].set_xlabel('x')
axes[1].set_ylabel('z')
axes[1].set_title('전기 쌍극자 전위 패턴')
axes[1].set_aspect('equal')
axes[1].set_xlim(-3, 3)
axes[1].set_ylim(-3, 3)
# 전하 위치 표시
axes[1].plot(0, 0.1, 'r+', markersize=15, markeredgewidth=2)
axes[1].plot(0, -0.1, 'b_', markersize=15, markeredgewidth=2)

plt.tight_layout()
plt.savefig('multipole_expansion.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

# 르장드르 다항식의 처음 몇 개
print("=== 르장드르 다항식 P_l(x) ===\n")
import sympy as sp
x_sym = sp.Symbol('x')
for l in range(6):
    Pl = sp.legendre(l, x_sym)
    print(f"P_{l}(x) = {sp.expand(Pl)}")

연습 문제

문제 1. 수렴 판정 (기본)

다음 급수의 수렴/발산을 판정하시오. 사용한 판정법을 명시하시오.

(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}$

(b) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2(n)}$

(c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n^2 + 1}$

힌트: (a) 비율 판정법, (b) 적분 판정법, (c) 교대급수 판정법

문제 2. 멱급수의 수렴 반경 (기본)

다음 멱급수의 수렴 반경 $R$을 구하시오.

(a) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} x^n$

(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 3^n} x^n$

문제 3. 테일러 급수 근사 (중급)

함수 $f(x) = \sqrt{1 + x}$를 $x = 0$에서 3차까지 테일러 전개하고, 다음을 구하시오.

(a) $\sqrt{1.1}$의 근사값 ($x = 0.1$ 대입)

(b) 정확값과 비교하여 상대 오차를 계산하시오.

(c) Python으로 1차, 2차, 3차 근사의 오차를 비교하는 그래프를 그리시오.

문제 4. 물리학 응용 (중급)

진자의 최대 각도가 $\theta_0 = 30$도일 때:

(a) 주기의 정확한 값 (타원 적분)을 계산하시오.

(b) 소각 근사의 주기와 비교하여 오차를 구하시오.

(c) 2차 보정항까지 포함했을 때의 오차를 구하시오.

문제 5. 스털링 근사 (중급)

(a) 스털링 근사를 이용하여 $100!$의 상용로그 ($\log_{10}$)를 구하시오.

(b) Python의 정확한 계산과 비교하시오.

(c) 이상기체 $N$개 분자의 배치 경우의 수 $W = N! / (n_1! n_2! \cdots n_k!)$에서, 스털링 근사가 왜 필수적인지 설명하시오.

문제 6. 종합 응용 (고급)

전자의 속도가 $v = 0.1c$일 때:

(a) 상대론적 운동 에너지의 정확한 값을 $mc^2$ 단위로 구하시오.

(b) 뉴턴 역학의 운동 에너지와 비교하여 상대 오차를 구하시오.

(c) 1차 상대론적 보정항 $(3/8)mv^4/c^2$을 포함하면 오차가 얼마나 줄어드는지 계산하시오.

(d) 뉴턴 역학의 오차가 1% 미만이 되려면 $v/c$가 얼마 이하여야 하는지 구하시오.

# 연습 문제 풀이 도우미
import numpy as np
import sympy as sp

# 문제 1(a) 검증
n = sp.Symbol('n', positive=True, integer=True)
a_n = n**2 / 3**n
ratio = sp.simplify(sp.Abs((n+1)**2 / 3**(n+1)) / (n**2 / 3**n))
rho = sp.limit(ratio, n, sp.oo)
print(f"문제 1(a): 비율 = {rho} < 1 => 수렴")

# 문제 4 검증
from scipy.special import ellipk
L, g = 1.0, 9.81
theta0 = np.radians(30)
T0 = 2 * np.pi * np.sqrt(L / g)
k = np.sin(theta0 / 2)
T_exact = 4 * np.sqrt(L / g) * ellipk(k**2)
print(f"\n문제 4: T_exact = {T_exact:.6f}s, T_0 = {T0:.6f}s")
print(f"소각 근사 오차 = {abs(T0 - T_exact)/T_exact * 100:.4f}%")

T_corrected = T0 * (1 + (1/4) * k**2)
print(f"2차 보정 후 오차 = {abs(T_corrected - T_exact)/T_exact * 100:.6f}%")

# 문제 5 검증
import math
stirling_log10_100 = (100 * np.log(100) - 100 + 0.5 * np.log(200 * np.pi)) / np.log(10)
exact_log10_100 = np.log10(float(math.factorial(100)))
print(f"\n문제 5: log10(100!) 스털링 = {stirling_log10_100:.4f}")
print(f"         log10(100!) 정확값 = {exact_log10_100:.4f}")
print(f"         오차 = {abs(stirling_log10_100 - exact_log10_100):.6f}")

참고 자료

교재

  1. Boas, M. L. (2005). Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3rd ed., Chapter 1. Wiley.
  2. Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2012). Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Chapter 5. Academic Press.
  3. Riley, K. F. et al. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering, Chapter 4. Cambridge University Press.

온라인 자료

  1. MIT OCW 18.01SC: Single Variable Calculus - Sequences and Series
  2. Paul's Online Math Notes: Series & Sequences (https://tutorial.math.lamar.edu/)
  3. 3Blue1Brown: Taylor series 시각화

Python 도구

  • sympy.series(): 심볼릭 테일러 급수 계산
  • scipy.special.ellipk(): 완전 타원 적분
  • scipy.special.factorial(): 팩토리얼 계산
  • numpy.cumsum(): 부분합 계산

다음 레슨

02. 복소수 (Complex Numbers)에서는 복소수의 대수적 연산, 극좌표와 지수 표현, 드모아브르 정리, 그리고 물리학에서 필수적인 오일러 공식을 다룹니다. 급수에서 배운 테일러 전개를 이용하여 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$를 유도하게 됩니다.

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