AI/ML/DL을 위한 수학 (Mathematics for AI) - Overview¶

소개¶

인공지능과 머신러닝, 딥러닝을 깊이 이해하고 효과적으로 활용하려면 탄탄한 수학적 기초가 필수적입니다. 이 과정은 AI/ML/DL에 필요한 핵심 수학 개념들을 체계적으로 정리하여 제공합니다.

본 과정은 선형대수, 미적분학, 확률론, 최적화 이론, 정보 이론 등 AI의 이론적 토대를 이루는 수학 분야들을 다룹니다. 각 레슨은 이론적 설명과 함께 Python 코드 예제를 제공하여 수학적 개념을 실제로 구현하고 시각화할 수 있도록 구성되어 있습니다.

단순히 공식을 암기하는 것이 아니라, 왜 이 수학이 필요한지, 어떻게 ML 알고리즘에 적용되는지를 이해하는 것이 목표입니다.

파일 목록¶

번호	파일명	주제	주요 내용
00	00_Overview.md	개요	과정 소개 및 학습 가이드
01	01_Vectors_and_Matrices.md	벡터와 행렬	벡터 공간, 기저, 행렬 연산, 선형 변환
02	02_Matrix_Decompositions.md	행렬 분해	고유값 분해, SVD, PCA, LU/QR 분해
03	03_Matrix_Calculus.md	행렬 미적분	야코비안, 헤시안, 역전파 수학
04	04_Norms_and_Distances.md	노름과 거리	Lp 노름, 코사인 유사도, 거리 메트릭
05	05_Multivariate_Calculus.md	다변수 미적분	편미분, 그래디언트, 방향 도함수, 테일러 급수
06	06_Optimization_Fundamentals.md	최적화 기초	볼록 함수, 라그랑주 승수법, KKT 조건
07	07_Gradient_Descent_Theory.md	경사 하강법 이론	GD 수렴 분석, SGD, 모멘텀, Adam
08	08_Probability_for_ML.md	ML을 위한 확률론	확률 변수, 기댓값, 분산, 베이즈 정리
09	09_Maximum_Likelihood_and_MAP.md	최대 우도와 MAP	MLE, MAP, 정규화와의 관계
10	10_Information_Theory.md	정보 이론	엔트로피, 교차 엔트로피, KL 발산, 상호 정보량
11	11_Probability_Distributions_Advanced.md	고급 확률 분포	지수족, 다변량 가우시안, 공액 사전 분포
12	12_Sampling_and_Monte_Carlo.md	샘플링과 몬테카를로	MCMC, 깁스 샘플링, 재매개변수화 트릭
13	13_Linear_Algebra_for_Deep_Learning.md	딥러닝을 위한 선형대수	텐서, einsum, 브로드캐스팅, 수치 안정성
14	14_Convexity_and_Duality.md	볼록성과 쌍대성	볼록 최적화, 라그랑주 쌍대, 근위 연산자
15	15_Graph_Theory_and_Spectral_Methods.md	그래프 이론과 스펙트럼	그래프 라플라시안, 스펙트럼 군집화, GNN 수학
16	16_Manifold_and_Representation_Learning.md	다양체 학습	다양체 가설, 측지선, t-SNE/UMAP 수학
17	17_Math_of_Attention_and_Transformers.md	어텐션의 수학	셀프 어텐션, 위치 인코딩, 멀티헤드 어텐션
18	18_Math_of_Generative_Models.md	생성 모델의 수학	VAE의 ELBO, GAN 목적 함수, 확산 모델 수학

필수 라이브러리¶

본 과정의 코드 예제를 실행하기 위해 다음 라이브러리가 필요합니다:

pip install numpy scipy matplotlib sympy torch

NumPy: 벡터와 행렬 연산, 선형대수
SciPy: 최적화, 확률 분포, 특수 함수
Matplotlib: 수학적 개념의 시각화
SymPy: 심볼릭 미적분, 수식 전개
PyTorch: 자동 미분, 딥러닝 수학 구현

권장 학습 순서¶

Phase 1: 선형대수 기초 (01-05) - 2-3주¶

벡터와 행렬의 기본 개념
행렬 분해와 PCA
행렬 미적분
노름과 거리 메트릭
다변수 미적분

목표: 딥러닝 모델의 수학적 표현을 이해할 수 있는 선형대수 기초 확립

Phase 2: 최적화 이론 (06-07) - 1-2주¶

최적화 문제의 정식화
볼록 최적화
경사 하강법과 변형들

목표: 학습 알고리즘의 작동 원리와 수렴 조건 이해

Phase 3: 확률론과 정보 이론 (08-12) - 2-3주¶

확률론 기초
최대 우도 추정과 MAP
정보 이론 핵심 개념
고급 확률 분포
샘플링 기법

목표: 확률적 모델링과 불확실성 정량화 능력 확보

Phase 4: 고급 주제 (13-18) - 2-3주¶

딥러닝 특화 선형대수
볼록 쌍대성
그래프 신경망 수학
다양체 학습
Transformer와 생성 모델 수학

목표: 최신 AI 모델의 이론적 기반 이해

선수 지식¶

필수¶

고등학교 수학: 미적분 기초(극한, 미분, 적분), 행렬 기초
Python 프로그래밍: 기본 문법, 함수, 리스트/딕셔너리
수학적 사고: 논리적 추론, 수식 읽기 및 해석

권장¶

NumPy 기본: 배열 생성, 인덱싱, 기본 연산
미적분학: 편미분, 연쇄 법칙
선형대수: 벡터, 행렬, 행렬식 개념

선수 과정¶

Python 기초 과정
NumPy 입문

학습 목표¶

이 과정을 완료하면 다음을 할 수 있습니다:

선형대수 마스터: 벡터 공간, 행렬 분해, 선형 변환을 이해하고 ML 문제에 적용
최적화 이론 이해: 경사 하강법의 수학적 원리와 수렴 조건 파악
확률적 사고: 불확실성을 수학적으로 모델링하고 베이지안 추론 수행
정보 이론 활용: 엔트로피와 KL 발산을 이용한 손실 함수 설계
역전파 구현: 행렬 미적분을 이용한 그래디언트 계산 수식 유도
차원 축소 이해: PCA, SVD의 수학적 원리와 구현
수치 안정성: 계산 과정에서 발생하는 수치 문제 인지 및 해결
Transformer 수학: 셀프 어텐션과 위치 인코딩의 수학적 기반 이해
생성 모델 이론: VAE의 ELBO, 확산 모델의 목적 함수 유도
논문 읽기: AI 논문의 수식과 증명을 독립적으로 이해

과정의 특징¶

이론과 실습의 균형¶

각 레슨은 수학적 증명과 함께 Python 구현을 제공합니다. 수식만 보는 것이 아니라 직접 코드로 구현하고 시각화하면서 직관을 키울 수 있습니다.

ML/DL 중심 접근¶

추상적인 수학이 아니라 실제 머신러닝과 딥러닝에서 어떻게 사용되는지에 초점을 맞춥니다. 예를 들어, 고유값 분해를 배울 때 PCA와 스펙트럼 군집화 응용을 함께 다룹니다.

현대적 주제 포함¶

전통적인 수학 과정을 넘어 Transformer, 확산 모델, 그래프 신경망 등 최신 AI 모델의 수학적 기반까지 다룹니다.

시각화 강조¶

추상적인 개념을 이해하기 위해 Matplotlib을 이용한 풍부한 시각화를 제공합니다. 고차원 공간의 개념도 2D/3D 시각화를 통해 직관적으로 이해할 수 있습니다.

학습 전략¶

1. 수식을 손으로 유도하기¶

논문이나 교재의 수식을 그냥 읽지 말고, 종이에 직접 써가며 단계별로 유도해보세요. 막히는 부분이 있으면 그것이 바로 학습 포인트입니다.

2. 코드로 검증하기¶

수식을 유도한 후에는 반드시 코드로 구현해서 결과를 확인하세요. 수치 예제를 통해 수식의 의미를 확인할 수 있습니다.

3. 시각화로 직관 키우기¶

고차원 데이터나 복잡한 함수도 적절한 단면이나 투영을 통해 시각화할 수 있습니다. 그래프를 그리면서 수학적 개념의 기하학적 의미를 파악하세요.

4. 연습 문제 필수¶

각 레슨의 연습 문제는 건너뛰지 마세요. 개념을 이해했다고 생각해도 문제를 풀어봐야 진짜 이해 여부를 확인할 수 있습니다.

5. 논문 읽기 연습¶

Phase 4에 도달하면 관심 있는 AI 논문을 하나 선정해서 수식 부분을 집중적으로 분석해보세요. 배운 수학을 실전에 적용하는 좋은 연습입니다.

난이도별 학습 경로¶

초급자 (수학 기초 부족)¶

선형대수 입문서(Gilbert Strang) 병행
01-02 집중 학습 (2-3주 소요)
05, 08-09 학습
나머지 레슨은 필요시 참고

중급자 (수학 기초 있음)¶

정상 순서대로 Phase 1-3 완료
Phase 4는 관심 분야 선택 학습
전체 과정 6-8주 소요

고급자 (수학 배경 강함)¶

01-05 빠르게 복습
06-07, 10, 14 집중
13, 15-18 심화 학습
논문 수식 유도 프로젝트 병행

프로젝트 아이디어¶

학습한 내용을 응용하기 위한 프로젝트 제안:

PCA 기반 얼굴 인식: SVD를 이용한 eigenface 구현
경사 하강법 시각화 툴: 다양한 최적화 알고리즘 비교
베이지안 선형 회귀: 사전/사후 분포 시각화
정보 이론 기반 특성 선택: 상호 정보량 기반 변수 선택
Transformer 처음부터 구현: 어텐션 메커니즘의 수학적 구현
간단한 확산 모델: DDPM의 수학적 유도 및 구현

참고 자료¶

교재¶

Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press. (특히 Ch 2-4)
딥러닝 필수 수학을 간결하게 정리
Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
최적화 이론의 바이블
Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.
확률적 관점의 머신러닝
Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
선형대수 입문서
Murphy, K. P. (2022). Probabilistic Machine Learning: An Introduction. MIT Press.
현대적 관점의 ML 수학

온라인 강의¶

3Blue1Brown - Essence of Linear Algebra: 선형대수 시각화의 최고봉
Gilbert Strang - MIT 18.06: 전설적인 선형대수 강의
Stanford CS229: Andrew Ng의 머신러닝 수학 자료
Fast.ai - Computational Linear Algebra: 실무 중심 접근

논문 및 블로그¶

Distill.pub: 인터랙티브 시각화로 설명하는 ML 수학
The Matrix Calculus You Need For Deep Learning (Parr & Howard, 2018)
Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks (Glorot & Bengio, 2010)

도구¶

Wolfram Alpha: 수식 계산 및 검증
Desmos: 함수 시각화
GeoGebra: 기하학적 직관 개발
Jupyter Notebook: 대화형 수학 노트

버전 정보¶

최초 작성: 2026-02-07
작성자: Claude (Anthropic)
Python 버전: 3.8+
주요 라이브러리 버전:
NumPy >= 1.20
SciPy >= 1.7
Matplotlib >= 3.4
SymPy >= 1.9
PyTorch >= 1.10

라이선스¶

이 자료는 교육 목적으로 자유롭게 사용할 수 있습니다. 상업적 사용 시 출처를 명시해주세요.

다음 단계: 01. 벡터와 행렬로 시작하세요.