6. 재결합 응용¶

학습 목표¶

이 레슨을 마치면 다음을 할 수 있어야 합니다:

태양 플레어의 CSHKP 모델을 설명하고 핵심 재결합 신호를 식별하기
코로나 질량 방출(CME)과 자속 로프 분출에서 재결합의 역할 설명하기
Dungey 순환과 자기권 서브스톰 이해하기
토카막 톱니파 충돌과 Kadomtsev 재결합 모델 분석하기
자기 섬 병합과 그 동역학 설명하기
천체물리학 제트와 기타 고에너지 현상에서의 재결합 설명하기
이러한 재결합 응용의 간단한 모델을 Python으로 구현하기

1. 태양 플레어¶

1.1 관측 개요¶

태양 플레어는 태양계에서 가장 강력한 폭발로, 수 분에서 수 시간 동안 최대 $10^{32}$ erg ($10^{25}$ J)의 에너지를 방출합니다. 이것은 수십억 메가톤의 TNT에 해당하거나, 천만 번의 화산 폭발이 동시에 발생하는 것과 같습니다.

주요 관측 특징:

전자기 방출: 전파에서 감마선까지
연X선 방출: 10–30 MK의 열 플라즈마
경X선 방출: 비열적 전자(제동복사)
H-alpha 리본: 족점에서의 채층 밝아짐
백색광 방출: 드물며, 가장 에너지가 큰 플레어에서만 관측
입자 가속: 전자는 수십 MeV까지, 이온은 GeV까지
상대론적 전자: 전파 폭발(자기동기복사, 플라즈마 방출)
에너지 양성자: 핵 감마선 선(탈여기)
질량 방출: 종종 CME와 관련됨(항상은 아님)
시간 척도:
플레어 전 단계: 수 분에서 수 시간(에너지 저장)
충격 단계: 수 초에서 수 분(에너지 방출)
점진 단계: 수 분에서 수 시간(냉각, 점진적 입자 가속)

에너지 수지:

방출되는 총 에너지는 응력을 받은 코로나 자기장에 저장된 자기 에너지에서 나옵니다:

$$E_{mag} = \frac{B^2}{2\mu_0} \cdot V$$

$B \sim 0.01$ T, 부피 $V \sim (10^8 \text{ m})^3$인 플레어 활동 영역의 경우:

$$E_{mag} \sim \frac{(0.01)^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \times 10^{24} \sim 10^{26} \text{ J}$$

이 자기 에너지의 상당한 부분(10–50%)이 플레어 동안 방출됩니다.

1.2 CSHKP 표준 모델¶

분출하는 태양 플레어의 표준 모델은 Carmichael, Sturrock, Hirayama, Kopp, Pneuman(CSHKP 모델, 1964–1976년에 개발)의 이름을 따서 명명되었습니다. 이 모델은 자기 재결합을 주요 에너지 방출 메커니즘으로 사용합니다.

만화 구조:

                        CME
                         ║
                    ╔════╩════╗
                    ║         ║  분출하는 자속 로프
                    ║    ☀    ║
                    ╚════╦════╝
                         ║
    ═══════════════════════════════════  코로나
                    X    ║  재결합점
                    ↕    ║  전류 시트
    ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─
                         ║  플레어 후 루프
                    ┌────╨────┐
                    │         │  플레어 아케이드
                    │ ░░░░░░░ │  고온 플라즈마
                    └─────────┘
    ═══════════════════════════════════  채층
                    ↓         ↓  하향 흐름
               리본 1    리본 2  H-alpha 밝아짐

주요 구성 요소:

분출 전: 자속 로프(필라멘트/홍염)가 코로나에 저장되며, 위에 덮는 아케이드 자기장에 의해 고정됩니다.
평형 상실: 자속 로프가 불안정해지고(예: 토러스 불안정성, 평형 상실) 상승하기 시작합니다.
전류 시트 형성: 자속 로프가 상승함에 따라 아래 자기장이 늘어나며 수직 전류 시트를 형성합니다.
재결합 시작: 전류 시트에서 재결합이 시작되어 자기 에너지를 방출합니다.
플레어 후 루프: 재결합된 자기장 선은 순차적으로 상승하는 고온 플레어 후 루프를 형성합니다.
족점 가열: 에너지 입자와 열 전도 전선이 자기장 선을 따라 내려가며 채층을 가열합니다.
플레어 리본: 가열된 채층 족점은 재결합이 진행됨에 따라 분리되는 밝은 H-alpha 리본으로 나타납니다.
상향 제트: 재결합 유출이 CME를 위쪽으로 발사합니다.

에너지 방출:

자기 에너지는 다음으로 변환됩니다: - 운동 에너지: 대량 플라즈마 흐름(유출 ~500–1000 km/s), CME 운동 에너지 - 열 에너지: 플레어 루프를 10–30 MK로 가열 - 비열적 입자: 가속된 전자와 이온 - 복사: X선, UV, 광학, 전파

재결합 전기장이 입자를 가속하고, 재결합 영역의 난류가 확률적 가속에 기여합니다.

1.3 플레어에서의 재결합률¶

재결합률은 리본 분리 속도로부터 추정할 수 있습니다. 재결합이 진행됨에 따라 새로 재결합된 루프의 족점이 멀어집니다. 리본 분리 속도 $v_{sep}$는 재결합 유입 속도 $v_{in}$와 관련이 있습니다:

$$v_{sep} \approx v_{in} \frac{L_{corona}}{L_{ribbon}}$$

여기서 $L_{corona}$는 코로나 높이이고 $L_{ribbon}$는 채층 족점 분리 거리입니다.

관측된 리본 속도는 일반적으로:

$$v_{sep} \sim 10\text{–}100 \text{ km/s}$$

$L_{corona}/L_{ribbon} \sim 0.1$–1인 경우, 다음을 얻습니다:

$$v_{in} \sim 10\text{–}100 \text{ km/s}$$

코로나의 Alfvén 속도는 $v_A \sim 1000$ km/s이므로:

$$M_A = \frac{v_{in}}{v_A} \sim 0.01\text{–}0.1$$

이것은 빠른 재결합(Petschek 또는 Hall 영역)과 일치하며, Sweet-Parker가 아닙니다!

1.4 SDO 및 기타 임무의 관측¶

2010년에 발사된 Solar Dynamics Observatory(SDO)는 고케이던스(12 s), 고해상도(0.6 arcsec) 극자외선 이미지로 플레어 관측을 혁신했습니다.

주요 발견:

Supra-arcade downflows (SADs): 플레어 아케이드로 ~100 km/s로 떨어지는 어둡고 올챙이 모양의 구조. 재결합 지점에서 하향으로 방출된 밀도 공백(플라스모이드)으로 해석됩니다.
Above-the-loop-top (ALT) 경X선 소스: 플레어 루프 위의 비열적 X선 방출로, 재결합 지점에서의 입자 가속을 나타냅니다.
재결합 유입/유출: Doppler 측정(Hinode/EIS)은 ~10 km/s의 유입과 ~500 km/s의 유출을 보여주며, 재결합 모델과 일치합니다.
준주기적 맥동(QPPs): 수 밀리초에서 수 분의 주기를 가진 플레어 방출의 진동. 플라스모이드 방출과 관련이 있을 수 있습니다(레슨 7 참조).
자기 자속 로프 구조: 분출 전 시그모이드(S자 모양 구조) 및 자속 로프의 관측은 CSHKP 모델을 지원합니다.

1.5 Python 예제: CSHKP 모델 다이어그램¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import FancyBboxPatch, FancyArrowPatch, Wedge, Ellipse
from matplotlib import patches

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 14))

# Coordinate system: x horizontal, y vertical
# Chromosphere at y=0, corona y>0

# Chromosphere
ax.axhline(0, color='brown', linewidth=4, label='Chromosphere')
ax.fill_between([-6, 6], -0.5, 0, color='wheat', alpha=0.5)

# Flare ribbons
ribbon1 = Wedge((-2, 0), 0.5, 0, 180, color='red', alpha=0.7, label='Flare ribbons')
ribbon2 = Wedge((2, 0), 0.5, 0, 180, color='red', alpha=0.7)
ax.add_patch(ribbon1)
ax.add_patch(ribbon2)

# Post-flare loops
n_loops = 5
for i in range(n_loops):
    y_top = 1 + i * 0.5
    x_width = 1.5 + i * 0.3
    theta = np.linspace(0, np.pi, 50)
    x_loop = x_width * np.cos(theta)
    y_loop = y_top * np.sin(theta)
    ax.plot(x_loop, y_loop, color='orange', linewidth=2.5, alpha=0.8)

# Label one loop
ax.text(0, 1.8, 'Post-flare loops', fontsize=12, ha='center',
        bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='yellow', alpha=0.6))

# Current sheet
sheet_x = [0, 0]
sheet_y = [3.5, 7]
ax.plot(sheet_x, sheet_y, color='blue', linewidth=4, linestyle='--', label='Current sheet')

# X-point
ax.plot(0, 4.5, 'kx', markersize=25, markeredgewidth=4, label='Reconnection X-point')

# Inflow arrows
ax.annotate('', xy=(-0.3, 4.5), xytext=(-1.5, 4.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2.5, color='green'))
ax.annotate('', xy=(0.3, 4.5), xytext=(1.5, 4.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2.5, color='green'))
ax.text(-2.2, 4.5, 'Inflow', fontsize=11, color='green', weight='bold')

# Downward outflow
ax.annotate('', xy=(0, 3.8), xytext=(0, 3.2),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=3, color='red'))
ax.text(0.3, 3.5, 'Outflow\n(downward)', fontsize=11, color='red', weight='bold')

# Upward outflow
ax.annotate('', xy=(0, 5.2), xytext=(0, 5.8),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=3, color='red'))
ax.text(0.3, 5.5, 'Outflow\n(upward)', fontsize=11, color='red', weight='bold')

# Erupting flux rope (CME)
flux_rope = Ellipse((0, 8.5), 3, 1.5, color='purple', alpha=0.4, label='Erupting flux rope (CME)')
ax.add_patch(flux_rope)
ax.plot(0, 8.5, 'o', color='purple', markersize=10)

# CME upward arrow
ax.annotate('', xy=(0, 10), xytext=(0, 9.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=3, color='purple'))
ax.text(0.5, 9.8, 'CME', fontsize=13, color='purple', weight='bold')

# Particle beams to chromosphere
for x_foot in [-2, 2]:
    ax.annotate('', xy=(x_foot, 0.1), xytext=(0, 4.3),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='magenta', linestyle='dotted'))
ax.text(-3.5, 2, 'Energetic\nparticles', fontsize=11, color='magenta', weight='bold')

# Labels
ax.text(0, -1, 'Solar Flare: CSHKP Standard Model', fontsize=18, ha='center', weight='bold')
ax.text(-5, 7, 'Corona', fontsize=13, style='italic')
ax.text(-5, -0.3, 'Chromosphere', fontsize=13, style='italic', color='brown')

# Annotations
ax.text(-5, 9, 'Energy release: ~$10^{32}$ erg', fontsize=12,
        bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightblue', alpha=0.7))
ax.text(-5, 8.2, 'Duration: minutes to hours', fontsize=12,
        bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightgreen', alpha=0.7))
ax.text(-5, 7.4, 'Reconnection rate: $M_A \\sim 0.01$–$0.1$', fontsize=12,
        bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='lightyellow', alpha=0.7))

ax.set_xlim(-6, 6)
ax.set_ylim(-1.5, 11)
ax.set_aspect('equal')
ax.legend(loc='upper right', fontsize=11)
ax.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.savefig('solar_flare_cshkp_model.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

2. 코로나 질량 방출(CME)¶

2.1 CME란 무엇인가?¶

코로나 질량 방출은 태양 플라즈마와 자기장의 대규모 폭발이 행성 간 공간으로 방출되는 것입니다. CME는 종종(항상은 아니지만) 태양 플레어와 관련이 있습니다.

전형적인 특성:

질량: $10^{15}$–$10^{16}$ g(10억~100억 톤)
운동 에너지: $10^{30}$–$10^{32}$ erg
속도: 200–3000 km/s(평균 ~500 km/s, 빠른 이벤트 >1000 km/s)
발생률: 태양 극대기에 ~하루 1회, 태양 극소기에 ~5일당 1회

구조:

CME는 종종 세 부분 구조를 가집니다: 1. 밝은 전면 루프: 압축된 덮개 2. 어두운 공동: 저밀도 자속 로프 코어 3. 밝은 코어: 홍염 물질

2.2 CME 시작과 재결합¶

CME는 코로나 자기 자속 로프의 분출로부터 발생하는 것으로 믿어집니다. 시작 메커니즘은 다음을 포함합니다:

1. 토러스 불안정성(Torus Instability):

자속 로프는 위에 덮는 자기장이 높이에 따라 충분히 빠르게 감소할 때 불안정해집니다. 임계 조건은:

$$\frac{d \ln B_{external}}{d \ln h} < -\frac{3}{2}$$

여기서 $h$는 높이입니다. 이것을 토러스 불안정성 기준이라고 합니다. 이 조건이 충족되면, 후프 힘(자체 인덕턴스)이 구속력을 극복하고 자속 로프가 분출합니다.

2. 자속 소멸(Flux Cancellation):

광구에서 반대 극성 자기 자속이 소멸(재결합)하여, 위에 덮는 자기장의 "닻"을 제거하고 자속 로프가 분출할 수 있게 합니다.

3. 돌파 모델(Breakout Model):

4극 구성이 자속 로프 위의 영점에서 재결합을 겪어 구속 자기장을 제거하고 분출을 유발합니다.

4. 킹크 불안정성(Kink Instability):

자속 로프가 임계 임계값을 넘어 꼬이면(일반적으로 길이당 비틀림 $\sim 2\pi$ 라디안), 킹크 불안정해지고 분출합니다.

재결합의 역할:

분출 동안, CME 아래 전류 시트에서의 재결합(CSHKP 모델처럼)은 두 가지 기능을 수행합니다: 1. 자기 에너지 방출: 분출과 플레어에 동력 제공 2. 자기장 위상 구조 변화 허용: 자속 로프가 태양으로부터 분리될 수 있게 함

2.3 우주 날씨 영향¶

빠른 CME가 지구에 충돌하면 상당한 우주 날씨 영향을 일으킬 수 있습니다:

지자기 폭풍: 압축된 자기권, 강화된 고리 전류, 오로라 활동
가장 강한 폭풍: Carrington 이벤트(1859), 할로윈 폭풍(2003), St. Patrick's Day 폭풍(2015)
복사 위험: 에너지 입자가 우주 비행사와 위성을 위험에 빠뜨림
기술 중단:
전력망 장애(Quebec 정전, 1989)
위성 손상 및 손실
GPS 및 통신 중단
항공 복사 노출(극지 항로)

태양에서 지구까지의 이동 시간은 일반적인 CME의 경우 1–3일이며, 보호 조치를 위한 일부 경고 시간을 제공합니다.

2.4 CME 재결합의 관측¶

백색광 코로나그래프(SOHO/LASCO, STEREO/COR)는 코로나를 통해 전파하는 CME를 관측합니다. 주요 재결합 신호는 다음을 포함합니다:

스트리머 폭발(Streamer blowout): 헬멧 스트리머 구조의 분출
CME 후 전류 시트: CME를 따라가는 희미한 광선 모양 구조
유입/유출: UV/EUV 분광선의 Doppler 이동

STEREO의 Heliospheric Imagers는 CME를 지구까지 추적하여 복잡한 상호작용과 편향을 드러냈습니다.

3. 자기권 서브스톰¶

3.1 Dungey 순환¶

Dungey 순환(1961)은 태양풍-자기권 결합의 기본 모델로, 주간 및 야간 재결합에 의해 구동됩니다.

주간 재결합:

행성 간 자기장(IMF)이 남향 성분($B_z < 0$)을 가질 때, 주간 자기권계면에서 지구의 북향 자기장과 재결합할 수 있습니다:

    태양풍                  자기권

    IMF(남향)             지자기장
         ↓                            ↑
    ─ ─ ─X─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─  자기권계면
         ↓                            ↓
       재결합된 자기장 선

새로 재결합된 자기장 선은 태양풍에 의해 꼬리 방향으로 당겨져 에너지와 자속을 자기권으로 전달합니다.

야간 재결합:

자기꼬리에서 늘어난 자기장은 근지구 중성선에서 재결합합니다:

         꼬리 로브(북쪽)
              ↑   ↑
    ─ ─ ─ ─ ─ ─X─ ─ ─ ─ ─ ─  중성선
              ↓   ↓
         꼬리 로브(남쪽)

재결합은 다음을 생성합니다: - 지구 방향 흐름: 지구를 향해 가속된 플라즈마(서브스톰 주입) - 꼬리 방향 흐름: 꼬리 하향으로 방출된 플라스모이드

순환은 지구 방향으로 이동하는 자속이 주간으로 돌아가면서 닫힙니다.

에너지 수지:

태양풍은 다음 속도로 에너지를 전달합니다:

$$P \sim v B^2 / \mu_0 \times A_{cross}$$

여기서 $A_{cross} \sim \pi R_M^2$는 자기권 단면적이고 $R_M \sim 10 R_E$(지구 반경)입니다. 일반적인 태양풍($v = 400$ km/s, $B = 5$ nT)의 경우:

$$P \sim 10^{11}\text{–}10^{12} \text{ W}$$

서브스톰 동안, 저장된 에너지(~$10^{15}$ J)가 ~1시간에 방출되어 전력 ~$10^{11}$ W를 제공합니다.

3.2 서브스톰 단계¶

자기권 서브스톰은 자기권의 전역 재구성으로, 일반적으로 2–3시간 지속됩니다.

성장 단계(Growth phase) (30–60분):

주간 재결합이 자속을 꼬리로 전달
자기꼬리가 늘어나고 얇아짐
꼬리 로브에 에너지 저장
오로라 타원이 적도 방향으로 확장
꼬리 횡단 전류 강화

확장 단계(Expansion phase) (30–60분):

야간 재결합 시작
오로라의 갑작스러운 밝아짐(서브스톰 시작)
서향 이동 급증
쌍극자화(Dipolarization): 꼬리 자기장이 더 쌍극자가 됨
내부 자기권으로의 에너지 입자 주입
플라즈마 시트의 폭발적 대량 흐름(BBFs)

회복 단계(Recovery phase) (~1시간):

꼬리 자기장이 조용한 시간 구성으로 이완
오로라 활동 감소
플라즈마 시트 두꺼워짐

관측 신호:

지상 자력계: H-성분의 음의 만(북향 자기장 감소)
오로라 이미지: 밝아짐과 극쪽 확장
현장 우주선: 흐름 폭발, 쌍극자화 전선, 입자 주입
오로라 킬로미터 복사(AKR): 강렬한 전파 방출

3.3 근지구 중성선 모델¶

근지구 중성선(Near-Earth Neutral Line, NENL) 모델은 서브스톰 시작을 자기꼬리의 $X \sim -20$에서 $-30 R_E$에서 형성되는 재결합에 기인합니다.

순서:

성장 단계: 전류 시트 얇아짐, 압력 축적
시작: NENL에서 재결합 시작
확장: 재결합 영역이 $X$ 및 $Y$(새벽-황혼) 방향으로 확장
NENL에서 지구 방향 및 꼬리 방향 제트 발사
플라스모이드(자속 로프)가 꼬리 하향으로 방출
쌍극자화 전선이 지구 방향으로 전파하여 에너지 입자 전달

증거:

꼬리 방향으로 이동하는 플라스모이드의 우주선 관측
$v_x \sim 400$ km/s의 지구 방향 폭발적 대량 흐름
이동 압축 영역(TCRs)
Hall 자기장 사중극(Cluster 관측)

서브스톰 동안의 재결합률은 $M_A \sim 0.1$로, 빠른(무충돌) 재결합을 나타냅니다.

3.4 Python 예제: Dungey 순환 만화¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle, FancyArrowPatch, Wedge, Arc

fig, ax = plt.subplots(figsize=(14, 10))

# Earth
earth = Circle((0, 0), 0.3, color='blue', alpha=0.7, label='Earth')
ax.add_patch(earth)

# Magnetopause (dayside and nightside)
theta_day = np.linspace(-np.pi/2, np.pi/2, 50)
x_day = 1.5 * np.cos(theta_day)
y_day = 1.5 * np.sin(theta_day)
ax.plot(x_day, y_day, 'k-', linewidth=3, label='Magnetopause')

# Tail magnetopause
tail_y_top = np.linspace(1.5, 1.2, 30)
tail_x_top = -np.linspace(0, 5, 30)
tail_y_bot = np.linspace(-1.5, -1.2, 30)
tail_x_bot = -np.linspace(0, 5, 30)
ax.plot(tail_x_top, tail_y_top, 'k-', linewidth=3)
ax.plot(tail_x_bot, tail_y_bot, 'k-', linewidth=3)

# Dayside X-line
ax.plot(1.5, 0, 'rx', markersize=20, markeredgewidth=4, label='Reconnection X-line')
ax.text(1.5, -0.5, 'Dayside\nreconnection', fontsize=11, ha='center', color='red', weight='bold')

# Nightside X-line
ax.plot(-3, 0, 'rx', markersize=20, markeredgewidth=4)
ax.text(-3, -0.5, 'Nightside\nreconnection', fontsize=11, ha='center', color='red', weight='bold')

# Solar wind
for y_sw in np.linspace(-2, 2, 5):
    ax.annotate('', xy=(2, y_sw), xytext=(4, y_sw),
                arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=1.5, color='orange'))
ax.text(4.5, 2.5, 'Solar Wind', fontsize=13, color='orange', weight='bold')

# Open field lines (dayside to tail)
# Freshly reconnected line
x_open1 = np.concatenate([np.linspace(1.5, 0, 20), np.linspace(0, -5, 30)])
y_open1 = np.concatenate([np.linspace(0, 1.8, 20), np.linspace(1.8, 1.2, 30)])
ax.plot(x_open1, y_open1, 'g-', linewidth=2, alpha=0.7)
ax.plot(x_open1, -y_open1, 'g-', linewidth=2, alpha=0.7)

# Add arrows to show tailward motion
ax.annotate('', xy=(-2, 1.5), xytext=(-1, 1.6),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='green'))
ax.text(-0.5, 2.2, 'Tailward\nconvection', fontsize=10, color='green', weight='bold')

# Closed field lines (dipolar)
for r in [0.6, 0.9, 1.2]:
    theta_closed = np.linspace(-np.pi/3, np.pi/3, 40)
    x_closed = r * np.cos(theta_closed)
    y_closed = r * np.sin(theta_closed)
    ax.plot(x_closed, y_closed, 'b--', linewidth=1.5, alpha=0.5)
    ax.plot(x_closed, -y_closed, 'b--', linewidth=1.5, alpha=0.5)

# Sunward return flow
ax.annotate('', xy=(0.8, 0.6), xytext=(-1, 0.8),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=2, color='purple'))
ax.text(-0.5, 1.0, 'Sunward\nreturn', fontsize=10, color='purple', weight='bold')

# Plasmoid ejection
plasmoid = Circle((-4.5, 0), 0.4, color='red', alpha=0.4)
ax.add_patch(plasmoid)
ax.annotate('', xy=(-5.5, 0), xytext=(-4.5, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', lw=3, color='red'))
ax.text(-5.5, -0.6, 'Plasmoid', fontsize=11, color='red', weight='bold')

# Title and labels
ax.text(0, -3.5, 'Dungey Cycle: Solar Wind-Magnetosphere Coupling', fontsize=16, ha='center', weight='bold')
ax.text(3, -2.8, 'IMF $B_z < 0$ (southward)', fontsize=12,
        bbox=dict(boxstyle='round', facecolor='yellow', alpha=0.6))

# Axes and formatting
ax.set_xlim(-6, 5)
ax.set_ylim(-4, 3)
ax.set_aspect('equal')
ax.legend(loc='lower left', fontsize=11)
ax.axis('off')

plt.tight_layout()
plt.savefig('dungey_cycle.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()

4. 토카막 톱니파 충돌¶

4.1 톱니파 진동¶

토카막 플라즈마에서 코어 전자 온도는 종종 톱니파 진동을 나타냅니다: 느린 상승과 갑작스러운 충돌.

T_e
 |     /|     /|     /|
 |    / |    / |    / |
 |   /  |   /  |   /  |
 |  /   |  /   |  /   |
 | /    | /    | /    |
 |/_____|/_____|/_____|_____  시간
   상승  충돌  상승  충돌

특성:

상승 단계: 온도가 10–100 ms 동안 꾸준히 증가
충돌 단계: 온도가 <100 μs 안에 ~50% 하락
반전 반경: $T_e$가 하락하는 내부 반경, 외부는 $T_e$가 상승(재분배)
q-프로파일: 안전 인자 $q(r) = r B_\phi / (R B_\theta)$가 코어에서 1 아래로 하락

물리적 그림:

상승 단계: 중심 가열, 첨두 전류 프로파일, $q_0$가 1 아래로 하락
트리거: 내부 킹크 불안정성($m/n = 1/1$ 모드) 발달
재결합: 나선형 자기 표면이 재결합
충돌: 열과 전류의 빠른 재분배
재설정: $q_0$가 1 위로 다시 상승, 순환 반복

4.2 Kadomtsev 재결합 모델¶

Kadomtsev 모델(1975)은 충돌을 $q = 1$ 표면의 완전한 재결합으로 설명합니다.

재결합 전:

$q = 1$ 표면은 반경 $r_1$의 중첩된 자속 표면입니다. 내부에서 자기장 선은 각 폴로이달 회전당 토로이달로 한 번 감깁니다. 코어는 자기적으로 고립되어 있습니다.

재결합 후:

나선형 섭동은 $q = 1$ 표면이 나선형 섬이 되게 합니다. 완전한 재결합은 섬 O-점을 원래 코어와 병합하여 새로운 평평한 $q \approx 1$ 프로파일을 생성합니다.

위상 구조 변화:

이전:                  이후:

    중첩된                  평평한
    표면                  프로파일
      ○                      ─────
     ╱ ╲                    ╱     ╲
    ○ ○ ○        ────>     ─────────
     ╲ ╱                    ╲     ╱
      ○                      ─────
     q=1                     q≈1

열 재분배:

재결합은 고온 코어 플라즈마를 빠르게 외부로 혼합하고 더 차가운 가장자리 플라즈마를 내부로 혼합하여 다음을 유발합니다: - 코어 온도 하락 - 가장자리 온도 상승(반전 반경 내) - 온도 프로파일 평탄화

재결합률:

충돌 시간은 ~10–100 μs로, 저항 확산(수 초 걸림)보다 훨씬 빠릅니다. 이것은 다음을 시사합니다:

$$M_A \sim 0.01\text{–}0.1$$

전자 운동학적 척도에서의 무충돌 재결합과 일치합니다.

4.3 관측 및 시뮬레이션¶

실험 증거:

연X선 단층촬영: $m=1$ 전구체 진동을 보여주고, 그 다음 빠른 충돌
ECE(Electron Cyclotron Emission): 고해상도 $T_e$ 프로파일 측정
자기 진단: Mirnov 코일이 $m/n = 1/1$ 모드 성장 감지
부분 vs 완전 재결합: 모든 충돌이 완전하지는 않으며, 일부는 불완전한 재결합을 보임

수치 시뮬레이션:

저항 MHD: 톱니파 순환을 재현하지만 충돌이 너무 느림
이유체/운동학적: 더 빠른 충돌, 관측에 더 가까움
확장 MHD: Hall, 전자 압력 포함, 빠른 충돌 포착

현대 시뮬레이션(예: M3D, NIMROD)은 이유체 효과가 저항 MHD에 비해 충돌을 상당히 가속한다는 것을 보여줍니다.

4.4 Python 예제: 톱니파 충돌 시뮬레이션(1D 모델)¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Simple 1D model of sawtooth temperature evolution
# (Not a real reconnection simulation, just illustrative)

r = np.linspace(0, 1, 100)  # Normalized radius
t_rise = 100  # Number of time steps in rise phase
t_crash = 5   # Number of time steps in crash
n_cycles = 3

# Inversion radius
r_inv = 0.3

# Initial profile
T0 = 1 - r**2

# Storage
T_history = []
time_history = []

T = T0.copy()
time = 0

for cycle in range(n_cycles):
    # Rise phase: gradual central heating
    for i in range(t_rise):
        # Heat deposition in core
        heat_source = 0.01 * np.exp(-(r / 0.2)**2)
        # Diffusive cooling
        dTdr = np.gradient(T, r)
        d2Tdr2 = np.gradient(dTdr, r)
        cooling = 0.001 * d2Tdr2

        T += heat_source + cooling
        T_history.append(T.copy())
        time_history.append(time)
        time += 1

    # Crash phase: rapid flattening inside inversion radius
    T_before_crash = T.copy()
    for i in range(t_crash):
        # Average inside inversion radius
        inside = r < r_inv
        T_avg_inside = np.mean(T[inside])
        T[inside] = T_avg_inside

        # Slight increase outside (conservation)
        outside = r >= r_inv
        T[outside] += 0.05 * (T_before_crash[inside].mean() - T_avg_inside)

        T_history.append(T.copy())
        time_history.append(time)
        time += 1

# Convert to array
T_history = np.array(T_history)
time_history = np.array(time_history)

# Plot core temperature vs time
fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 10))

# Panel 1: Core temperature (sawtooth pattern)
ax = axes[0]
T_core = T_history[:, 0]
ax.plot(time_history, T_core, linewidth=2, color='darkblue')
ax.set_xlabel('Time (arbitrary units)', fontsize=13)
ax.set_ylabel('Core Temperature $T_e(r=0)$', fontsize=13)
ax.set_title('Sawtooth Oscillations: Core Temperature', fontsize=15)
ax.grid(True, alpha=0.3)

# Mark crashes
crash_indices = []
for i in range(1, len(T_core)):
    if T_core[i] < T_core[i-1] - 0.1:
        crash_indices.append(i)
for idx in crash_indices:
    ax.axvline(time_history[idx], color='red', linestyle='--', alpha=0.6)

# Panel 2: Radial profiles at different times
ax = axes[1]

# Plot profiles at selected times
times_to_plot = [50, 99, 102, 150, 199, 202]  # Before/after crashes
colors = plt.cm.viridis(np.linspace(0, 1, len(times_to_plot)))

for i, t_idx in enumerate(times_to_plot):
    label = f't = {time_history[t_idx]}'
    if t_idx in [99, 199]:
        label += ' (before crash)'
        linestyle = '-'
        linewidth = 2.5
    elif t_idx in [102, 202]:
        label += ' (after crash)'
        linestyle = '--'
        linewidth = 2.5
    else:
        linestyle = '-'
        linewidth = 1.5

    ax.plot(r, T_history[t_idx], color=colors[i], linestyle=linestyle,
            linewidth=linewidth, label=label)

ax.axvline(r_inv, color='black', linestyle=':', linewidth=2, label=f'Inversion radius ($r={r_inv}$)')
ax.set_xlabel('Normalized radius $r/a$', fontsize=13)
ax.set_ylabel('Temperature $T_e$', fontsize=13)
ax.set_title('Radial Temperature Profiles', fontsize=15)
ax.legend(fontsize=10, loc='upper right')
ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('sawtooth_crash_simulation.png', dpi=150)
plt.show()

5. 자기 섬 병합¶

5.1 섬 병합의 물리학¶

같은 나선성을 가진 두 자기 섬(O-점)이 함께 모이면, 그들 사이의 X-점에서 재결합을 통해 병합할 수 있습니다. 이 과정을 자기 섬 병합이라고 합니다.

초기 구성:

    O─────X─────O

  섬 1  X  섬 2

병합 중:

중심 X-점에서의 재결합이 섬들을 병합할 수 있게 합니다:

    O───────────O   (함께 이동)
          X

    재결합 가속

최종 상태:

       ○○○
      ○   ○
      ○ O ○  단일 큰 섬
      ○   ○
       ○○○

5.2 동역학 및 재결합률¶

섬들은 자기 장력에 의해 함께 구동됩니다. 그들이 접근함에 따라 X-점 전류 시트가 강화되고 재결합이 가속됩니다.

에너지 변환:

초기 상태: 두 섬에 저장된 자기 에너지
병합: 재결합이 자기 에너지 방출
최종 상태: 하나의 더 큰 섬 + 운동/열 에너지

재결합률:

시뮬레이션은 병합 재결합이 빠르며, 높은 Lundquist 수에서도 저항 MHD에서 $M_A \sim 0.1$임을 보여줍니다. 이것은 섬 성장의 Rutherford 영역이 병합 중에 폭발적이 되기 때문입니다.

응용:

토카막 붕괴: 다중 찢김 모드가 병합되어 붕괴를 유발할 수 있음
태양 코로나: 상호작용하는 자속 튜브/루프
자기꼬리: 병합하는 플라스모이드

5.3 Python 예제: 2D 섬 병합¶

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Simple model: two magnetic islands approaching and merging

x = np.linspace(-4, 4, 100)
y = np.linspace(-2, 2, 80)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Function to create an O-point (island) flux function
def island_flux(X, Y, x0, y0, size):
    return -np.exp(-((X - x0)**2 + (Y - y0)**2) / size**2)

# Time snapshots
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

times = [0, 1, 2, 3]
separations = [2.5, 1.5, 0.8, 0]  # Island separation decreases

for ax, t, sep in zip(axes.flat, times, separations):
    # Two islands approaching
    psi1 = island_flux(X, Y, -sep/2, 0, 0.6)
    psi2 = island_flux(X, Y, sep/2, 0, 0.6)

    if sep > 0:
        # Before full merger
        psi = psi1 + psi2
        # Add a current sheet between them (X-point)
        sheet_contrib = 0.2 * np.exp(-X**2 / 0.1**2) * np.exp(-(Y)**2 / 2)
        psi += sheet_contrib
    else:
        # After merger: single large island
        psi = island_flux(X, Y, 0, 0, 1.0)

    # Add background field (hyperbolic)
    psi += 0.05 * X * Y

    # Compute magnetic field
    By = np.gradient(psi, x, axis=1)
    Bx = -np.gradient(psi, y, axis=0)

    # Plot
    contour_levels = np.linspace(psi.min(), psi.max(), 20)
    ax.contour(X, Y, psi, levels=contour_levels, colors='blue', linewidths=0.8)

    # Streamplot for field lines
    ax.streamplot(X, Y, Bx, By, color='black', linewidth=0.6, density=1.2, arrowsize=0.8)

    # Mark O-points
    if sep > 0:
        ax.plot(-sep/2, 0, 'go', markersize=12, label='O-point (island)')
        ax.plot(sep/2, 0, 'go', markersize=12)
        if sep > 0.5:
            ax.plot(0, 0, 'rx', markersize=15, markeredgewidth=3, label='X-point')
    else:
        ax.plot(0, 0, 'go', markersize=12, label='Merged island')

    ax.set_xlabel('$x$', fontsize=12)
    ax.set_ylabel('$y$', fontsize=12)
    ax.set_title(f'Time $t = {t}$ (separation = {sep:.1f})', fontsize=13)
    ax.set_aspect('equal')
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.suptitle('Magnetic Island Coalescence', fontsize=16, weight='bold')
plt.tight_layout()
plt.savefig('island_coalescence.png', dpi=150)
plt.show()

6. 천체물리학 제트와 재결합¶

6.1 천체물리학의 제트¶

천체물리학 제트는 많은 시스템에서 관측되는 고도로 시준된 유출입니다:

활동 은하핵(AGN): 초대질량 블랙홀로부터의 제트, Mpc(수백만 파섹) 확장
마이크로퀘이사: X선 쌍성의 항성 질량 블랙홀 제트
젊은 항성 천체(YSOs): 원시별 제트(HH 천체)
펄서 바람 성운: 펄서로부터의 상대론적 제트(Crab Nebula)
감마선 폭발(GRBs): 초상대론적 제트, Lorentz 인자 $\Gamma \sim 100$–1000

공통 특징:

높은 시준: 열림 각도 ~1°–10°
상대론적 속도: $v \sim 0.1c$에서 $>0.99c$
높은 전력: AGN의 경우 최대 $10^{47}$ erg/s
자기장: 강함(AGN 제트에서 $B \sim 0.1$–10 G)

6.2 재결합 구동 가속¶

자기 재결합은 다음에 대한 주요 후보입니다:

제트 발사: 자기 에너지를 운동 에너지로 변환
제트 가속: 제트를 따라 추가 가속
입자 가속: 비열적 입자 생성(동기복사 방출)

발사 메커니즘:

블랙홀 또는 중성자별의 자기권에서 회전하는 자기화된 강착원반은 대규모 폴로이달 자기장을 생성할 수 있습니다. 전류 시트에서의 재결합은: - 자기 장력 방출 - Alfvén 속도 이상에서 유출 구동 - 흐름 시준

제트에서의 재결합:

제트의 불안정성(예: 킹크)은 재결합을 유발할 수 있습니다: - 자기 에너지 소산 - 제트 방출의 플레어와 블롭(블레이저 변동성에서 관측) - 비열적 에너지로 입자 가속(멱법칙 분포)

6.3 펄서 자기권¶

펄서는 초강한 자기장($B \sim 10^{12}$ G)을 가진 회전하는 중성자별입니다. 자기권 구조는 다음을 포함합니다:

닫힌 영역: 광원통 내에서 닫히는 쌍극자 자기장 선
열린 영역: 무한대로 확장되는 자기장 선
전류 시트: 광원통 너머 적도면에 형성

줄무늬 바람에서의 재결합:

펄서 바람은 교대로 자기 극성을 가집니다(줄무늬 바람). 전류 시트에서의 재결합은: - 자기 에너지(Poynting 자속)를 입자 에너지로 변환 - 관측된 비열적 방출 생성(전파, 광학, X선, 감마선) - Crab Nebula의 고에너지 플레어 설명

시그마 문제:

펄서 근처에서 자기화 매개변수 $\sigma = B^2/(\mu_0 \rho c^2) \gg 1$(자기적으로 지배). 하지만 관측은 종결 충격에서 $\sigma \sim 0.01$–0.1을 요구합니다. 줄무늬 바람에서의 재결합이 이 시그마 문제에 대한 주요 해결책입니다.

6.4 감마선 폭발¶

GRBs는 우주에서 가장 밝은 폭발로, 수 초에서 수 분 동안 감마선으로 $\sim 10^{51}$–$10^{54}$ erg를 방출합니다.

화구 모델:

중심 엔진: 붕괴별(거대 항성 붕괴) 또는 병합(중성자별-중성자별/블랙홀)
상대론적 유출: Lorentz 인자 $\Gamma \sim 100$–1000
내부 충격: 제트의 재결합과 충격이 즉발 감마선 방출 생성
외부 충격: 제트가 ISM과 상호작용하여 잔광 생성

재결합의 역할:

에너지 소산: 제트의 재결합이 자기 에너지를 복사로 변환
입자 가속: 비열적 전자가 감마선 방사(동기복사, 역 콤프턴)
시간 변동성: 재결합 플라스모이드가 빠른 변동성 생성(ms 시간 척도)

최근 시뮬레이션(Uzdensky, Werner, Sironi 등)은 상대론적 재결합이 요구되는 비열적 분포로 입자를 효율적으로 가속할 수 있음을 보여줍니다.

7. 요약¶

자기 재결합은 광범위한 현상에서 중심 역할을 합니다:

태양 플레어: CSHKP 모델은 전류 시트에서의 재결합을 통한 에너지 방출(~$10^{32}$ erg)을 설명합니다. 관측된 재결합률은 $M_A \sim 0.01$–$0.1$로, 빠른 재결합과 일치합니다. SDO 및 기타 임무의 관측은 supra-arcade downflows, above-the-loop-top 소스, 리본 동역학을 드러냅니다.
코로나 질량 방출: CME 시작은 종종 토러스 불안정성에 의해 유발되는 자속 로프 분출을 포함합니다. 분출하는 자속 로프 아래의 재결합은 에너지를 방출하고 위상 구조 변화를 허용합니다. CME는 상당한 우주 날씨 위험을 제기합니다.
자기권 서브스톰: Dungey 순환은 주간 및 야간 재결합을 통한 태양풍-자기권 결합을 설명합니다. 서브스톰은 성장 단계 동안 꼬리 로브에 에너지를 저장한 후 확장 단계 동안 폭발적 방출을 포함합니다. 근지구 중성선 모델은 시작을 $X \sim -20$에서 $-30 R_E$에서의 재결합에 기인합니다.
토카막 톱니파 충돌: 톱니파 진동은 내부 킹크 불안정성과 $q = 1$ 표면에서의 재결합으로부터 발생합니다. Kadomtsev 모델은 충돌을 빠른 열 재분배를 일으키는 완전한 재결합으로 설명합니다. 빠른 충돌 시간은 무충돌 재결합을 나타냅니다.
자기 섬 병합: 두 섬이 병합할 때, 중간 X-점에서의 재결합은 빠르며($M_A \sim 0.1$), 저항 MHD에서도 마찬가지입니다. 이 과정은 토카막 붕괴와 태양/자기권 동역학과 관련이 있습니다.
천체물리학 제트: 재결합은 AGN, 펄서, GRBs, YSOs에서 제트 발사, 가속, 입자 가속에 연루되어 있습니다. 상대론적 재결합은 펄서 바람과 GRB 제트에서 자기 에너지를 입자 에너지로 효율적으로 변환합니다.

이 모든 응용에서 재결합률은 빠른($M_A \sim 0.01$–$0.1$)것으로 관측되거나 추론되어, 무충돌(Hall, 운동학적) 재결합 물리학의 중요성을 지원합니다.

연습 문제¶

태양 플레어 에너지: a) $B = 0.02$ T, 부피 $V = (10^8 \text{ m})^3$인 플레어 활동 영역의 자기 에너지를 추정하세요. b) 이 에너지의 20%가 1000 s 지속되는 플레어에서 방출되면 평균 전력은 얼마입니까? c) 이것을 총 태양 광도($L_\odot = 3.8 \times 10^{26}$ W)와 비교하세요.
플레어 리본 운동: a) 관측된 플레어 리본이 $v_{sep} = 50$ km/s로 분리됩니다. 코로나 높이가 $h = 10^7$ m이고 족점 분리가 $d = 10^8$ m이면, 재결합 유입 속도 $v_{in}$을 추정하세요. b) Alfvén 속도 $v_A = 1000$ km/s로 $M_A$를 계산하세요. c) 이것이 Sweet-Parker, Petschek 또는 Hall 재결합과 일치합니까?
CME 운동 에너지: a) CME가 질량 $M = 10^{15}$ g이고 속도 $v = 1000$ km/s입니다. 운동 에너지를 erg로 계산하세요. b) CME가 태양풍 항력에 의해 $v = 500$ km/s로 감속되면 얼마나 많은 에너지가 소산됩니까? c) 이 에너지는 어디로 갑니까?
토러스 불안정성: a) 토러스 불안정성 기준을 설명하세요: $d \ln B_{ext} / d \ln h < -3/2$. b) 쌍극자 자기장 $B \propto r^{-3}$에 대해 $d \ln B / d \ln r$을 계산하세요($h \sim r$로 취급). c) 쌍극자 자기장은 토러스 불안정성에 대해 안정합니까, 불안정합니까?
Dungey 순환 시간 척도: a) 주간 재결합이 $d\Phi/dt = E_{rec} \cdot L_y$의 속도로 자기 자속을 전달하면, 여기서 $E_{rec} = v_{in} B_{sw}$이고 $L_y \sim 20 R_E$일 때, $v_{in} = 100$ km/s, $B_{sw} = 5$ nT, $R_E = 6.4 \times 10^6$ m에 대해 $d\Phi/dt$를 추정하세요. b) 꼬리 로브의 총 자속은 $\Phi_{tail} \sim B_{lobe} \cdot A_{lobe} \sim 1$ GWb입니다. 이 자속을 로드하는 데 얼마나 걸립니까? c) 관측된 서브스톰 성장 단계 지속 시간(~30–60분)과 비교하세요.
서브스톰 에너지 방출: a) 자기꼬리는 에너지 $\sim B^2 V / (2\mu_0)$를 저장합니다. $B = 20$ nT, $V \sim (10 R_E)^3$에 대해 이것을 추정하세요. b) 이 에너지가 서브스톰 동안 1시간에 걸쳐 방출되면 평균 전력은 얼마입니까? c) 태양풍 입력 전력(~$10^{11}$–$10^{12}$ W)과 비교하세요.
톱니파 충돌 시간: a) 토카막에서 톱니파 충돌 시간은 $\tau_{crash} \sim 50$ μs입니다. 소반경은 $a = 0.5$ m, $B = 3$ T, $n = 10^{20}$ m⁻³입니다. b) Alfvén 시간 $\tau_A = a/v_A$를 계산하세요. c) 재결합률 $M_A \sim \tau_A / \tau_{crash}$를 추정하세요.
섬 병합: a) 토카막에서 폭 $w = 5$ cm의 두 자기 섬이 거리 $d = 10$ cm로 분리되어 있습니다. 국소 Alfvén 속도는 $v_A = 10^6$ m/s입니다. b) 그들이 속도 $v \sim 0.1 v_A$로 접근하면 병합까지 얼마나 걸립니까? c) 병합 중에 자기 에너지의 몇 퍼센트가 방출됩니까(섬이 에너지 $\propto w^2 B^2$를 가지며, 최종 섬이 $w_{final} = \sqrt{2} w$를 가진다고 가정)?
AGN 제트 전력: a) AGN 제트가 반경 $R = 10^{16}$ m, 유출 속도 $v = 0.5c$이고, $B = 1$ G로 Poynting 자속 $S = B^2 v / \mu_0$를 운반합니다. b) 제트 전력 $P = S \cdot \pi R^2$를 계산하세요. c) $10^9 M_\odot$ 블랙홀의 Eddington 광도($L_{Edd} \sim 10^{47}$ erg/s)와 비교하세요.
상대론적 재결합: a) 펄서 바람에서 자기화 매개변수는 광원통 근처에서 $\sigma = B^2/(\mu_0 \rho c^2) = 10^3$입니다. b) 재결합이 자기 에너지의 50%를 입자 운동 에너지로 변환하면 최종 $\sigma$는 얼마입니까? c) 이것이 관측($\sigma_{obs} \sim 0.01$–0.1)을 설명하기에 충분합니까? 그렇지 않다면, 무엇이 더 필요합니까?

네비게이션¶

이전: 재결합 이론 | 다음: 고급 재결합